函数的奇偶性

数与形 本是相倚依 焉能分作两边飞 数无形时少直觉 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 切莫忘 几何代数统一体 永远联系莫分离 华罗庚 1 函数的单调性刻画了函数哪方面性质 我们是通过怎样的过程得到增 减 函数的概念和函数的最大 小 值的概念的 体现了哪些数学思想方法 2 3 4 5 6 7 8 函数的奇偶性 9 10 f x x2 探究 观察函数f x x2的图象 11 12 探究 完成下列函数值对应值表1 16 16 9 9 4 1 0 1 4 f 4 f 4 f 3 f 3 f 2 f 2 f 1 f 1 f 0 f 0 比较表格中函数值y随自变量x变化情况 你能得出什么结论 当自变量x取一对相反数时 相应的两个函数值相等 13 f x x2 探究 在函数定义域R内 改变自变量x的值 你得到的结论成立吗 14 对于函数定义域R内任意的x的值 你得到的结论成立吗 函数f x x2在定义域R内的图象关于y轴对称 用函数解析式来描述就是 对于定义域R内任意一个自变量x的值 都有f x x 2 x2 f x 用函数解析式如何描述 探究 15 探究 观察函数f x 1 x 的图象 16 完成下列函数值对应值表2 3 3 2 2 1 0 1 0 1 探究 f 4 f 4 f 3 f 3 f 2 f 2 f 1 f 1 f 0 f 0 比较表格中函数值y随自变量x的变化情况 你能得出什么结论 当自变量x取一对相反数时 相应的两个函数值相等 17 f x 1 x 探究 对于定义域R内任意一个自变量x的值 都有f x x 2 x2 f x 18 对于一般的函数y f x 的图象关于y轴对称 用函数解析式应当怎样刻画 函数y f x 在定义域内的图象关于y轴对称 用函数解析式来描述就是 对于定义域内任意一个自变量x的值 都有f x f x 探究 19 练习1 观察函数f x x2 1的图象 它的图象有什么特征 它是偶函数吗 你能用偶函数的定义解释你的判断吗 f x x 2 1 x2 1 f x 20 练习2 函数是偶函数吗 为什么 它的图象具有什么特征 21 如果一个函数的图象关于y轴对称 那么这个函数是偶函数 反之 如果一个函数是偶函数 那么这个函数的图象关于y轴对称 偶函数的性质 22 探究 观察函数f x x 1 f x x3的图象 23 探究 表3 观察函数f x x 1 f x x3的图象特征 完成表3 表4 表4 64 64 27 27 8 1 0 1 8 f 4 f 4 f 3 f 3 f 2 f 2 f 1 f 1 f 0 f 0 f 4 f 4 f 3 f 3 f 2 f 2 f 1 f 1 比较表格中函数值y随自变量x的变化情况 你能得出什么结论 当自变量x取一对相反数时 相应的两个函数值也是一对相反数 24 探究 f x x3 f x x 1 25 如何用数学语言描述 函数的图象关于原点对称 函数y f x 在定义域R内的图象关于原点对称 用函数解析式来描述就是 对于定义域R内任意一个自变量x的值 都有f x f x 26 奇函数的定义 如果对于函数y f x 的定义域内任意一个x 都有f x f x 那么函数y f x 就叫做奇函数 27 如果一个函数的图象关于y轴对称 那么这个函数是偶函数 反之 如果一个函数是偶函数 那么这个函数的图象关于y轴对称 偶函数的性质 奇函数的性质 如果一个函数的图象关于原点对称 那么这个函数是奇函数 反之 如果一个函数是奇函数 那么这个函数的图象关于原点对称 28 奇函数的定义 如果对于函数y f x 的定义域内任意一个x 都有f x f x 那么函数y f x 就叫做奇函数 偶函数的定义 如果对于函数y f x 的定义域内任意一个x 都有f x f x 那么函数y f x 就叫做偶函数 定义域内任意一个x 都有f x f x 如果对于函数y f x 的 那么函数y f x 就叫做偶函数 如果对于函数y f x 的 那么函数y f x 就叫做奇函数 定义域内任意一个x 都有f x f x 29 奇 偶 函数在x轴上表示函数的定义域的点的集合一定关于原点对称 30 例5 判断下列函数的奇偶性 31 例5 判断下列函数的奇偶性 解 函数的定义域为 因为对函数定义域内每一个x 都有 所以 函数为奇函数 32 例5 判断下列函数的奇偶性 解 函数的定义域为 因为对函数定义域内每一个x 都有 所以 函数为奇函数 33 例5 判断下列函数的奇偶性 解 函数的定义域为 因为对函数定义域内每一个x 都有 所以 函数为奇函数 34 例5 判断下列函数的奇偶性 解 函数的定义域为 因为函数在x轴上表示函数定义域的点的集合不关于原点对称 所以函数既不是奇函数又不是偶函数 35 例5 判断下列函数的奇偶性 解 函数的定义域为 因为函数在x轴上表示函数定义域的点的集合不关于原点对称 所以函数既不是奇函数又不是偶函数 36 练习1 判断下列函数的奇偶性 37 思考 1 判断函数f x x3 x的奇偶性 2 如图是函数f x x3 x图象的一部分 你能根据函数f x x3 x的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗 f x x 3 x x3 x x3 x f x f x 是奇函