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一维随机变量函数的分布 设随机变量X的分布已知 Y g X 设g是连续函数 如何由X的分布求出Y的分布 下面进行讨论 一般来说 随机变量X的函数Y g X 仍是一个随机变量 一 离散型随机变量函数的分布 解 当X取值1 2 5时 Y取对应值5 7 13 而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件 两者具有相同的概率 故 如果g xk 中有一些是相同的 把它们作适当并项即可 一般 若X是离散型r v X的概率函数为 则Y X2的概率函数为 二 连续型随机变量函数的分布 解 设Y的分布函数为FY y FY y P Yy P 2X 8y P X FX 于是Y的密度函数 故 注意到0 x 4时 即8 y 16 此时 Y 2X 8 求导可得 当y 0时 注意到Y X20 故当y0时 解 设Y和X的分布函数分别为和 若 则Y X2的概率密度为 从上述两例中可以看到 在求P Y y 的过程中 关键的一步是设法从 g X y 中解出X 从而得到与 g X y 等价的X的不等式 用代替 X2 y 这样做是为了利用已知的X的分布 从而求出相应的概率 这是求r v的函数的分布的一种常用方法 例4设随机变量X的概率密度为 求Y sinX的概率密度 当y0时 当y1时 故 解 注意到 P 0Xarcsiny P arcsinyX 解 当0 y 1时 例4设随机变量X的概率密度为 求Y sinX的概率密度 当0 y 1时 解 P 0Xarcsiny P arcsinyX 而 求导得 下面给出一个定理 在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度 其中 此定理的证明与前面的解题思路类似 x h y 是y g x 的反函数 定理设X是一个取值于区间 a b 具有概率密度f x 的连续型r v 又设y g x 处处可导 且对于任意x 恒有或恒有 则Y g X 是一个连续型r v 它的概率密度为 下面我们用这个定理来解一个例题 例5设随机变量X在 0 1 上服从均匀分布 求Y 2lnX的概率密度 解 在区间 0 1 上 函数lnx 0 故y 2lnx 0 于是y在区间 0 1 上单调下降 有反函数 由前述定理得 注意取绝对值 已知X在 0 1 上服从均匀分布 代入的表达式中 得 即Y服从参数为1 2的指数分布 对于连续型随机变量 在求Y g X 的分布时 关键的一步是把事件 g X y 转化为X在一
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