不等式-选修4-5.ppt

选修4 5不等式选讲第一节绝对值不等式第二节不等式证明的基本方法 目录 备考方向要明了 考什么 怎么考 1 理解绝对值不等式的几何意义 并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式 1 a b a b 2 a b a c c b 2 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式 ax b c ax b c x a x b c 从近两年的高考试题可以看出 本节重点考查含绝对值不等式的解法 可能含参 或以函数为背景证明不等式 题型为解答题 如2012年高考新课标T24等 归纳 知识整合 1 绝对值不等式的解法 1 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 ax b c ax b c 2 x a x b c c 0 和 x a x b c c 0 型不等式的解法法一 利用绝对值不等式的几何意义求解 体现了数形结合思想 c ax b c ax b c或ax b c 法二 利用 零点分段法 求解 体现了分类讨论思想 法三 通过构造函数 利用函数的图象求解 体现了函数与方程的思想 探究 1 解含绝对值不等式或含绝对值方程的关键是什么 提示 关键是根据绝对值的定义或性质去掉绝对值 2 绝对值三角不等式 1 定理1 如果a b是实数 则 a b a b a b 当且仅当时 等号成立 2 定理2 如果a b c是实数 那么 a c a b b c 当且仅当时 等号成立 探究 2 绝对值的三角不等式的向量形式及几何意义是什么 提示 当a b不共线时 a b a b 它的几何意义是三角形的两边之和大于第三边 ab 0 a b b c 0 自测 牛刀小试 1 求不等式 2x 1 3的解集 解 2x 1 3等价于2x 1 3或2x 1 3 解得x 2或x 1 所以解集为 1 2 2 已知函数f x x 2 x 1 求f x 的值域 4 已知关于x的不等式 x 1 x k无解 求实数k的取值范围 解 x 1 x x 1 x 1 当k 1时 不等式 x 1 x k无解 故k 1 5 如果关于x的不等式 x a x 4 1的解集是全体实数 求实数a的取值范围 解 在数轴上 结合实数绝对值的几何意义可知a 5或a 3 绝对值不等式性质的应用 例1 确定 x a m且 y a m 是 x y 2m x y a m R 的什么条件 自主解答 x y x a y a x a y a m m 2m x a m且 y a m是 x y 2m的充分条件 取x 3 y 1 a 2 m 2 5 则有 x y 2 5 2m 但 x a 5 不满足 x a m 2 5 故 x a m且 y a m不是 x y 2m的必要条件 故为充分不必要条件 两数和与差的绝对值不等式的性质 a b a b a b 1 对绝对值三角不等式定理 a b a b a b 中等号成立的条件要深刻理解 特别是用此定理求函数的最值时 2 该定理可强化为 a b a b a b 它经常用于证明含绝对值的不等式 绝对值不等式的解法 绝对值不等式的解法 1 用零点分段法解绝对值不等式的步骤 求零点 划区间 去绝对值号 分别解去掉绝对值的不等式 取每个结果的并集 注意在分段时不要遗漏区间的端点值 2 用图象法 数形结合可以求解含有绝对值的不等式 使得代数问题几何化 既通俗易懂 又简洁直观 是一种较好的方法 3 2011 辽宁高考 已知函数f x x 2 x 5 1 证明 3 f x 3 2 求不等式f x x2 8x 15的解集 形如 x a x b c 或 c 型的不等式主要有如下解法 1 零点分段讨论法 利用绝对值号内式子对应方程的根 将数轴分为 a a b b 此处设ac c 0 的几何意义 数轴上到点x1 a和x2 b的距离之和大于c的点的集合 3 图象法 作出函数y1 x a x b 和y2 c的图象 结合图象求解 创新交汇 含参数的绝对值不等式的恒成立问题 1 含参数的绝对值不等式的恒成立问题是高考的热点内容之一 此类问题常与二次函数 对数函数 三角函数结合命题 需要有一定的综合知识的能力 2 解答此类问题时 根据绝对值的定义 分类讨论去掉绝对值符号 转化为分段函数 然后利用数形结合解决 是常用的思想方法 1 本题有以下创新点把绝对值不等式与集合 函数知识 恒成立问题紧密结合起来研究 尽管难度不大 但需要有一定的知识综合能力 2 解决本题的关键点解答本题的关键点 1 先求解不等式 ax 1 3 并将解集与已知解集对照求出a的值 2 利用零点分段讨论去掉绝对值 将问题转化为恒成立问题 3 在解决恒成立问题时应注意C f x 恒成立 C f x max C f x 恒成立 C f x min 1 2012 陕西高考改编 若存在实数x使 x a x 1 3成立 求实数a的取值范围 解 x a x 1 a 1 则只需要 a 1 3 解得 2 a 4 2 2012 苏北四市调研 已知函数f x x 1 x 2 若不等式 a b a b a f x 对a b R 且a 0恒成立 求实数x的范围 演练知能检测 见 限时集训 七十五 备考方向要明了 考什么 考什么 1 该部分是对必修5中 不等式 的补充和深化 属选学选考内容 单独命题时 多以解答题形式出现 属中等难度题目 2 高考考查的重点是不等式的证明 基本不等式 柯西不等式 数学归纳法的应用 利用基本不等式 柯西不等式求函数的最值等 如2012年新课标T24等 怎么考 归纳 知识整合 1 比较法作差比较法与作商比较法的基本原理 a b 1 2 综合法与分析法 推理论证 充分条件 执果索因 探究 1 在证明不等式时综合法和分析法有怎样的关系 提示 综合法 由条件出发推导出所要证明的不等式成立 分析法 从结论出发寻找使结论成立的充分条件 综合法与分析法是对立统一的两种方法 在实际解题时 常常用分析法探求解题思路 用综合法表达 2 在什么条件下用分析法证明不等式 提示 如果不适合用反证法 归纳法 而综合法又不易操作时 通过分析又容易找到使要证明结论成立的已知条件 这时用分析法 3 反证法先假设要证的命题 以此为出发点 结合已知条件 应用公理 定义 定理 性质等 进行正确的 得到和命题的条件 或已证明的定理 性质 明显成立的事实等 的结论 以说明假设 从而证明原命题成立 我们把它称为反证法 4 放缩法证明不等式时 有时要把所证不等式的一边适当地 或 以利于化简 并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显 从而得出原不等式成立这种方法称为放缩法 不成立 推理 矛盾 不正确 放大 缩小 5 数学归纳法数学归纳法证明不等式的一般步骤 1 验证 当n取时结论正确 2 假设当时结论正确 证明当时结论也正确 综合 1 2 可知 结论对于任意n n0 且n0 n N 都成立 6 柯西不等式设a b c d均为实数 则 a2 b2 c2 d2 ac bd 2等号当且仅当ad bc时成立 第一个值n0 例如n0 1 2等 n k n k 1 自测 牛刀小试 4 设a b 0 求证 3a3 2b3 3a2b 2ab2 证明 3a3 2b3 3a2b 2ab2 3a2 a b 2b2 b a 3a2 2b2 a b 因为a b 0 所以a b 0 3a2 2b2 0 从而 3a2 2b2 a b 0 故3a3 2b3 3a2b 2ab2成立 比较法证明不等式 作差比较法证明不等式的步骤 1 作差 2 变形 3 判断差的符号 4 下结论 其中 变形 是关键 通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式 再结合不等式的性质判断出差的正负 用分析法和综合法证明不等式 分析综合法分析法与综合法常常结合起来使用 称为分析综合法 其实质是既充分利用已知条件 又时刻瞄准解题目标 即不仅要搞清已知什么 还要明确干什么 通常用分析法找到解题思路 用综合法书写证题过程 用反证法证明不等式 若本例已知中的q 1 求证 f 1 与f 1 中至少有一个不小于2 证明 q 1 f x x2 px 1假设f 1 与f 1 都小于2 则f 1 f 1 4 而f 1 f 1 2 p 2 p 4 出现矛盾 f 1 与f 1 中至少有一个不小于2 反证法的适用情形 1 当要证明的结论与条件之间的联系不明显 直接由条件推出结论很困难时 常用反证法 2 如果从正面入手证明需分多种情况进行分类讨论 则从反面进行证明 即 正难则反 的思想 用放缩法证明不等式 用放缩法证明不等式的基本方法及常用技巧 1 用放缩法证明不等式的基本方法是 欲证A B 可通过适当放大或缩小 借助一个或多个中间变量 使得B B1 B1 B2 Bi A 或A A1 A1 A2 Ai B 再利用传递性 达到目的 柯西不等式的应用 例5 若3x 4y 2 试求x2 y2的最小值 使用柯西不等式的一般形式求最值时 关键是结合已知条件构造两个适当的数值 变形为柯西不等式的形式 1 如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显 可考虑用分析法 如果待证的命题以 至少 至多 等方式给出或否定性命题 惟一性命题 则考虑用反证法 如果待证不等式与自然数有关 则考虑用数学归纳法等 2 在必要的情况下 可能还需要使用换元法 构造法等技巧简化对问题的表述和证明 尤其是对含绝对值不等式的解法或证明 其简化的基本思路是化去绝对值号 转化为常见的不等式 组 求解 多以绝对值的几何意义或 找零点 分区间 逐个解 并起来 为简化策略 而绝对值三角不等式 往往作为不等式放缩的依据 3 在使用基本不等式时 等号成立的条件是一直要注意的事情 特别是连续使用时 要求分析每次使用时等号是否成立 易误警示 不等式证明中的易错误区 1 因不能正确利用绝对值三角不等式定理 配方法 放缩法等进行证明而致错 2 因忽视对a的讨论而致第 2 问出错 3 对较简单的绝对值不等式证明 不会灵活运用平方法 换元法等去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题 或不能恰当运用 a