导数研究函数性质.doc

1导数与导函数的概念(1)设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在xx0处可导，并称该常数A为函数f(x)在xx0处的导数(derivative)，记作f(x0)(2)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f(x)2导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即kf(x0)3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)C(C为常数)f(x)0f(x)x(为常数)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0，a1)f(x)axln_af(x)ln xf(x)f(x)logax(a0，a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)5复合函数的导数若yf(u)，uaxb，则yxyuux，即yxyua.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同()(2)求f(x0)时，可先求f(x0)再求f(x0)()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(5)函数f(x)sin(x)的导数是f(x)cos x()1(教材改编)f(x)是函数f(x)x32x1的导函数，则f(1)的值为_2如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是_ 3设函数f(x)的导数为f(x)，且f(x)f()sin xcos x，则f()_.4已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是_5(2015陕西)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_题型一导数的运算例1求下列函数的导数：(1)y(3x24x)(2x1)；(2)yx2sin x；(3)y3xex2xe；(4)y；(5)yln(2x5)思维升华(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元(1)f(x)x(2 016ln x)，若f(x0)2 017，则x0_.(2)若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)_.题型二导数的几何意义命题点1已知切点的切线方程问题例2(1)函数f(x)的图象在点(1，2)处的切线方程为_(2)曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为_命题点2未知切点的切线方程问题例3(1)与直线2xy40平行的抛物线yx2的切线方程是_(2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为_命题点3和切线有关的参数问题例4已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.( )(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性( )(3)函数的极大值不一定比极小值大( )(4)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值( )1函数f(x)x22ln x的单调递减区间是_2已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)3，且f(x)的导数f(x)在R上恒有f(x)2(xR)，则不等式f(x)2x1的解集为_3函数f(x)x33x21在x_处取得极小值4(教材改编)如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为_5设1x2，则，()2，的大小关系是_(用“0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f(x)0)(1)若函数yf(x)的导函数是奇函数，求a的值；(2)求函数yf(x)的单调区间思维升华(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点(3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)x3，f(x)3x20(f(x)0在x0时取到)，f(x)在R上是增函数讨论函数f(x)(a1)ln xax21的单调性题型三利用函数单调性求参数例3设函数f(x)x3x2bxc，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(1)求b，c的值；(2)若a0，求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)f(x)2x，且g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围引申探究：在本例3(3)中，1若g(x)在(2，1)内为减函数，如何求解？2若g(x)的单调减区间为(2，1)，求a的值3若g(x)在(2，1)上不单调，求a的取值范围思维升华已知函数单调性，求参数范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f(x)0；若函数单调递减，则f(x)0”来求解已知函数f(x)exln xaex(aR)(1)若f(x)在点(1，f(1)处的切线与直线yx1垂直，求a的值；(2)若f(x)在(0，)上是单调函数，求实数a的取值范围5分类讨论思想研究函数的单调性典例(14分)已知函数f(x)ln x，g(x)f(x)ax2bx，其中函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴(1)确定a与b的关系；(2)若a0，试讨论函数g(x)的单调性温馨提醒(1)含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：方程f(x)0是否有根；若f(x)0有根，求出根后是否在定义域内；若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法(2)本题求解先分a0或a0两种情况，再比较和1的大小方法与技巧1已知函数解析式求单调区间，实质上是求f(x)0，f(x)，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于_题型三函数极值和最值的综合问题例5已知函数f(x)(a0)的导函数yf(x)的两个零点为3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大值思维升华求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m，n1,1，则f(m)f(n)的最小值是_3利用导数求函数的最值问题典例(14分)已知函数f(x)ln xax (aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在1,2上的最小值用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题第一步：(求导数)求函数f(x)的导数f(x)；第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值；第四步：(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范温馨提醒(1)本题考查求函数的单调区间，求函数在给定区间1,2上的最值，属常规题型(2)本题的难点是分类讨论考生在分类时易出现不全面，不准确的情况(3)思维不流畅，答题不规范，是解答中的突出问题方法与技巧1如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值2求闭区间上可导函数的最值时，对函数的极值是极大值还是极小值可不作判断，直接与端点的函数值比较即可3当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值必为函数的最值4求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，含参数时，要讨论参数的大小失误与防范1求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能2求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论3函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值3导数与函数的综合问题题型一用导数解决与不等式有关的问题命题点1解不等式例1设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)0，当x0时，有0的解集是_命题点2证明不等式例2证明：当x0,1时，xsin xx.命题点3不等式恒成立问题例3已知定义在正实数集上的函数f(x)x22ax，g(x)3a2ln xb，其中a0.设两曲线yf(x)，yg(x)有公共点，且在该点处的切线相同(1)用a表示b，并求b的最大值；(2)求证：f(x)g(x)(x0)思维升华(1)利用导数解不等式，一般可构造函数，利用已知条件确定函数单调性解不等式；(2)证明不等式f(x)g(x)，可构造函数F(x)f(x)g(x)，利用导数求F(x)的值域，得到F(x)0即可；(3)利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题已知函数f(x)ln x.若f(x)x2在(1，)上恒成立，求a的取值范围题型二利用导数解决函数零点问题例4(2014课标全国)已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求a；(2)证明：当k1时，曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点思维升华研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现已知函数f(x)x2xsin xcos x的图象与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围题型三利用导数解决生活中的优化问题例5某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x0)，为使耗电量最小，则速度应定为_典例(14分)设f(x)xln x，g(x)x3x23.(1)如果存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，求满足上述条件的最大整数M；(2)如果对于任意的s，t，2，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围方法与技巧1用导数方法证明不等式f(x)g(x)时，找到函数h(x)f