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2016届高三理科数学试题（75）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1设全集U=R，集合A=x|1og2x2，B=x|（x3）（x+1）0，则（CUB）A=（）A（，1B（，1（0，3）C0，3）D（0，3）2设i为虚数单位，若=bi（a，bR），则a+b=（）A1B2C3D43若p，q都为命题，则“p或q为真命题”是“p且q为真命题”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A82B8C8D86如图程序框图中，若输入m=4，n=10，则输出a，i的值分别是（）A12，4B16，5C20，5D24，674位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）ABCD8如图，在等腰直角ABO中，OA=OB=1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，则等于（）ABCD9若函数，且f（）=2，f（）=0，|的最小值是，则f（x）的单调递增区间是（）ABC D10设偶函数f（x）对任意xR都有f（x）=且当x3，2时f（x）=4x，则f（119.5）=（）A10B10CD11设f（x）是（x2+）6展开式的中间项，若存在x，使f（x）mx成立，则实数m的取值范围是（）A（，）B（，C（，+）D，+）12设不等式组，其中a0，若z=2x+y的最小值为，则a=（）ABCD13设函数y=fn（x）在（0，+）内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK（x）=，取函数f（x）=，恒有fK（x）=f（x），则（）AK的最大值为BK的最小值为CK的最大值为2DK的最小值为2二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）14已知等差数列an中，a1+a3+a8=，那么cos（a3+a5）=15设f（x）=，若f（f（1）=1，则a=16在三棱锥ABCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，ABC，ACD，ADB的面积分别为，则三棱锥ABCD的外接球的体积为17在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y28x+15=0，若直线y=kx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18（12分）数列an的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意nN*，总有an，Sn，an2成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）设，数列bn的前n项和为Tn，求证：19（12分）如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，将ACD沿矩形的对角线AC翻折，得到如图2所示的几何体DABC，使得BD=（1）求证：ADBC；（2）若在CD上存在点P，使得VPABC=VDABC，求二面角PABC的余弦值20（12分）为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度不超过22公里的地铁票价如下表：乘坐里程x（单位：km）0x66x1212x22票价（单位：元）345现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22公里已知甲、乙乘车不超过6公里的概率分别为，甲、乙乘车超过6公里且不超过12公里的概率分别为，（）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；（）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望21（12分）已知点P为y轴上的动点，点M为x轴上的动点点F（1，0）为定点，且满足+=，=0（）求动点N的轨迹E的方程（）A，B是E上的两个动点，l为AB的中垂线，求当l的斜率为2时，l在y轴上的截距m的范围22已知f（x）=ex，g（x）=xm（mR），设h（x）=f（x）g（x）（）求h（x）在0，1上的最大值（）当m=0时，试比较ef（x2）与g（x）的大小，并证明选做题【选修4-1：几何证明选讲】23（10分）如图，在ABC中，CD是ACB的角平分线，ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC（）求证：BE=2AD；（）当AC=3，EC=6时，求AD的长【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】24（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：sin2=2acos（a0），已知过点P（2，4）的直线L的参数方程为：，直线L与曲线C分别交于M，N（）写出曲线C和直线L的普通方程； （）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值【选修4-5：不等式选讲】25（10分）已知函数f（x）=|x1|，（1）解关于x的不等式f（x）+x210（2）若g（x）=|x+3|+m，f（x）g（x）的解集非空，求实数m的取值范围参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1设全集U=R，集合A=x|1og2x2，B=x|（x3）（x+1）0，则（CUB）A=（）A（，1B（，1（0，3）C0，3）D（0，3）【考点】交、并、补集的混合运算 【专题】集合【分析】根据题意，先求出集合A，B，进而求出B的补集，进而根据交集的定义，可得答案【解答】解：集合A=x|1og2x2=（0，4，B=x|（x3）（x+1）0=（，13，+），CUB=（1，3），（CUB）A=（0，3），故选：D【点评】本题考查集合混合运算，注意运算的顺序，其次要理解集合交、并、补的含义2设i为虚数单位，若=bi（a，bR），则a+b=（）A1B2C3D4【考点】复数相等的充要条件 【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出【解答】解：=bi（a，bR），a+2i=bi+1，a=1，2=b，则a+b=3故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题3若p，q都为命题，则“p或q为真命题”是“p且q为真命题”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】简易逻辑【分析】从两个方向来判断：先看p或q为真命题能否得到p且q为真命题，然后看p且q为真命题能否得到p或q为真命题，这样即可得出p或q为真命题是p且q为真命题的什么条件【解答】解：（1）若p或q为真命题，则：p，q中至少一个为真命题；可能是p为真命题，q为假命题；这时p且q为假命题；p或q为真命题不是p且q为真命题的充分条件；（2）若p且q为真命题，则：p假q真；p或q为真命题；p或q为真命题是p且q为真命题的必要条件；综上得“p或q为真命题”是“p且q为真命题”的必要不充分条件故选B【点评】考查p或q，p且q，p的真假和p，q真假的关系，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念4某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A82B8C8D8【考点】由三视图求面积、体积 【专题】空间位置关系与距离【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，分别求出底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，其底面面积S=22212=4，柱体的高h=2，故该几何体的体积V=Sh=8，故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，其中根据三视图分析出几何体的形状是解答的关键6如图程序框图中，若输入m=4，n=10，则输出a，i的值分别是（）A12，4B16，5C20，5D24，6【考点】程序框图 【专题】图表型；算法和程序框图【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的i，a的值，当a=20时，满足条件n整除a，退出循环，输出a的值为20，i的值为5【解答】解：模拟执行程序，可得m=4，n=10，i=1a=4，不满足条件n整除a，i=2，a=8不满足条件n整除a，i=3，a=12不满足条件n整除a，i=4，a=16不满足条件n整除a，i=5，a=20满足条件n整除a，退出循环，输出a的值为20，i的值为5故选：C【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的i，a的值是解题的关键，属于基本知识的考查74位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）ABCD【考点】等可能事件的概率 【专题】计算题；概率与统计【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有242=162=14种情况，所求概率为=故选：D【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数8如图，在等腰直角ABO中，OA=OB=1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，则等于（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算 【专题】平面向量及应用【分析】将，带入，然后根据条件进行数量积的运算即可求得答案【解答】解：由已知条件知，AB=，OAB=45；又，；=故选A【点评】考查向量加法、减法的几何意义，两向量垂直时数量积为0，向量数量积的运算及计算公式9若函数，且f（）=2，f（）=0，|的最小值是，则f（x）的单调递增区间是（）ABCD【考点】正弦函数的单调性 【专题】三角函数的图像与性质【分析】由条件求得的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间【解答】解：由题意可得 =，=1，f（x）=2sin（x+）令2kx+2k+，kz，求得2kx2k+，故函数的增区间为2k，2k+，kz，故选：D【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，正弦函数的单调性，属于基础题10设偶函数f（x）对任意xR都有f（x）=且当x3，2时f（x）=4x，则f（119.5）=（）A10B10CD【考点】函数的周期性 【专题】函数的性质及应用【分析】先根据条件求出函数的周期，然后根据周期进行化简得f（119.5）=f（0.5），再根据奇偶性和条件将0.5转化到区间3，2上，代入解析式可求出所求【解答】解：函数f（x）对任意xR都有f（x）=，f（x+3）=，则f（x+6）=f（x），即函数f（x）的周期为6，f（119.5）=f（2060.5）=f（0.5）=，又偶函数f（x），当x3，2时，有f（x）=4x，f（119.5）=故选：C【点评】本题主要考查了函数的奇偶性和周期性，要特别利用好题中有f（x）=的关系式在解题过程中，条件f（x+a）=通常是告诉我们函数的周期为2a属于中档题11设f（x）是（x2+）6展开式的中间项，若存在x，使f（x）mx成立，则实数m的取值范围是（）A（，）B（，C（，+）D，+）【考点】二项式定理的应用 【专题】二项式定理【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式求得f（x）=x3由于存在x，使mx2 成立，可得m大于或等于x2 在，上的最小值【解答】解：（x2+）6的展开式共有7项，中间项为第4项，（x2+）6展开式的通项为Tr+1=（x2）6r=x123r，令r=3得 T4=x3=x3，f（x）=x3存在x，使f（x）mx成立，存在x，使x3mx成立，存在x，使mx2 成立，m大于或等于x2 在，上的最小值当x=时，x2 有最小值，m，故选项：D【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，体现了转化的数学思想，属于中档题12设不等式组，其中a0，若z=2x+y的最小值为，则a=（）ABCD【考点】简单线性规划 【专题】不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：画出满足条件的平面区域如图，联立，解得A（1，2a），由图可知，直线z=2x+y过（1，2a）时，z取到最小值，22a=，解得：a=，故答案为：D【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题13设函数y=fn（x）在（0，+）内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK（x）=，取函数f（x）=，恒有fK（x）=f（x），则（）AK的最大值为BK的最小值为CK的最大值为2DK的最小值为2【考点】函数恒成立问题 【专题】函数的性质及应用【分析】由已知条件可得kf（x）max，用导数确定函数函数的单调性，求解函数的最值，进而求出k的范围，进一步得出所要的结果【解答】解：函数fK（x）=，等价为Kf（x）max，f（x）=，f（x）=，设g（x）=，则g（x）在（0，+）单调递减，且g（1）=0，令f（x）=0，即，解出x=1，当0x1时，f（x）0，f（x）单调递增，当x1时，f（x）0，f（x）单调递减故当x=1时，f（x）取到极大值同时也是最大值f（1）=故当k时，恒有fk（x）=f（x）因此K的最小值为故选：B【点评】本题考查与函数有关的新定义题目，利用导数求闭区间上函数的最值，考查运算求解能力，推理论证能力，解题时要认真审题，仔细解答综合性较强，有一定的难度二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）14已知等差数列an中，a1+a3+a8=，那么cos（a3+a5）=【考点】等差数列的性质 【专题】等差数列与等比数列【分析】由已知结合等差数列的性质求得a4，则a3+a5可求，其余弦值可求【解答】解：在等差数列an中，由a1+a3+a8=，得，即，a3+a5=，则cos（a3+a5）=故答案为：【点评】本题考查等差数列的性质，考查了三角函数的值，是基础题15设f（x）=，若f（f（1）=1，则a=1【考点】函数的值 【专题】计算题【分析】先根据分段函数求出f（1）的值，然后将0代入x0的解析式，最后根据定积分的定义建立等式关系，解之即可【解答】解：f（x）=f（1）=0，则f（f（1）=f（0）=1即0a3t2dt=1=t3|0a=a3解得：a=1故答案为：1【点评】本题主要考查了分段函数的应用，以及定积分的求解，同时考查了计算能力，属于基础题16在三棱锥ABCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，ABC，ACD，ADB的面积分别为，则三棱锥ABCD的外接球的体积为【考点】球内接多面体；球的体积和表面积 【专题】空间位置关系与距离【分析】利用三棱锥侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的三度，从而求出对角线长，即可求解外接球的体积【解答】解：三棱锥ABCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，设长方体的三度为a，b，c，则由题意得：ab=，ac=，bc=，解得：a=，b=，c=1，所以球的直径为：=所以球的半径为，所以三棱锥ABCD的外接球的体积为=故答案为：【点评】本题考查几何体的外接球的体积，三棱锥转化为长方体，两者的外接球是同一个，以及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在17在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y28x+15=0，若直线y=kx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是【考点】圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系 【专题】直线与圆【分析】由于圆C的方程为（x4）2+y2=1，由题意可知，只需（x4）2+y2=1与直线y=kx2有公共点即可【解答】解：圆C的方程为x2+y28x+15=0，整理得：（x4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需圆C：（x4）2+y2=1与直线y=kx2有公共点即可设圆心C（4，0）到直线y=kx2的距离为d，则d=2，即3k24k0，0kk的最大值是故答案为：【点评】本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x4）2+y2=4与直线y=kx2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18（12分）数列an的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意nN*，总有an，Sn，an2成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）设，数列bn的前n项和为Tn，求证：【考点】数列与不等式的综合；等差数列的性质；数列递推式 【专题】计算题【分析】（1）根据an=SnSn1，整理得anan1=1（n2）进而可判断出数列an是公差为1的等差数列，根据等差数列的通项公式求得答案（2）由（1）知，因为，所以，从而得证【解答】解：（1）由已知：对于nN*，总有2Sn=an+an2成立（n2）得2an=an+an2an1an12，an+an1=（an+an1）（anan1）an，an1均为正数，anan1=1（n2）数列an是公差为1的等差数列又n=1时，2S1=a1+a12，解得a1=1，an=n（nN*）（2）解：由（1）可知【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式和等差数列的性质，考查放缩法从而综合考查了学生分析问题的能力19（12分）如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，将ACD沿矩形的对角线AC翻折，得到如图2所示的几何体DABC，使得BD=（1）求证：ADBC；（2）若在CD上存在点P，使得VPABC=VDABC，求二面角PABC的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质 【专题】空间位置关系与距离；空间角；立体几何【分析】（1）通过勾股定理可得ADBD，利用线面垂直的判定定理即得结论；（2）过D作DQAB交AB于Q点，则能以Q为原点，以QB、QD所在直线分别为x、z轴建立空间直角坐标系，则所求值为平面PAB的法向量与平面ABC的一个法向量的夹角的余弦值【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，BD=，AD=2，AB2=AD2+BD2，ADBD，又ADCD，AD平面BCD，ADBC；（2）解：由（1）知ADBC，又ABBC，BC平面ABD，过D作DQAB交AB于Q点，则DQ平面ABC，以Q为原点，以QB、QD所在直线分别为x、z轴建立空间直角坐标系如图，则DQ=，BQ=，Q（0，0，0），B（，0，0），C（，1，0），D（0，0，），VPABC=VDABC，P为CD的中点，P（，），=（，0，0），=（，），设平面PAB的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=，得=（0，1），而=（0，0，）是平面ABC的一个法向量，=，所求二面角PABC的余弦值为【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的计算，考查空间想象能力、计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题20（12分）为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度不超过22公里的地铁票价如下表：乘坐里程x（单位：km）0x66x1212x22票价（单位：元）345现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22公里已知甲、乙乘车不超过6公里的概率分别为，甲、乙乘车超过6公里且不超过12公里的概率分别为，（）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；（）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【专题】概率与统计【分析】（）求出甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为，求出甲、乙两人所付乘车费用相同的概率，即可求解甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率（）求出=6，7，8，9，10，求出概率，得到的分布列，然后求解期望即可【解答】（本小题满分12分）解：（）由题意可知，甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为，则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率（2分）所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率（4分）（）由题意可知，=6，7，8，9，10则（10分）所以的分布列为678910P则（12分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列期望的求法，考查计算能力21（12分）已知点P为y轴上的动点，点M为x轴上的动点点F（1，0）为定点，且满足+=，=0（）求动点N的轨迹E的方程（）A，B是E上的两个动点，l为AB的中垂线，求当l的斜率为2时，l在y轴上的截距m的范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（）设出N点的坐标，由已知条件可知P为MN的中点，由题意设出P和M的坐标，求出和的坐标，代入可求动点N的轨迹E的方程；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），l方程为y=2x+m，则AB的方程为：，直线与圆锥曲线联立求得中点坐标，继而求出答案【解答】解：（）设动点N的坐标为（x，y），P（0，b）M（a，0）则，由，可得，y2=4x；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），l方程为y=2x+m，则AB的方程为：，由可得：x24（b+4）x+4b2=0，=16（b+4）216b20，b2，x1+x2=4（b+4），AB的中点坐标为（2b+8，4），4=4b+16+mm=4b20，故：m（，12）【点评】本题考查了轨迹方程的求法，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的关系问题是考查的中点，常和弦长问题、存在性问题结合考查，解答时往往采用“设而不求”的解题方法，借助于一元二次方程的根与系数关系解题，该种类型的问题计算量较大，要求学生有较强的运算能力，是难题22已知f（x）=ex，g（x）=xm（mR），设h（x）=f（x）g（x）（）求h（x）在0，1上的最大值（）当m=0时，试比较ef（x2）与g（x）的大小，并证明【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【专题】分类讨论；导数的综合应用；不等式的解法及应用【分析】（）求出h（x）的导数，讨论m的范围，若m1，若1m2时，若m2时，求出函数的单调性，即可得到最大值；（）当m=0时，求得g（x），对x讨论，当x0时，当x0时，求出单调性，结合零点存在定理和对数的运算性质，即可判断大小【解答】解：（）h（x）=（xm）ex，h（x）=（xm+1）ex，由0x1，h（x）0可得0x1且xm1；若m1，h（x）在0，1递增，h（x）max=h（1）=（1m）e；若1m2时，h（x）在0，m1）递减，在m1，1递增，h（x）max=maxh（0），h（1），而h（1）h（1）=m（1e）+e，当1m时，h（x）max=（1m）e，当m2时，h（x）max=m；若m2时，h（x）在0，1递减，h（x）max=h（0）=m综上可得h（x）max=；（）当m=0时，ef（x2）=，g（x）=x，当x0时，显然有ef（x2）g（x）；当x0时，lnef（x2）=ex2，lng（x）=lnx，设（x）=ex2lnx，（x）=ex2，（x）在（0，+）递增，而（1）0，（2）0，（x）在（0，+）有唯一的实数根x0，且1x02，ex02=，（x）在（0，x0）递减，在（x0，+）递增，（x）（x0）=ex02lnx0=+x02=0，即有（x）=ex2lnx0，即ex2lnx，即有ef（x2）g（x）综上可得，ef（x2）g（x）【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查构造函数运用导数判断单调性，运用分类讨论的思想方法是解题的关键选做题【选修4-1：几何证明选讲】23（10分）如图，在ABC中，CD是ACB的角平分线，ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC（）求证：BE=2AD；（）当AC=3，EC=6时，求AD的长【考点】与圆有关的比例线段 【专题】选作题；立体几何【分析】（）连接DE，证明DBECBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD；（）根据割线定理得BDBA=BEBC，从而可求AD的长【解答】（）证明：连接DE，ACED是圆内接四边形，BDE=BCA，又DBE=CBA，DBECBA，即有，又AB=2AC，BE=2DE，CD是ACB的平分线，AD=DE，BE=2AD；（5分）（）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，则BE=2t，BC=2t+6，根据割线定理得BDBA=BEBC，即（6t）6=2t（2t+6），即2t2+9t18=0，解得