解析函数柯西黎曼方程.doc

1 引言解析函数是复变函数论研究的主要对象Cauchy-Riemann方程则是判断复变函数可微和解析的主要条件，它在复变函数论中的重要作用和地位是不言而喻的文献1、2提到函数可微、解析定义及满足它们的一些条件，文献3、4、5给出几种Cauchy-Riemann方程等价形式现在对解析函数Cauchy-Riemann方程研究的文章非常的多，这些文章已经将它们证明研究得比较深刻，但对它们作出全面的概括和总结这方面的工作还是不多，至于应用也很少提到所以对它的进一步研究和总结还是有其积极意义的本文先介绍可微、解析定义，给出解析函数满足Cauchy-Riemann方程，再给出几种Cauchy-Riemann方程的等价形式2 基本概念与定理定义21 设函数定义于区域， 如果极限 存在，则称在点可导或可微，其极限值称为函数在点的导数，记为或即 有了函数在一点可微的概念以后，下面我们引进复变函数的一个主要概念解析函数定义22 如果函数在区域内每一点都可微，则称在内解析，并称是区域内的解析函数如果函数在的某一邻域内解析，则称在点解析而函数在闭区域上解析，即存在区域，使，而在内解析若在区域内除了可能有些例外点外，函数在内其它各点都解析，则这些例外点称为的奇点例1 试证明在点可微，但在平面上任何点都不解析证： 先证在点可微因 故在点可微，且设，令，则，至少有一个不为零又令，考虑极限 当沿平行于实轴的方向趋近时，因，故 当沿平行于虚轴方向趋近于时，因，故 因为，至少有一个不为零，于是故当时，不可微因而除外，都不可微在处尽管函数可微，但不存在的一个邻域，使在此邻域内每一点都可微，故在点也不解析，从而在平面上任何点都不解析 #此例说明函数在一点可微，但在这一点不一定解析有了可微性和解析性的定义之后，即得下述定理：定理23 设函数定义与区域，则在点处可微的必要与充分条件是：，在点处可微，且满足Cauchy-Riemann方程 （1）证： 必要性 设，因在点可微，则有令即得 （2）当时，令，则当，时，于是由（2）式， 其中，则比较实部与虚部，则 ， （3）其中与与，无关因，而当，时，故当时，于是同理由（3）即知，在点处可微，且在点处有 ，于是 ，因此满足Cauchy-Riemann方程充分性 设，在点处可微，则在点处有 其中，因Cauchy-Riemann方程（1）成立，如令，则 故 其中因（当），故 于是 因此在点可微 # 几种不同形式的Cauchy-Riemann方程31 梯度形式定理31 设，的Cauchy-Riemann方程等价于 （4） 证：若实形式的C-R条件成立，即那么有 其中，分别与轴，轴正向相同的单位矢量反之，若（4）式成立，则有 （5）设那么，方程组（5）化为 （6）其中此方程组的系行列式为 =事实上，若由（5）式可知故我们有即 这是一个矛盾的结论，所以方程组（6）只有零解于是3.2 复形式若考虑二实变数的复值函数，引进复变数则于是这里形式地把考虑为与的函数，而把与视为独立的自变量，因此可以对自变量与求导数定理32 在区域内解析的充分必要条件是，在内可微且满足Cauchy-Riemann方程证： （7）在区域内解析的充分必要条件是，在内可微且满足Cauchy-Riemann方程 而 所以f(z)应满足偏微分方程 （8）将（7）和（8）比较，得因此解析函数是以条件为其特征，即Cauchy-Riemann方程的复形式可表示为（7）式在作为极限定义时并没有什么方便之处，但我们仍然可以把它们作为对于z及的形式导数这里值得一提的是，实际上与并不是独立变量，因为他们是互相共轭的也就是说，一个解析函数与无关，而是的独立函数这也是我们把一个解析函数看作确实是一复数的函数，而不称之为两个实变数的复值函数的理由33 极坐标形式定理3 3 1 ：是在区域内的解析函数，于是有Cauchy-Riemann方程的极坐标形式，即 （9） 证：因为所以， （10）， （11）， （12）， （13）将得 将（9）式代入得 （14）再把得 （15）比较（14）式与（15）式，得 （16） （16）就是我们所需要的Cauchy-Riemann方程定理3 3 2 设是在区域内的解析函数，于是有Cauchy-Riemann方程 证： 设是在区域内的解析函数，于是有Cauchy-Riemann方程的实形式而所以 故 (17) （18） 将（17），（18）两式分别乘以，或，再相加，得 （19）（19）式就是所需求的Cauchy-Riemann方程下面推导在条件之下的的导数表达式因为，所以 若我们应用（19）式，则有 参考文献：1刘声华，潘吉富，郑基允复变函数M长春：吉林教育出版社 19882钟玉泉复变函数论(第二版)M北京：高等教育出版社，19883L V 阿尔福斯 复分析M上海：上海科学出版社，19844谭小江，伍胜健复变函数简明教程M北京：北京大学出版社，20065Jerrld E Maislen Basic complex analysisMFreeman W H ahd Company， 1973 致 谢本论文是在湖州师范学院张孝惠老师精心指导下完成的从最初的论文选题到论文初稿的修改乃至最后的定稿都倾注了这位老师的大量心血整个毕业论文阶段的学习使我受益非浅，特此向张老师表示深深的敬意和诚挚的感谢！此外，还要感谢刘太