第3课高等数学建模案例.ppt

物理学在二十世纪取得了令人惊讶的成功 它改变了我们对空间和时间 存在和认识的看法 也改变了我们描述自然的基本语言 在本世纪行将结束之际 我们已拥有一个对宇宙的崭新看法 在这个新的宇宙观中物质已失去了它原来的中心地位 取而代之的是自然界的对称性 斯蒂芬 温伯格 一 对称性的概念源于生活 日常生活中常说的对称性 是指物体或一个系统各部分之间的适当比例 平衡 协调一致 从而产生一种简单性和美感 这种美来源于几何确定性 来源于群体与个体的有机结合 人体 动植物结构对称 天竺葵长春草 建筑物 宫殿 寺庙 陵墓 教堂 左右对称 硬币游戏中的数学对称如果你和你的对手准备依次轮流将硬币放在一个长方形桌子上 使得硬币不重叠 最后放上去的人为胜 开始时你有权决定先放还是后放 为了赢得比赛 应该采取什么样的策略 如图 先放在中心位置肯定能赢 策略如下 先放在中心位置一个 然后根据对手所放硬币情况在中心对称位置放自己的硬币 先在中心位置放的肯定能赢 介值定理 定义 推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值 例1 证 由零点定理 例2 证 由零点定理 椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析 模型假设 通常 三只脚着地 放稳 四只脚着地 1 四条腿一样长 椅脚与地面点接触 四脚连线呈正方形 2 地面高度连续变化 可视为数学上的连续曲面 3 地面相对平坦 使椅子在任意位置至少三只脚同时着地 问题 把椅子往不平的地面上一放 通常只有三只脚着地放不稳 然而只需稍挪动几次就可以使四脚同时着地 试用数学语言来解释该现象 模型构成 先用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置 利用正方形 椅脚连线 的对称性 用 对角线与x轴的夹角 表示椅子位置 四只脚着地 距离是 的函数 四个距离 四只脚 A C两脚与地面距离之和 f B D两脚与地面距离之和 g 两个距离 椅脚与地面距离为零 正方形ABCD绕O点旋转 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 f g 是连续函数 对任意 f g 至少一个为0 数学问题 已知 f g 是连续函数 对任意 f g 0 且g 0 0 f 0 0 证明 存在 0 使f 0 g 0 0 模型构成 地面为连续曲面 椅子在任意位置至少三只脚着地 模型求解 下面给出一种简单的证明方法 将椅子旋转900 对角线AC和BD互换 由g 0 0 f 0 0 知f 2 0 g 2 0 令h f g 则h 0 0和h 2 0 由f g的连续性知h为连续函数 据连续函数的基本性质 必存在 0 使h 0 0 即f 0 g 0 因为f g 0 所以f 0 g 0 0 评注和思考 建模的关键 进一步讨论 考察四脚呈长方形的椅子 和f g 的确定 席位分配问题 某校有200名学生 甲系100名 乙系60名 丙系40名 若学生代表会议设20个席位 问三系各有多少个席位 按惯例分配席位方案 即按人数比例分配原则 表示某单位的席位数 表示某单位的人数 表示总人数 表示总席位数 1 1问题的提出 20个席位的分配结果 现丙系有6名学生分别转到甲 乙系各3名 10 6 4 10 6 4 现象1丙系虽少了6人 但席位仍为4个 不公平 为了在表决提案时可能出现10 10的平局 再设一个席位 21个席位的分配结果 11 7 3 现象2总席位增加一席 丙系反而减少一席 不公平 惯例分配方法 按比例分配完取整数的名额后 剩下的名额按惯例分给小数部分较大者 存在不公平现象 能否给出更公平的分配席位的方案 建模分析 目标 建立公平的分配方案 反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量 一般地 当 席位分配公平 但通常不一定相等 席位分配的不公平程度用以下标准来判断 此值越小分配越趋于公平 但这并不是一个好的衡量标准 C D的不公平程度大为改善 2 相对不公平 表示每个席位代表的人数 总人数一定时 此值越大 代表的人数就越多 分配的席位就越少 则A吃亏 或对A是不公平的 定义 相对不公平 对A的相对不公平值 同理 可定义对B的相对不公平值为 对B的相对不公平值 建立了衡量分配不公平程度的数量指标 制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小 建模 若A B两方已占有席位数为 用相对不公平值 讨论当席位增加1个时 应该给A还是B方 不失一般性 有下面三种情形 情形1 说明即使给A单位增加1席 仍对A不公平 所增这一席必须给A单位 情形2 说明当对A不公平时 给A单位增加1席 对B又不公平 计算对B的相对不公平值 情形3 说明当对A不公平时 给B单位增加1席 对A不公平 计算对A的相对不公平值 则这一席位给A单位 否则给B单位 结论 当 成立时 增加的一个席位应分配给A单位 反之 应分配给B单位 记 则增加的一个席位应分配给Q值较大的一方 这样的分配席位的方法称为Q值方法 若A B两方已占有席位数为 推广有m方分配席位的情况 设 方人数为 已占有 个席位 当总席位增加1席时 计算 则1席应分给Q值最大的一方 从 开始 即每方 至少应得到以1席 如果有一方1席也分不到 则把它排除在外 举例 甲 乙 丙三系各有人数103 63 34 有21个席位 如何分配 按Q值方法 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 甲 11 乙 6 丙 4 除雪机除雪模型 问题 冬天的纷飞大雪 使公路上积起厚雪而影响交通 有条10公里长的公路 由一台除雪机负责清扫积雪 每当路面积雪平均厚度达到0 5米时 除雪机就开始工作 但问题是开始除雪后 大雪仍下个不停 使路上积雪越来越深 除雪机工作速度逐渐降低直到无法工作 降雪的大小直接影响除雪机的工作速度 且 已了解下述情况和部分有关数据 1 在除雪机开始工作后 降雪又持续了一个 问 当大雪以下列速度下一小时 除雪机能 A 恒速R 0 1厘米 秒 2 当雪厚度达到1 5米时 除雪机无法工作 3 除雪机在没有雪的路上速度为10米 秒 小时 否完成10公里的除雪工作 B 恒速R 0 025厘米 秒 C 前30分钟由零均匀增加到0 1厘米 秒 后 30分钟又均匀减少到零 问题的分析 不妨假设除雪机的工作速度V 米 秒 与积 由条件 雪厚度d 米 成正比 即 除雪机刚开始工作时积雪厚度当d 0 5米 由 下面还要描述下雪的厚度 若下雪速度保持不变 记为R 单位 厘米 由此得到除雪机工作t秒时雪的总厚度 d t 0 5 Rt 100 5 3 将 5 3 代入 5 2 得t秒时的除雪速度为 秒 则雪在t秒内的厚度增加量为Rt厘米 Rt 100米 5 2 式知 除雪机的初始工作速度为6 7米 秒 除雪机不得已停止工作的时间由V t 0确 也可求出除雪机工作t秒时的行驶距离 现在根据上面的公式分析以下两种情况 定为 情形A 恒速R 0 1厘米 秒 除雪机开始工作的一小时内 积雪的新增 除雪机在中途必会停止工作 停止工作的时间 由 5 6 可知除雪机停止工作时所行驶的距离为 这时除雪机才行驶了三分之一的路程 雪深已 情形B 恒速R 0 025厘米 秒 除雪机停止工作的时间为 此期间除雪机的行驶距离为 达到1 5米 除雪机将无法工作 这比要求清扫的10公里更长 除雪机早已完 问题 那么除雪机什么时间完成任务 因为除雪机的实际行驶路程 将此代入 5 6 有 解方程得实际除雪时间 成任务 这时除雪机的速度是 米 秒 情形C 大雪前30分钟由零均匀增加到0 1厘米 秒 后30分钟又均匀减少到零 用r t 表示t时刻雪的速度 则下雪速度变化情况如图2 15 由图知 式中 r t 的单位为厘米 秒 对下雪速度求积分就可得积雪厚度函数 当t 1800秒 米 5 7 即当工作到30分钟时 积雪厚度为1 4米 当t 1800秒 这说明在雪停以前除雪机已经停止工作 那么除雪机是否中途被迫中断工作 能工 作多长时间 已清扫了多长路程