外接球通关21题(含答案)

高中数学解题研究会 339444963 群文件 第 1页 共 16 页 外接球通关外接球通关 21 题 含答案 题 含答案 1 在平行四边形 中 t t 若将其沿 折成直二面角 则三棱锥 的外接球的表面积为 A B C D 2 四面体 中 t 则此四面体外接球 的表面积为 A B C 晦 D 晦 晦 3 已知三棱锥 中 直线 与底面 所成角为 则此三棱锥外接球的体积为 A B C D 4 如图 在等腰梯形 中 t 为 的中点 将 与 分别沿 向上折起 使 重合于点 则三棱锥 的外接球的体积为 A 晦 B C D 高中数学解题研究会 339444963 群文件 第 2页 共 16 页 5 点 是底边长为 高为 的正三棱柱表面上的动点 是该棱柱内切球表面上的动点 则 的取值范围是 A t B t C t D 6 在半径为 的球内放入大小相等的 个小球 则小球半径 的最大值为 A B C D 7 三棱锥 中 若 是该三棱锥 外部 不含表面 的一点 则下列命题正确的是 存在无数个点 使 面 存在唯一点 使四面体 为正三棱锥 存在无数个点 使 存在唯一点 使四面体 有三个面为直角三角形 A B C D 8 高为 的四棱锥 的底面是边长为 的正方形 点 均在半径为 的同一球面上 则底面 的中心与顶点 之间的距离为 A t B C D 高中数学解题研究会 339444963 群文件 第 3页 共 16 页 9 已知三棱锥 中 为等边三角形 且 晦 则三棱 锥 外接球的表面积为 10 已知两矩形 与 所在的平面相互垂直 若将 沿直线 翻折 使得 点 落在边 上 即点 则当 取最小值时 边 的长是 此时四面体 的外接球的半径是 11 如图 正三棱锥 的侧棱长为 底面 的边长为 分别为 的中 点 则三棱锥 的外接球半径 内切球半径 12 在三棱锥 中 侧棱 两两垂直 的面积分别为 则三棱锥 外接球的表面积为 13 三棱锥 的外接球为球 与 都是以 为斜边的直角三角形 是 以 为斜边的等腰直角三角形 且 向量 与 的夹角为 则球 的表面积 为 高中数学解题研究会 339444963 群文件 第 4页 共 16 页 14 已知 是球 表面上的点 平面 则球 的表面积等于 15 在边长为 的正方形 中 分别是 的中点 沿 以及 把 和 都向上折起 使 三点重合 设重合后的点为 那么对于四面体 中有下列命题 点 在平面 上的射影是 的垂心 四面体 的外接球的表面积是 在线段 上存在一点 使得直线 与直线 所成的角是 t 其中正确命题的序号是 16 对于四面体 以下说法中 正确的序号为 若 为 中点 则 平面 平面 若 则 若所有棱长都相等 则该四面体的外接球与内切球的半径之比为 t 若以 为端点的三条棱所在直线两两垂直 则 在平面 内的射影为 的垂心 分别作两组相对棱中点的连线 则所得的两条直线异面 17 已知 是球 表面上的四点 是在正三角形 三棱锥 的体积为 且 t 则球 的表面积为 18 如图 在正三棱柱 中 t 为 的中点 高中数学解题研究会 339444963 群文件 第 5页 共 16 页 1 若 t 请画出该正三棱柱的正 主 视图与左 侧 视图 2 求证 平面 平面 3 当平面 与平面 所成的锐二面角为 时 求该正三棱柱外接球的体积 19 如图 1 在直角梯形 中 t 将 沿 折起 使 平面 平面 得到几何体 如图所示 2 1 求几何体 的体积 2 求二面角 的正切值 3 求几何体 的外接球的表面积 20 如图 四棱锥 的底面 是矩形 侧面 是等腰直角三角形 t 且 平面 平面 1 求证 2 若 求三棱锥 的体积 3 在条件 2 下 求四棱锥 外接球的表面积 21 已知正四棱锥内接于半径为 的球 且外切于半径为 的球 求证 高中数学解题研究会 339444963 群文件 第 6页 共 16 页 答案答案 第一部分第一部分 1 C2 A 解析 通解 依题意 在 中 cos 晦 在 中 cos 晦 在 中 t 因此 是正三角形 如图所示 记三棱锥 的外接球球心为 半径为 取 的中点 连接 则有 晦 平面 球心 在平面 上的射影是正 的中心 连接 则 在直角梯形 中 即 解得 晦 因此三棱锥 的外接球的表面积等于 优解 依题意 在 中 cos 晦 在 中 cos 晦 在 中 t 因此 是正三角形 取 的中点 连 接 则有 晦 平面 如图所示 以点 为原点 以 的方向分别为 轴 轴 轴的正方向建立空间直角坐标系 高中数学解题研究会 339444963 群文件 第 7页 共 16 页 则 t t t t t t t t 设三棱锥 的外接球球心为 则由 得 由此解得 t 因此三棱锥 的 外接球的表面积等于 3 D 解析 如下图 取 的中点 连接 过 做 于 因为 所以 因为 平面 平面 所以 平面 因为 平面 所以平面 平面 又 所以 平面 所以 就是直线 与底面 所成角 所以 又因为 所以 与 全等 所以 所以 是正三角形 所以 即点 是三棱锥的外接球的球心 在直角 中 所以三棱锥的外接球的半径为 三棱锥外接球的体积为 4 C 解析 三棱锥 是一个正四面体 取 的中点 连接 连 连 做三棱锥的高 交底面与点 设球的球心为 则 所以有 解得 所以外接球的体积 高中数学解题研究会 339444963 群文件 第 8页 共 16 页 5 B 解析 当 点在内切球上时 与 点重合时 最小 为 t 当 点在外接球上时 外接球半径算出为 所以 的最大值为外接球半径与内切球半径之和 为 所以 的取值范围是 t 6 A 解析 由题意 四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时 这些小球的半径最大 以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为 该正四面体的中心 外接球球心 就是大球的球心 该正四面体的高为 设正四面体的外接球半径为 则 解得 所以 解得 7 B 解析 取 的中点 连接 过点 作 可得 平面 则 直线 上除去线段 上的点都可以取为点 则 面 因此存在无数个点 使 面 以线段 为边做一个正三角形 使得点 在三角形 内的射影为三角形 的中心 则 四面体 为正三棱锥 这样的点 至少有两个 分别位于平面 的两侧 因为 所以可以将此四面体补成一个以 为邻边的长方 体 其对角线的中点为此长方体外接球的球心 满足 此 唯一 取点 关于平面 的对称点为 则四面体 有三个面为直角三角形 此 唯一 8 A 解析 如图 设四棱锥 的外接球球心为 则 面 在 Rt 中 高中数学解题研究会 339444963 群文件 第 9页 共 16 页 四棱锥 的高 过 作 交 于 则 在 Rt 中 则 t 第二部分第二部分 9 晦 10 解析 由 设 t 则 在 Rt 中 在 Rt 中 在 Rt 中 由 得 整理 得 令 则 所以当 即 时 min 由 平面 平面 及 得 平面 取 的中点 在 Rt 中 在 Rt 中 所以 为四面体 的外接球的球心 从而半径 11 解析 取 中点 O 因为正三棱锥 的侧棱长为 底面 的边长为 分别为 的中点 所以 所以 为全等的等腰直角三角 形 所以 即 为三棱锥 的外接球的球心 半径 高中数学解题研究会 339444963 群文件 第 10页 共 16 页 设内接球球心为 则 三棱锥 三棱锥 三棱锥 三棱锥 三棱锥 设 在底面的投影为 则 在直角三角形 中 三棱锥 所以 解得 12 解析 由题意 可求得 三棱锥 中 侧棱 两两垂直 可补成长方体 两者的外接球是同一个 长方体的 对角线就是球的直径 求得直径为 所以外接球的表面积为 13 解析 因为向量 与 的夹角为 所以 因为 与 都是以 为斜边的直角三角形 且 所以 从而 于是 是等边三角形 则有 设棱 的中点为 则有 所以 为三棱锥外接球的球心 且外接球半径是 故外接球的表面积是 14 解析 因为 平面 所以四面体 的外接球的半径 等于以长宽高分别为 三边长的长方体的外接球的半径 因为 所以 所以球 的表面积 15 高中数学解题研究会 339444963 群文件 第 11页 共 16 页 解析 对于 设点 在平面 上的射影是 平面 所以 所 以 同理 所以 对 对于 四面体 的外接球的直径 是以 点为一个顶点的长方体的体对角线 所以 对 对于 因为直线 与直线 所成的角最小为直线 与 所成的角为 直线 与直线 所成的角最大为 与 所成的角为 t 所以 对 16 解析 连接 则 所以 面 平面 则平面 平面 命题 正确 过点 向底面做垂线 在底面的射影为 因为 面 所以 同理可证 所以 为 的垂心 所以 面 则 所以 命题 正确 若所有棱长都相等 则该四面体的外接球与内切球的半径之比为 t 命题 不正确 设 在面 的射影为 延长 交 与点 因为 面 所以 又 面 所以 所以 面 同理可证 所以 在平面 内的射影为 的垂心 命题 正确 分别作两组对棱中点的连线 构成一平行四边形 所得 的两条直线相交 命题 不正确 17 解析 延长 交球 于点 连接 则 t 又因为 t 所以 Rt Rt Rt 全等 故 所以该三棱锥 为正三棱锥 设等边三角形 的边长为 三棱锥 的外接球的半径为 则 的外接圆半径 在 Rt 中 因为 t 得 根据球的性质可得三棱锥的高为 所以其体积为 解得 所以外接球半径为 故球 的表面积为 第三部分第三部分 18 1 因为 是边长为 的正三角形 所以 的高为 又 t 所以正视图为边长为 的正方形 左视图为边长为 和 的矩形 作出正 主 视图与左 侧 视图如下 高中数学解题研究会 339444963 群文件 第 12页 共 16 页 2 连接 交 于 取 的中点 连接 因为四边形 是矩形 所以 是 的中点 又 是 的中点 所以 且 因为 是 的中点 且 所以 且 所以四边形 是平行四边形 所以 因为 是正三角形 所以 因为 平面 平面 所以 又 所以 平面 又 所以 平面 又 平面 所以 平面 平面 3 以 为原点 以 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系 如图所 示 高中数学解题研究会 339444963 群文件 第 13页 共 16 页 则 t t t t t t 所以 t t t 设平面 的法向量为 则 t t t t 令 得 t t 又 平面 所以 t t 是平面 的一个法向量 因为平面 与平面 所成的锐二面角为 所以 cos t 所以 t 所以设 的中心为 连 则 连 t t 所以正三棱柱外接球的球心为 t 所以外接球的半径 晦 所以外接球的体积 晦 19 1 在直角梯形中 知 所以 所以 取 中点 连接 则 又 平面 平面 且 平面 平面 平面 从而 平面 高中数学解题研究会 339444963 群文件 第 14页 共 16 页 所以 又 所以 平面 因为 所以三棱锥 的体积为 由等体积性知几何体 的体积为 2 记 中点为 过 作 连接 因为 为 中点 所以 因为平面 平面 平面 平面 所以 平面 所以 又因为 且 所以 平面 所以 所以 是二面角 的平面角 因为 所以 tan 3 为 中点 为 中点 连接 因为 平面 所以 又因为 所以 的外接球的球心为 半径为 高中数学解题研究会 339444963 群文件 第 15页 共 16 页 所以 的外接球的表面积为 20 1 证明 因为 面 面 所以 面 又 面 所以 面 面 又 面 面 所以 面 所以 2 取 中点 连 因 所以 又 面 面 所以 面 即 是棱锥 的高 在等腰直角三角形 中 所以 在 Rt 中 所