理力13(动力学-李卓球)-动力学普遍方程和拉格朗日方程

1 第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 分析力学篇 13 1动力学普遍方程 在理想约束的条件下 质点系在任一瞬时所受的主动力系和虚加的惯性力系在虚位移上所作虚功的和等于零 解析表达式 动力学普遍方程 达朗贝尔 拉格朗日原理 由达朗贝尔原理 只受理想约束 由虚位移原理 动力学普遍方程和拉格朗日方程 动力学普遍方程 3 在图所示滑轮系统中 动滑轮上悬挂着质量为m1的重物 绳子绕过定滑轮后悬挂着质量为m2的重物 设滑轮和绳子的重量以及轮轴摩擦都不计 求物体下降的加速度 例题13 1 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 4 例题13 1 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 5 给系统以虚位移 s1和 s2 由动力学普遍方程 得 m1g m2g a1 a2 解 取整个滑轮系统为研究对象 系统具有理想约束 系统所受的主力为重力m1g和m2g 假想加入系统的惯性力 例题13 1 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 6 这是一个自由度系统 所以 s1和 s2中只有一个独立的 由定滑轮和动滑轮的传动关系 有 消去 s2 得 代入前式 有 例题13 1 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 7 两个半径皆为r的均质轮 中心用连杆相连 在倾角为 的斜面上作纯滚动 如图所示 设轮子质量皆为m1 对轮心的转动惯量皆为J 连杆质量为m2 求连杆运动的加速度 m1g m2g m1g a 例题13 2 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 8 例题13 2 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 9 研究整个刚体系 作用在系统上的主动力有每个轮子的重力m1g和杆的重力m2g m1g m2g m1g a 解 虚加在每个轮子上的惯性力系可以简化为一个通过轮心的惯性力FI1 m1a及一个惯性力偶 其矩MI J Ja r 因连杆作平动 加上连杆上的惯性力系简化为一个力FI2 m2a 这些力的方向如图所示 例题13 2 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 10 解得 或 给连杆以平行斜面向下移动的虚位移 s 则轮子相应有逆时针转动虚位移 根据动力学普遍方程 得 m1g m2g m1g MI MI a 例题13 2 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 11 如图所示 二相同均质圆轮半径皆为R 质量皆为m 轮 可绕O轴转动 轮 绕有细绳并跨于轮 上 当细绳直线部分为铅垂时 求轮 中心C的加速度 O C 例题13 3 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 12 例题13 3 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 13 此系统具有两个自由度 取轮 轮 的转角 1 2为广义坐标 研究整个系统 设 轮的角加速度分别为 1 1 轮心C的加速度为a 则惯性力FI ma 惯性力偶 方向如图所示 令C点下移 解 根据动力学普遍方程 例题13 3 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 14 令则 根据动力学普遍方程 联立式 a b c 解出 c 考虑到运动学关系 b 或 a 或 例题13 3 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 15 一瓦特调速器的结构如图所示 每一飞球质量为m1 重锤质量为m2 各铰连杆的长度为l T形杆宽度为2d 调速器的轴以匀角速 转动 求飞球张开的角度 O C d d B A 例题13 4 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 16 例题13 4 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 17 此为一个自由度质点系 选角 为广义坐标 球简化为质点 除主动力外 图上画出了飞球的惯性力FIA和FIB 两力大小相等 方向相反 由动力学普遍方程得 a 解 例题13 4 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 18 各质点的虚位移可用广义坐标的变分 表示 例题13 4 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 19 此式建立了调速器相对平衡位置 与转速 的关系 可用来作为选择调速器参数的依据 代入式 a 得 求得 例题13 4 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 20 图为一滑车提升系统简图 鼓轮上作用一主动力矩M 鼓轮半径为R 转动惯量为J 定滑轮上悬挂重物A 质量为m1 动滑轮上悬挂重物为B 质量为m2 滑轮半径为R 不计各滑轮的质量和摩擦 求鼓轮转动的角加速度 例题13 4 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 21 例题13 4 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 22 先确定此系统的自由度数 要确定鼓轮 重物A和B的位置 需要三个变量 即鼓轮的转角 和重物A B的铅直距离s1 s2 但这三个变量之间有一个约束条件 绳的总长度l不变 a 解 其中a c R为常数 如图所示 因此 此系统有两个自由度 令 和s2为广义坐标 因约束是完整的 广义坐标的独立变分为 和 s2 b a c s2 s1 A B C m1g m2g M 对式 a 求变分得 例题13 5 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 23 b 将约束方程式 a 对时间取二阶导数 得 c a 式中a1 a2分别表示重A B的加速度 表示鼓轮C的加速度 a c s2 s1 A B C m1g m2g M 例题13 5 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 24 作用在系统上的惯性力有 惯性力矩J 惯性力m1a1和m2a2 将式 b c 代入式 d 得 d 图中表示各点虚位移皆沿各点坐标的正方向 a c s2 s1 A B C m1g m2g M 由动力学普遍方程得 例题13 5 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 25 由式 e f 联立解出 因虚位移为任意微量 故有 e f 此为鼓轮的加速度 a c s2 s1 A B C m1g m2g M 例题13 5 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 26 试建立液体在U形光滑玻璃细管内的运动微分方程 以液面的静平衡位置为原点 以沿U形管的弧坐标s为广义坐标如图示 设液柱的质量为m 长度为l 则U形管两边的重力差mg 2s l 形成主动力 液体在主动力 惯性力和约束力作用下平衡 解 取虚位移 s 利用动力学普遍方程列出 例题13 6 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 27 由于 s为独立变分 得 取虚位移 s 利用动力学普遍方程列出 例题13 6 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 28 应用动力学普遍方程求解复杂的非自由质点系的动力学问题并不方便 由于约束的限制 各质点的坐标不独立 解题时必须用约束方程消去多余的坐标变分 如果先考虑约束条件 采用广义坐标表示动力学普遍方程 就可得到与广义坐标数目相同的一组独立的微分方程 从而使复杂的动力学问题变得简单 这就是著名的拉格郎日方程 动力学普遍方程和拉格朗日方程 拉格朗日方程 13 2拉格朗日方程 29 设有n个质点组成的质点系 受s个完整双侧约束 广义虚位移 则该质点系有N个自由度 N 3n s 可由N个广义坐标q1 q2 qN确定其位置 质点系中任一质点Mi的矢径可表示为 固定时间t 对ri取变分 可得Mi的虚位移 广义虚位移 动力学普遍方程和拉格朗日方程 拉格朗日方程 30 虚功方程 广义力 令 则 与广义坐标qk相对应的广义力 动力学普遍方程和拉格朗日方程 拉格朗日方程 31 广义坐标表示的虚功方程 以广义坐标表示的质点系平衡条件 由于广义坐标的独立性 qk可任意取值 则必需 质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零 动力学普遍方程和拉格朗日方程 拉格朗日方程 32 势力场中 各有势力投影 在势力场中 具有理想约束的质点系的平衡条件是系统势能在平衡位置处一阶变分为零 势能函数 拉格朗日方程 以广义坐标表示的质点系平衡条件 33 势力场中 以广义坐标表示势能函数 在势力场中 具有理想约束的质点系的平衡条件是系统势能对于每个坐标的偏导数分别等于零 拉格朗日方程 以广义坐标表示的质点系平衡条件 34 保守系统平衡的稳定性 保守系统的平衡条件 保守系统在平衡位置处势能取得极值 动力学普遍方程和拉格朗日方程 拉格朗日方程 35 稳定平衡 拉格朗日方程 保守系统平衡的稳定性 36 稳定平衡 拉格朗日方程 保守系统平衡的稳定性 37 稳定平衡 拉格朗日方程 保守系统平衡的稳定性 38 不稳定平衡 拉格朗日方程 保守系统平衡的稳定性 39 不稳定平衡 拉格朗日方程 保守系统平衡的稳定性 40 随遇平衡 拉格朗日方程 保守系统平衡的稳定性 41 保守系统的平衡条件 保守系统在平衡位置处势能取得极值 在稳定平衡的平衡位置处 系统势能具有极小值 在不稳定平衡的平衡位置处 系统势能具有极大值 单自由度系统 平衡条件 稳定性判据 拉格朗日方程 保守系统平衡的稳定性 据广义力定义 广义力的计算方法 其中 令 则 利用广义虚位移任意性 对于保守系统 处于平衡状态 动力学普遍方程和拉格朗日方程 拉格朗日方程 43 两均质杆 均长2l 均重P 用铰链连接 跨过半径为r的光滑圆柱体上 并位于同一铅直面内 求杆的平衡位置 解 由于两杆等长等重 平衡时他们的位置必对称 这样系统就只有一个自由度 以 为广义坐标 C1 C2距O点的垂直距离 以过O点的水平面为零势面 则 系统的平衡条件为 例题13 7 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 44 由此解出 例题13 7 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 45 图示系统 A重2P B重P 不计滑轮重及O E处摩擦 求平衡时C的重量W及A与水平面之间的摩擦系数f 解 系统具有2自由度 以sA sB为广义坐标 1 当sA改变 sA而 sB 0 B不动 此时 sC sA 2 例题13 7 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 46 2 当sB改变 sB而 sA 0 此时 sC sB 2 系统平衡时有QA QB 0 由QB 0得W 2P 由QA 0得F W 2 P 例题13 7 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 47 第二类拉格朗日方程 拉格朗日方程 质点系的动能 其中 广义坐标 广义坐标qk对应的广义速度 广义坐标qk对应的广义力 动力学普遍方程和拉格朗日方程 拉格朗日方程 48 保守系统的拉格朗日方程 引入拉格朗日函数 保守系统中 主动力都是有势力 即 则 拉格朗日方程 第二类拉格朗日方程 49 应用拉格朗日方程解题的步骤 4 建立拉氏方程并加以整理 得出k个二阶常微分方程 5 求出上述一组微分方程的积分 拉格朗日方程 第二类拉格朗日方程 1 判定质点系的自由度k 选取适宜的广义坐标 必须注意 不能遗漏独立的坐标 也不能有多余的 不独立 坐标 2 计算质点系的动能T 表示为广义速度和广义坐标的函数 3 计算广义力 三种方法 50 在水平面运动的行星齿轮机构如图所示 匀质杆OA质量是m1 可绕铅直轴O转动 杆端A借铰链装有一质量是m2 半径是r的匀质小齿轮 此小齿轮沿半径是R的固定大齿轮滚动 当杆OA上作用着转矩MO时 求此杆的角加速度 例题13 8 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 51 例题13 8 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 52 解 系统的动能为 此机构只有一个自由度 取杆OA的转角 为广义坐标 点A的速度为vA R r 小齿轮在固定的大齿轮上的啮合点C是其速度瞬心 故小轮的角速度 例题13 8 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 53 广义力为 得 从而解得杆OA的角加速度 将上两式代入拉格朗日方程 例题13 8 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 54 如图所示的椭圆摆 由滑块A 细杆AB和摆锤B构成 滑块A具有质量m1 可沿光滑水平面自由滑动 摆锤B可看成质点且具有质量m2 由长l的无重细杆铰接在滑快上 杆可在铅直面内绕A轴自由转动 试写出系统的运动微分方程 例题13 9 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 55 例题13 9 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 56 解 此系统具有两个自由度 取滑块A的坐标x和杆的转角 为广义坐标 系统的动能为 例题13 9 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 57 求出各有关导数 例题13 9 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 58 求广义力 考虑到主动力只有重力 分别给出系统的虚位移 x和 则有 将以上结果代入拉格朗日方程 例题13 9 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 59 式 a 和 b 就是此系统的运动微分方程 即得 例题13 9 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 60 一不可伸长的绳子跨过小滑轮D 绳的一端系于匀质圆轮A的轮心C处 另一端绕在匀质圆柱体B上 轮A重W1 半径是R 圆柱B重W2 半径是r 轮A沿倾角为 的斜面作纯滚动 绳子倾斜段与斜面平行 滑轮D和绳子的质量不计 试求轮心C和圆柱B的中心E的加速度 例题13 10 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 61 例题13 10 例题第13章动力学普遍方程和拉格朗日方程 62 解 系统具有两个自由度 我们选取x1 DC和y yE作为系统的广义坐标 于是系统的动能为 式中 A和 B分别是圆轮A和圆柱体B的角速度 根据运动学关系可知 将 A和 B代入动能表达式 并考虑