线段、角、相交线与平行线

第五单元几何的初步与三角形 第20讲线段 角 相交线与平行线 内容索引 备考基础温故知新 明确考向 重点突破分类讲练 以例求法 易错防范辨析错因 提升考能 备考基础 返回 考点梳理 三种基本图形 直线 射线和线段 1 直线 经过两点有且只有条直线 直线的这条性质是以公理的形式给出的 可简单说成 两点确定一条直线 2 射线 直线上一点和它一旁的部分叫做射线 3 线段 直线上两点和它们之间的部分叫做线段 这两点叫做线段的端点 线段公理 两点之间 最短 一 线段 特别提醒 1 射线与直线都是由线段无限延长形成的 把线段向一个方向无限延长就形成了射线 把线段向两个方向无限延长就形成了直线 2 两点之间的距离是连结这两个点的线段的长度 而不是这条线段 3 当一条直线上有n个点时 在这条直线上存在条线段 4 线段长短的比较 叠合法 先把两条线段放在同一条直线上 让其一端重合 再看另一端的位置确定两条线段的长短 这是从 形 的方面来进行比较 度量法 利用刻度尺 量出每条线段的长度 再根据度量的结果确定线段的长短 这是从 数 的方面来进行比较 1 角的两种定义 1 由两条有公共端点的组成的图形叫做角 2 一条射线绕着它的 从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角 角 特别提醒射线旋转时经过的平面部分称为角的内部 平面其余部分称为角的外部 射线 端点 2 角的分类和度量 1 角的分类 角按照大小可以分为锐角 直角 钝角 平角 周角 2 角的度量 度量角的大小 可用 度 作为度量单位 把一个圆周分成360等份 每1份叫做1度的角 1 60 1 60 3 角平分线 1 从一个角的顶点引出的一条射线 把这个角分成两个相等的角 这条射线叫做这个角的平分线 2 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 1 互为余角 若 1和 2互为余角 则 1 2 度 2 互为补角 若 1和 2互为补角 则 1 2 度 3 余角与补角的性质 同角或等角的余角 同角或等角的补角 互为余角 互为补角 90 180 相等 相等 特别提醒余角 补角的概念与角的大小有关而与角的位置无关 1 定义 一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线 这两个角叫做对顶角 2 性质 对顶角 对顶角相等 1 平行线的定义 在同一平面内 的两条直线叫做平行线 2 平行线的基本性质 1 平行公理 经过直线外一点 有且只有条直线与这条直线平行 2 平行公理的推论 如果两条直线都和第三条直线平行 那么这两条直线也互相 平行 特别提醒 1 平行线是无限延伸的 无论怎样延伸也不相交 2 遇到线段 射线平行时 特指段 射线所在的直线平行 3 在同一平面内两条直线的位置关系只有两种 相交与平行 不相交 平行 一 1 垂直的定义 当两条直线相交所构成的四个角中有一个角是 时 我们就说这两条直线互相垂直 其中的一条直线叫做另一条直线的垂线 它们的交点叫做 垂直 90 垂足 特别提醒 1 两直线垂直是两直线相交的特殊情况 特殊在它们相交所成的角是直角 2 线段与线段 射线与线段 射线与射线的垂直 都是指它们所在的直线互相垂直 2 垂直的性质 在同一平面内 过一点有且只有条直线与已知直线垂直 3 点到直线的距离 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度 叫做点到直线的距离 4 垂线段的性质 连结直线外一点与直线上各点的所有线段中 段最短 一 垂线段 1 平行线的判定方法 1 同位角 两直线平行 2 内错角 两直线平行 3 同旁内角 两直线平行 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 5 在同一平面内 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 平行线的性质和判定方法 相等 相等 互补 2 平行线的性质 1 两直线平行 同位角 2 两直线平行 内错角 3 两直线平行 同旁内角 相等 相等 互补 特别提醒要证明两条直线平行 用判定定理 在已知条件中有两条直线平行时 则应用性质定理 解平面上不同的n个点最多可确定条直线 则 21 解得 n 7或n 6 不合题意 舍去 n 7 基础诊断 1 平面上不重合的两点确定一条直线 不同三点最多可确定3条直线 若平面上不同的n个点最多可确定21条直线 则n的值为 A 5B 6C 7D 8 C 2 已知 32 则 的补角为 A 58 B 68 C 148 D 168 3 如图 直线a b被直线c所截 下列说法正确的是 A 当 1 2时 一定有a bB 当a b时 一定有 1 2C 当a b时 一定有 1 2 90 D 当 1 2 180 时 一定有a b C D 4 如图 AB AC AD BC 垂足分别为A D 则图中能表示点到直线距离的线段共有 A 2条B 3条C 4条D 5条 D 5 如图 AB CD 直线EF交AB于点E 交CD于点F EG平分 BEF 交CD于点G 1 50 则 2等于 A 50 B 60 C 65 D 90 解 AB CD BEF 1 180 1 50 BEF 130 EG平分 BEF BEG BEF 65 2 BEG 65 C 返回 重点突破 返回 类型一 线段的大小比较及计算 点拨 解答 例1 如图所示 线段AB上有两点M N AM MB 5 11 AN NB 5 7 MN 1 5 求AB长度 点拨由已知条件可知 AM MB 5 11 设一份是x 进而分别表示AM MB的长 则能够表示出AB的长 再根据AN NB 5 7 表示AN的长 根据MN AN AM即可列方程求解 解 AM MB 5 11 可设AM 5x MB 11x AB 16x AB 16x 16 0 9 14 4 答 AB长度为14 4 变式1 1 如图 C D是线段AB上的两点 且D是线段AC的中点 若AB 10cm BC 4cm 则AD的长为 A 2cmB 3cmC 4cmD 6cm 解 AB 10 BC 4 AC AB BC 6 又 点D是AC的中点 AD AC 3 cm B 解 答案 2 在直线l上 线段AB 7cm BC 3cm D是AC的中点 求DB的长度 解 当点C在线段AB延长线上时 如图 有AC AB BC 7 3 10 D是AC的中点 AD AC 5 DB AB AD 7 5 2 cm 解答 当点C在线段AB上时 如图 有AC AB BC 7 3 4 D是AC的中点 CD AC 2 DB CD BC 2 3 5 cm 答 DB的长度为2cm或5cm 解题要领对于线段的和 差关系及大小比较 线段中点问题等 需要结合图形 认真观察 若已知线段上给出的点未明确位置 还要分类讨论 不可漏解 类型二 角的大小比较及计算 例2 2017 百色 如图 AM为 BAC的平分线 下列等式错误的是 A BAC BAMB BAM CAMC BAM 2 CAMD 2 CAM BAC 点拨根据角平分线的定义即可求解 解 AM为 BAC的平分线 BAC BAM BAM CAM 2 CAM BAC C 点拨 答案 解 变式2 2017 宜宾 如图 将 AOB绕点O按逆时针方向旋转45 后得到 COD 若 AOB 15 则 AOD的度数是 解如图 由题意及旋转变换的性质得 AOC BOD 45 AOB 15 AOD AOB BOD 15 45 60 60 解 答案 解题要领角平分线 直角 平角等是进行有关角的证明 计算与大小比较的常用工具 因此熟悉角平分线的性质和角的概念是解决此类问题的关键 例3 如图 直线AB与CD相交于点O AOD 50 则 BOC 类型三 相交线 点拨根据对顶角的性质可得答案 解 BOC与 AOD是对顶角 BOC AOD 50 50 点拨 答案 解 变式3 如图 直线AB CD相交于点O OE AB BOD 20 则 COE等于 度 解 BOD 20 AOC BOD 20 OE AB AOE 90 COE 90 20 70 70 解题要领当已知条件中有 相交线 出现的时候 要充分挖掘其中隐含的 邻补角与对顶角 以帮助解题 答案 解 例4 2017 株洲 如图所示 直线l1 l2被直线l3所截 且l1 l2 则 类型四 平行线的性质 A 41 B 49 C 51 D 59 点拨根据平行线的性质即可得到结论 解根据 两直线平行 内错角相等 可得 49 B 点拨 答案 解 变式4 1 2017 长沙 如图 已知直线a b 直线c分别与a b相交 1 110 则 2的度数为 A 60 B 70 C 80 D 110 解 直线a b 3 1 110 2 180 110 70 B 答案 解 2 2017 贵港 如图 AB CD 点E在AB上 点F在CD上 如果 CFE EFB 3 4 ABF 40 那么 BEF的度数为 解 AB CD ABF 40 CFB 180 ABF 180 40 140 又 CFE EFB 3 4 CFE CFB 140 60 AB CD BEF CFE 60 60 答案 解 解题要领两直线平行是确定等角的一个重要途径 证明两角相等 常从判定它们所处的 三线八角 中的直线是否平行来解决 例5 2017 潍坊 如图 BCD 90 AB DE 则 与 满足 A 180 B 90 C 3 D 90 类型五 平行线的判定与性质的应用 点拨过C作CF AB 根据平行线的性质可以得到结论 点拨 答案 解 解过C作CF AB AB DE AB CF DE 1 2 180 BCD 90 1 2 180 90 90 例5 2017 潍坊 如图 BCD 90 AB DE 则 与 满足 A 180 B 90 C 3 D 90 类型五 平行线的判定与性质的应用 B 点拨 答案 解 变式5 1 2017 德州 如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法 其理由是 同位角相等 两直线平行 解由图形可知 有两个相等的同位角存在 同位角相等 两直线平行 即可得到所得的直线与已知直线平行 答案 解 2 2017 自贡 如图 a b 点B在直线b上 且AB BC 1 35 那么 2 A 45 B 50 C 55 D 60 解 AB BC 1 35 3 90 35 55 a b 2 3 55 C 答案 解 解题要领对于平行线的判定与性质 要分清各自的题设与结论 不能混淆 一般地 由角的相等或互补 数量关系 的条件 得到两直线平行 位置关系 的结论是判定 反之 则是性质 返回 易错防范 返回 易错警示系列20 因概念理解不清 造成角的计算错误 正确解答 分析与反思 剖析 正确解答 分析与反思 剖析 剖析若不用方程的思想方法来考虑本题 可能无法下手 或以错误告终 本题已知角度的数量关系及某一个角的度数 要求其他角的度数 因为给出度数的 DOE不能运用角平分线 也不知 DOE与其他角的任何关系 因此 DOE 72 这个条件用不上 那么此时可以考虑在应用题中学习的一种方法 当某个量不知道或不好表示时 我们常用未知数把这个量设出来 其他的量也都可以用这个未知数表示出来 再列出方程解出这个未知数 当然 未知数的设法有多种 正确解答 分析与反思 剖析 正确解答解 设 AOD x OD是 AOB的角平分线 BOD AOD x 又 DOE 72 BOE 72 x BOE EOC EOC 2 72