第四届华杯赛决赛二试试题及解答.doc

第四届华杯赛决赛二试试题及解答1. 互为反序的两个自然数的积是92565，求这两个互为反序的自然数。(例如102和201；35和53，11和11，称为互为反序的数，但120和21不是互为反序的数)2某工厂的一个生产小组，生产一批零件，当每个工人在自己原岗位工作时，9小时可完成这项生产任务。如果交换工作A和B的工作岗位，其它工人生产效率不变时，可提前一小时完成这项生产任务；如果交换工人C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，也可以提前一小时完成这项生产任务。问：如果同时交换A与B，C与D的工作岗位，其他工人生产效率不变，可以提前几分钟完成这项生产任务？3某校学生中，没有一个学生读过学校图书馆的所有图书，又知道图书馆内任何两本书至少被一个同学都读过，问：能不能找到两个学生甲、乙和三本书A、B、C，甲读过A、B，没读过C，乙读过B、C，没读过A？说明判断过程。4有6个棱长分别是3cm，4cm，5cm， 的相同的长方体，把它们的某些面染上红色，使得有的长方体只有一个面是红色的，有的长方体恰有两个面是红色的，有的长方体恰有三个面是红色的，有的长方体 恰有四个面是红色的，有的长方体恰有五个面是红色的，还有一个长方体六个面都是红色的，染色后把所有的长方体分割成棱长为1cm的小正方体，分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体最多有几个？5小华玩某种游戏，每局可随意玩若干次，每次得分是8，a（自然数），0这三个数中的一个，每局各次得分的总和叫做这一局的总积分，小华曾得到过这样的总积分：103，104，105，106，107，108，109，110，又知道他不可能得到“83分”这个总积分。问：a是多少？6在正方体的8个顶点处分别标上1，2，3，4，5，6，7，8，然后再把每条棱两端所标的两个数之和写在这条棱的中点，问各棱中点所写的数是否可能恰有五种不同数值？各棱中点所写的数是否可能恰有四种不同数值？如果可能，对照图a在图b的表中填上正确的数字；如果不可能，说明理由。1.这两个数是165和5612.可提前108分钟3.可以找到满足要求的两个学生4.最多可得到177个一面为红色的小立方体5.A=136.各棱中点处所写的数恰有五种不同数值是可能的，填法不惟一，但不可能少于五种不同数值1.【解】92565335111117.互为反序的两个自然数中，若其中之一为3的倍数(或11的倍数)，另一个也必为3的倍数(或11的倍数).又因乘积是五位数，所以这两个数是三位数，我们有92565(3511)(31711)165561于是,这两个数为165和5612.【解】把总任务分成72份，原来每小时完成8份，每份要7.5分钟A与B交换后，每小时完成9份，比原来多干了1份，由于其他人工效不变，所以这一份就是A、B二人多干的。同理，C与D交换后，他们二人每小时也要多干1份任务。同时更换后,A与B、C与D每小时都多干一份任务，所以全组工人每小时干了81110(份)任务，即每份任务只要6(分钟)就能干完。因此每干1份任务，提前7.561.5(分钟)。72份任务一共提前721.5108(分钟)。3.【解】首先从读书数最多的学生中找一人甲，由题设，甲至少有一本书C未读过。设B是甲读过的书中的一本，根据题设，可找到学生乙，乙读过B、C。由于甲是读书数最多的学生之一，乙读书数不能超过甲的读书数，而乙读过C书，甲未读过C书，所以甲一定读过一本书A，乙没读过A书，否则乙就比甲至少多读过一本书，这样一来，甲读过A、B，未读过C；乙读过B、C耒读过A。因此可以找到满足要求的两个学生。4.【解】一面染红的长方体，显然应将45的长方形染红，这时产生20个一面红的小正方体，个数最多二 面染红的长方体，显然应将两个45的长方形染红，这时产生40个一面红的小正方体，个数最多三面染红的长方体，应将45，45，43的面染红，产 生4(5534)36个一面红的小正方体，其它方法得出的一面红的正方体均少于36个。四面染红的长方体，应将45，45，43，43 的面染红，产生4(553324)32个一面红的小正方体，其它方法得到的一面红的小正方体均没有这么多五面染缸的长方体，应只留一个3 5的面不染，这时产生(32)(52)(41)(553324)27个一面红的小正方体，其它染法得到的一面红的小正方体均少于27 六面染红的长方体，产生 2(32)(52)(52)(42)(42)(32)22 个一面红的小正方体。于是最多得到 222732364020177 个一面红的小正方体5.【解】8383107，所以在得到总积分107时，得8分的局数必定小于3(否则8310738可以得到)，即得8分的局数为0、1或2，从而107，1071899，1072891这三个数中必有一个是a的倍数。如果107是a的倍数，那么a1或107，但a1时，可以得到总积分83；a107时，无法得到总积分103，所以这种情况不可能发生。如果99是a的倍数，那么a1，3，9，11，33，99。因为8393871189，所以a不能是1，3，9，11(否则83可以得到)。因为1039914337023337，所以a99或33时，无法得到总分103。因此这种情况也不可能发生。如果91是a的倍数，那么a1，7，13，91，因为837586，所以a7.1 1039112，所以a91。因此a13，不难验证a13符合要求。6.【解】各棱中点处所写的数恰有五种不同数值是可能的，如在A、B、H依次填1,5、3、7、8、4、6、2，则中点处恰有五个不同数值6、8、9、10、12。不可能少于五种不同数值，理由如下：以1所在顶点为端点的棱有三条，不妨设这三条棱的另一端点所填写的数是a、b、c，满足abc，则这三条棱的中点处的数为1a，1b和1c，满足1a1b1c。以8所在顶点为端点的棱也有三条，不妨设这三条棱另一端点所填写的