金融工程7-维纳过程与伊藤引理

1 第12章维纳过程和伊藤引理 2 教学目的与要求掌握随机变量的概念 了解马尔科夫过程的特点 掌握维纳过程的特点和性质 掌握一般维纳过程的特征以及其漂移率和方差率 维纳过程的均值和标准差 掌握Ito过程的特征 3 教学重点及难点一 马尔科夫过程与效率市场的关系 二 维纳过程 一般维纳过程与此同时Ito过程的特征 漂移率和方差率 变量的均值与方差 以及这几种过程的内在联系和变化 三 Ito定理及其运用 4 期权的估值 欧式期权的到期收益Max ST X 0 ST不确定 所以期权到期的收益也不确定 期权当期的价值 风险中性估值期权当期的价值 未来收益折现后的期望值c E Max ST X 0 问题ST的分布是怎样的 只有确定ST的分布才能确定c的价值 5 12 1弱式效率市场假说与马尔可夫过程 效率市场假说1965年 法玛 Fama 提出了著名的效率市场假说 该假说认为 投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬 证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的 证券价格能完全反应全部信息 市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平 而与新信息相应的价格变动是相互独立的 效率市场分类效率市场假说可分为三类 弱式 半强式和强式 弱式效率市场假说认为 证券价格变动的历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信息 也就是说不能通过技术分析获得超过平均收益率的收益 6 半强式效率市场假说认为 证券价格会迅速 准确地根据可获得的所有公开信息调整 因此以往的价格和成交量等技术面信息以及已公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证券 强式效率市场假说认为 不仅是已公布的信息 而且是可能获得的有关信息都已反映在股价中 因此任何信息 包括 内幕信息 对挑选证券都没有用处 效率市场假说提出后 许多学者运用各种数据对此进行了实证分析 结果发现 发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说 7 马尔可夫过程弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程 MarkovStochasticProcess 来表述 马尔科夫过程 Markovprocess 是一种特殊类型的随机过程 未来的预测只与变量的当前值有关 与变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式不相关 股价的马尔科夫性质与弱型市场有效性 theweakformofmarketefficiency 相一致 一种股票的现价已经包含了所有信息 当然包括了所有过去的价格记录 如果弱型市场有效性正确的话 技术分析师可通过分析股价的过去历史数据图表获得高于平均收益率的收益是不可能的 是市场竞争保证了弱型市场有效性成立 8 12 2维纳过程 WienerProcess 布朗运动起源于物理学中对完全浸没于液体或气体中的小粒子运动的描述 以发现这种现象的英国植物学家RobertBrown命名 描述布朗运动的随机过程的定义是维纳 wiener 给出的 因此布朗运动又称维纳过程股价行为模型通常用布朗运动来描述 布朗运动是马尔科夫随机过程的一种特殊形式 9 维纳过程 WienerProcess 维纳过程 WienerProcess 性质一 股票价格的变动是一个正态变量与时间的乘积 服从标准正态分布 性质二 任意两个不重叠时段的股票价格变动相互独立从性质一 我们知道 z服从正态分布 性质2则隐含z遵循马尔科夫过程 维纳过程 布朗运动的特征股票价格在任意时段变动的均值都为0 股票价格在某一时段变动的方差等于时间的长度 10 程序 维纳过程的模拟 假定股票价格服从普通布朗运动 即dS dt dz 其中 和 均为常数 dz遵循标准布朗运动 也就是说 在短时间 t后 S值的变化值 S为假定股票价格服从几何布朗运动 即dS dt dz 其中 和 均为常数 dz遵循标准布朗运动 也就是说 在短时间 t后 ln S 值的变化值 ln S 为 当股票价格服从普通布朗运动时的走势图 11 当股票价格服从几何布朗运动时的走势图 12 13 股票价格的一般变动 一般化的维纳过程变量本身随着时间的推移会有定量的增长a t除了时间价值之外的变动为布朗运动 14 12 3股票价格的一般变动 股票价格的变动股票价格有随时间推移增长的稳定趋势股票 实际 价格变动为布朗运动 布朗运动 股票价格 指数布朗运动 股票价格 上证指数 18 12 4Ito sLemma Ito sLemma假设存在一个伊藤过程 如果G是x和t的函数 即 G G x t 那么 期权及其他衍生证券的价格变动股票价格服从维纳过程 那么 19 证明 如前述 假设标的资产价格变动过程服从 其中 利用泰勒展开 忽略高阶项 G x t 可以展开为 20 因此 上式可以改写为 保留1阶项 忽略1阶以上的高阶项 21 其中 忽略高阶项 22 因此 可得 由此得到 代入前述公式可得到伊藤引理 23 12 5股票价格的对数正态特性 对数正态分布股票价格服从维纳过程股票价格的分布为对数正态分布公式 24 关于对数正态分布 定义G lnS 由于 所以有 即 显然G为一个广义维纳过程 其漂移率为常数 波动率为常数 因此 lnS的变化服从正态分布 不难知道 25 对数正态分布 几何布朗运动的深入分析 在很短的时间 t后 证券价格比率的变化值为 可见 在短时间内 具有正态分布特征其均值为 标准差为 方差为 几何布朗运动的深入分析 2 但是 在一个较长的时间T后 不再具有正态分布的性质 多期收益率的乘积问题 服从正态分布的变量的乘积并不服从正态分布 而由于总的连续复利收益率等于各期收益率的加和 因此仍为正态分布 因此 尽管 是短期内股票价格百分比收益率的标准差 但是在任意时间长度T后 这个收益率的标准差却不再是 股票价格的年波动率并不是一年内股票价格百分比收益率变化的标准差 几何布朗运动的深入分析 3 如果股票价格服从几何布朗运动 则可以利用Ito引理来推导证券价格自然对数lnS所遵循的随机过程 这个随机过程的特征 普通布朗运动 恒定的漂移率和恒定的方差率 在任意时间长度T之后 G的变化仍然服从正态分布 均值为 方差为 标准差仍然可以表示为 和时间长度平方根成正比 从自然对数lnS所遵循的这个随机过程可以得到两个结论 1 几何布朗运动意味着股票价格服从对数正态分布 令t时刻G的值为lnS T时刻G的值为lnST 其中S表示t时刻 当前时刻 的证券价格 ST表示T时刻 将来时刻 的证券价格 则在T t期间G的变化为 这意味着 进一步从正态分布的性质可以得到也就是说 证券价格对数服从正态分布 如果一个变量的自然对数服从正态分布 则称这个变量服从对数正态分布 这表明ST服从对数正态分布 这正好与 作为预期收益率的定义相符 2 股票价格对数收益率服从正态分布 由于dG实际上就是连续复利的对数收益率 因此几何布朗运动实际上意味着对数收益率遵循普通布朗运动 对数收益率的变化服从正态分布 对数收益率的标准差与时间的平方根成比例 将t与T之间的连续复利年收益率定义为 则 结论 几何布朗运动较好地描绘了股票价格的运动过程 32 12 6随机过程的蒙特卡罗模拟 有关蒙特卡罗方法的由来取名于摩纳哥的著名赌城掷色子是一个随机事件蒙特卡罗方法任何涉及随机采样的数值方法不仅仅用于有关随机的问题估计圆周率 优化问题40年代美国LosAlamos实验室的科学家用于核武器的研究代表人物 冯诺依曼 经济和金融中的模拟方法 MonteCarlo方法在计量经济学里 如果我们对某种估计方法的统计性质不是很了解 而又要用到该种方法时 可以用MonteCarlo方法来解决 在计量经济学中的例子 对联立方程偏误的定量研究 确定Dickey Fuller检验的临界值 确定在自相关检验中样本大小对检验功效的影响 经济和金融中的模拟方法 MonteCarlo方法在金融中的例子 奇异期权的定价 确定宏观环境对金融市场的影响 风险管理建模 压力测试 例如 确定最小资本要求 模拟中的 随机数 进行蒙特卡罗模拟首先要设定数据生成系统 而设定数据生成系统的关键是要产生大量的随机数 例如模拟样本为100的随机趋势过程的DF统计量的分布 若试验1万次 则需要生成200万个随机数 计量经济学中蒙特卡罗模拟和自举模拟所用到的随机数一般是服从N 0 1 分布的随机数 计算机所生成的随机数并不是 纯随机数 而是具有某种相同统计性质的随机数 即某种 伪随机数 pseudo randomnumber 生成随机数的程序称作 伪随机数生成系统 实际上计算机不可能生成纯随机数 模拟的计算机实现 蒙特卡罗模拟和自举模拟的实现要通过计算机编程来实现 常用的软件有Mathematica Gauss Ox EViews Stata等 其原理基本一样 若干例子见图 图1随机游走序列图2带趋势项的随机游走序列 图3三维图圆环图4空间曲面 图5投币1000次的概率值模拟图6生长曲线 图7二元正态分布图8蒲丰问题 39 12 7蒙特卡罗模拟的实现 我们从几个例子来看例1 两个I 1 变量相关系数分布的蒙特卡罗模拟 未达到N图11蒙特卡罗模拟过程示意图 EViews程序如下 workfilecorru1500seriesresultfor i 1to500smpl1100seriesx nrndseriesy nrndseriesxxseriesyyscalarsum1 0scalarsum2 0for counter 1to100sum1 sum1 x counter sum2 sum2 y counter xx counter sum1yy counter sum2nextscalarr cor xx yy result i rnextresult hist 定义一个非时间序列 u 工作文件 corr 容量为500 定义一个空序列result 用来存储相关系数的计算结果 i为控制变量 通过一个for循环语句使计算进行500次 把样本范围设置成100 生成两个互不相关的白噪声序列x y 样本容量100 定义两个空的序列xx和yy 样本容量也是100 定义两个标量sum1和sum2 初始值为0 counter为控制变量 在这个for循环中 分别对序列x和y进行一次累加生成两个一阶单整的序列 将结果分别放到序列xx和yy中 累加一次 计算序列xx和yy的相关系数 并将结果放到标量r中 将相关系数计算结果放到序列result中 在这个for循环中 这个操作要进行500次 显示序列result的直方图以及有关统计量 图13两个非相关I 1 序列的相关系数的分布 例2 DW统计量分布的蒙特卡罗模拟 例3 利用模拟方法对欧式期权进行定价 设股票价格St服从风险中性测度下的几何Brown运动 其离散化形式为 根据金融工程理论 设现在股票价格为S0 T时刻到期 单位天 敲定价为K的欧式看涨期权的价格为 MC方案 按照 1 递推产生n条风险中性测度下的轨道 提取出ST n 2 44 对一个大众型欧式看涨期权的定价 具体步骤如下 确定标的资产的数据产生过程 通常假设该过程为具有漂移的随机游走 即要确定漂移和波动参数 同时要确定行权价格K及到期日T 产生T个标准正态分布的数据 作为误差项 ut N 0 1 构造T个标的资产的观测值 例3 利用模拟方法对欧式期权进行定价 45 记录在时刻T时标的资产的价格ST 对一个看涨期权如果STK 则价值为ST K 然后用无风险利率贴现 重复1到4步N次 取N重复的平均值 这个平均值就是该欧式看涨期权的价格 对于更加复杂期权的定价可以按同样思路进行 例 利用模拟方法对欧式期权进行定价 续 有关随机数发生器 随机数产生器 能够产生在区间 0 1 上均匀分布的随机数Excel中在excel中可以采用RAND 产生一个0和1之间的随机数 累积正态分布分布的反函数为NORMSINV 所以 EXCEL中从标准正态分布中随机抽样的方法是 NORMSINV RAND STATA中生成 0 1 之间伪随机数的命令为uniform每运行 diuniform 命令一次 就可以得到一个随机数 simulate exp list reps saving filename replace seed command例simulatemax r max reps 10000 nodots seq