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第2章信号分析基础 被测对象 信息源 传感器 中间变换装置 显示记录 观察者 测试工程所要解决的主要任务是获取某些信息并对其进行分析 处理 以揭示事物的内在规律和固有特性以及事物之间的相互关系 继而作出判断 决策等 计算处理 在测量过程中 除了待测量信号外 各种不可见的 随机的信号可能出现在测量系统中 这些信号与有用信号叠加在一起 严重扭曲测量结果 如何保证各信号变换与处理单元不失真传输信息 对不同信号可否采用相同中间变换单元 如同频的方波和三角波其处理电路特性可否相同 问题 问题的提出 测量系统模型由三个环节组成 结论 测量过程是测量系统对信号进行量的变换的过程 必须研究信号与测量系统的数学模型 信号分析是根据一定的理论 方法并采用适当的手段和设备对信号进行转换与处理的过程 问题的分析 1 了解信号的概念及分类2 了解时频域信号分析的特点与意义3 掌握信号频谱分析方法 本章中主要介绍信号分析的基本理论 原理和方法 要求初步掌握信号分析的基础知识 本章学习要求 信号是信息的表现形式与传送载体 它可代表实际的物理量或数学上的函数或序列 通过它们能传达消息或信息 各种传输信号的方法 烽火 鼓声 旗语 电信号信号按物理属性分 电信号和非电信号 它们可以相互转换 电信号传输优点 容易产生 便于控制 易于处理 2 1信号的分类及其基本参数 什么是信号 本课程讨论电信号 简称 信号 单边指数信号函数表达式 描述信号的常用方法 1 函数表达式f t 2 波形 单边指数信号波形图 信号 与 函数 两词常相互通用 2 1信号的分类及其基本参数 一 信号的描述 descriptionofsignal 时域描述 时域特性主要指信号随时间变化快慢 幅度变化的特性 同一形状的波形重复出现的周期长短信号波形本身变化的速率 如脉冲信号的脉冲持续时间及脉冲上升和下降边沿陡直的程度 以时间函数描述信号的图象称为时域图 在时域上分析信号称为时域分析 分析系统时 除采用经典的微分或差分方程外 还引入单位脉冲响应和单位序列响应的概念 借助于卷积积分的方法 信号的时域特性 2 1信号的分类及其基本参数 频域描述幅频谱 相频谱 频率成分构成 频域 频谱分析 时域 时域图 幅频谱图 频谱图 相频谱图 2 1信号的分类及其基本参数 频谱函数表征信号的各频率成分 以及各频率成分的振幅和相位 频谱 对于一个复杂信号 可用傅立叶分析将它分解为许多不同频率的正弦分量 而每一正弦分量则以它的振幅和相位来表征 将各正弦分量的振幅与相位分别按频率高低次序排列成频谱 频带 复杂信号频谱中各分量的频率理论上可扩展至无限 但因原始信号的能量一般集中在频率较低范围内 在工程应用上一般忽略高于某一频率的分量 频谱中该有效频率范围称为该信号的频带 以频谱描述信号的图象称为频域图 在频域上分析信号称为频域分析 频域分析法 frequency domaindescription 对于连续系统和信号来说 常采用傅里叶变换和拉普拉斯变换 对于离散系统和信号则采用Z变换 2 1信号的分类及其基本参数 信号的频域特性 时域和频域图例 2 1信号的分类及其基本参数 2 1信号的分类及其基本参数 二 信号的分类 classificationofsignal 信号的分类方法很多 可以从不同的角度对信号进行分类 1 确定性信号与非确定性信号 单自由度的无阻尼质量 弹簧振动系统位移信号 确定性信号 可以用确定时间函数表示的信号 称为确定信号或规则信号 周期信号 经过一定时间可以重复出现的 是每隔固定的时间又重现本身的信号 该固定时间间隔称为周期 x t x t nT T 2 1 f 为角频率 f为频率 复杂周期信号由多个乃至无穷多个频率成分 频率不同的谐波分量 叠加所组成 叠加后存在公共周期 确定性信号 b 非周期信号 在时间上不会重复出现的信号 确定性信号 不能用数学式描述 其幅值 相位变化不可预知 所描述物理现象是一种随机过程 一个平稳随机过程的集平均等于任一子集的时间平均值 则称为各态历经过程平稳随机过程 非确定性信号 2 能量信号与功率信号 1 信号f t 的能量 将信号f t 施加于1 电阻上 它所消耗瞬时功率为 在区间 的能量和平均功率定义为 2 信号的功率P 若信号f t 的功率有界 即P 则称为功率有限信号 简称功率信号 此时E 若信号f t 的能量有界 即E 则称其为能量有限信号 简称能量信号 此时P 0 2 1信号的分类及其基本参数 确定性信号 连续时间信号 时间变量t连续 或称模拟信号 离散时间信号 随机信号 2 1信号的分类及其基本参数 3 连续时间信号与离散时间信号 连续时间信号 连续时间信号 可包含不连续点 离散时间信号 抽样信号 数字信号 f n 2 1 1 01234 n 判断下列波形是连续时间还是离散时间信号 若是离散时间信号是否为数字信号 值域连续 值域不连续 2 1信号的分类及其基本参数 a 物理可实现信号 又称为单边信号 满足条件 t 0时 x t 0 即在时刻小于零的一侧全为零 b 物理不可实现信号 在事件发生前 t 0 就预知信号 4 物理可实现信号与物理不可实现信号 2 1信号的分类及其基本参数 1 函数 是一个理想函数 是物理不可实现信号 二 信号分析中的常用函数 2 1信号的分类及其基本参数 1 对称性单位冲激函效是偶函数 对任意 2 尺度转换特性 证 a 0时 a 0时 综合a 0 a 0两种情况 得 性质表明 把单位冲击信号以原点为基准压缩到原来的 等价于把冲击信号的强度乘以 2 1信号的分类及其基本参数 函数特性 3 抽样性或 筛选性 若f t 是在t 0处连续的有界函数 则 及 它与某个函数相乘后的积分 等于该函数的冲激点位置的函数值 表明单位冲激函数具有取样 筛选 特性 如果要从连续函数f t 中抽取任一时刻的函数值f t0 只要乘以 t t0 并在 区间积分即可 2 1信号的分类及其基本参数 定义周期为Ts的周期单位冲激信号 序列 为 对于一个连续模拟信号x t 其采样信号可由下式获得 2 1信号的分类及其基本参数 例1计算 1 cost t 2 t 1 t 解 1 cost t t 因为cos0 1 2 t 1 t t 因为 t 1 t 0 1 在积分区间内的值为0 2 1信号的分类及其基本参数 2 sinc函数 性质 偶函数 闸门 或抽样 函数 滤波函数 内插函数 2 1信号的分类及其基本参数 3 复指数函数 2 1信号的分类及其基本参数 复指数函数性质 1 实际中遇到的任何时间函数总可以表示为复指数函数的离散和与连续和 2 复指数函数的微分 积分和通过线性系统时总会存在于所分析的函数中 2 1信号的分类及其基本参数 2 2周期信号及其频谱 考察周期信号 式中 0 2 f0 0称为基波频率 简称基频 i是 0的整数倍 称为谐波 对于周期信号而言 其频谱由离散的频率成分 即基波与谐波构成 1 单一频率正弦波 2 任一周期信号可分解为若干不同频率正弦波叠加 将周期信号表示为不同频率正弦分量的线性组合 1 从信号分析的角度 将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合 为不同信号之间进行比较提供了途径 2 从系统分析角度 已知单频正弦信号激励下的响应 利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应 而且每个正弦分量通过系统后 是衰减还是增强一目了然 2 2周期信号及其频谱 周期信号f t 表示为付里叶级数 由数学分析知 当周期信号f t 满足狄里赫利条件时 可展开为三角付里叶级数或复指数傅立叶级数 狄氏条件 1 在一周期内 间断点的数目有限 2 在一周期内 极大 极小值的数目有限 3 在一周期内 电子技术中的周期信号大都满足狄氏条件 当f t 满足狄氏条件时 才存在 2 2周期信号及其频谱 常值分量 余弦分量幅值 正弦分量幅值 基频 周期信号 的频域模型为有多种形式 1 付氏级数的三角函数展开式 2 2周期信号及其频谱 2 2周期信号及其频谱 如果周期信号x t 为奇函数an 0 a0 0 此时 注意 如果周期信号x t 为偶函数 bn 0 此时 2 2周期信号及其频谱 三角函数展开的另一种表达形式 称为X t 的第n次谐波 称为X t 的第n次谐波幅值 称为X t 的第n次谐波初相位 2 2周期信号及其频谱 物理意义 2 2周期信号及其频谱 幅值谱 相位谱 特点 1 离散性2 收敛性3 谐波性 周期信号频谱及特点 2 2周期信号及其频谱 例1求周期方波的频谱 并作出频谱图 1信号表述 2傅里叶级数展开 4幅频谱图相频谱图 3求傅里叶系数 结果 2 2周期信号及其频谱 奇函数在对称区间积分值为0 所以 2 2周期信号及其频谱 周期方波的幅频与相频特性图 2 2周期信号及其频谱 2 2周期信号及其频谱 例2求周期三角波的傅里叶级数 三角函数形式并画出频谱图 周期三角波的数学表达式为 2 2周期信号及其频谱 解 将展开成三角函数形式的傅里叶级数 求其频谱 计算傅里叶系数 是偶函数 2 2周期信号及其频谱 若取 n次谐波分量的幅值 n次谐波分量的相位 2 2周期信号及其频谱 周期三角波的幅频与相频特性图 2 2周期信号及其频谱 2 付氏级数的复指函数展开式 由三角函数展开式 复指数函数展开式 欧拉公式 2 2周期信号及其频谱 n 0 1 2 复系数 令 则 Cn是一个以谐波次数n为自变量的复函数 它包含了第n次谐波的振幅和相位信息 2 2周期信号及其频谱 幅频谱 相频谱 频谱 2 2周期信号及其频谱 复指数函数展开式的意义 n 0 1 2 2 2周期信号及其频谱 周期信号各复指数组成项均随圆频率而变构成各频谱 幅频谱图 cn 相频谱图 n 实频谱图 Recn 虚频谱图 Imcn 2 2周期信号及其频谱 例1 正弦信号的频谱 2 2周期信号及其频谱 例2 余弦信号的频谱 2 2周期信号及其频谱 两种不同形式傅氏级数展开频谱比较 n 0 单边频谱 n 双边频谱 三角函数展开 复指数函数展开 2 2周期信号及其频谱 1周期信号的频谱是离散谱 2每个谱线只出现在基波频率的整数倍上 3工程上常见的周期信号 其谐波幅值随谐波次数的增高而减小 因此 在频谱分析中没有必要取次数过高的谐波分量 周期信号频谱的特点 4A 4A3 4A5 0 A 0 3 0 5 0 幅值谱 2 2周期信号及其频谱 周期信号的频谱谱线的频率间隔为 非周期信号 由 2 3非周期信号及其频谱 由此可见 方程中的积分式是 的函数 定义 2 3非周期信号及其频谱 为常数因子 2 3非周期信号及其频谱 周期与非周期信号频谱异同 2 3非周期信号及其频谱 从物理意义来讨论FT F 是一个密度函数的概念 F 是一个连续谱 F 包含了从零到无限高频的所有频率分量 分量的频率不成谐波关系 2 3非周期信号及其频谱 线性 付里叶变换的性质 对称性 2 3非周期信号及其频谱 同理 同样 微积分特性 可见格式完全相同 2 3非周期信号及其频谱 在时域信号x t 幅值不变条件下 如x t X f 将时间尺度压缩 或扩展 k倍 则 时间尺度改变特性 频率尺度扩展 或压缩 k倍 幅值也减小 或增大 k倍 2 3非周期信号及其频谱 时域中的压缩等于频域中的扩展 f t 2 压缩 扩展 2 3非周期信号及其频谱 频率尺度改变特性 同样 当频谱的频率尺度压缩 或扩展 k倍时 也会导致时域信号的时间尺度扩展 或压缩 k倍 且幅值也减小 或增大 k倍 时移和频移特性 若 当时域中信号沿时间前移t0时 有 同理频率平移 时有 2 3非周期信号及其频谱 卷积特性 两个时域信号卷积的频谱为其频谱的乘积 根据付氏变换的对称性 可知两时域信号乘积的频谱 为其频谱的卷积 证 2 3非周期信号及其频谱 时域卷积例 求三角脉冲的频谱 三角脉冲可看成两个同样矩形脉冲的卷积 卷 乘 2 3非周期信号及其频谱 卷 乘 2 3非周期信号及其频谱 频域卷积例 求余弦脉冲的频谱 相乘 卷积 2 3非周期信号及其频谱 乘 FT FT 卷 2 3非周期信号及其频谱 奇偶虚实性 x t 的付氏变换式X f 可由实部虚部组成 如果x t 是实偶函数 则X f 为实偶函数 如果x t 是实奇函数 则X f 为虚奇函数 同理 如x t 是虚偶函数 X f 也为虚偶函数 如x t 是虚奇函数 X f 为实奇函 2 3非周期信号及其频谱 例 利用奇偶虚实性求单边指数信号f t 2e tu t 的频谱 单边指数信号及其频谱 2 3非周期信号及其频谱 解 从波形图 a 上可见 单边指数信号f t 是非偶非奇函数 但可分解为如图 b c 所示的偶函数和奇函数两部分 f t 2e tu t fe t fo t 其中 2 3非周期信号及其频谱 矩形窗函数的频谱单位冲激信号 t 双边指数信号e t 单边指数信号直流信号符号函数信号单位阶跃信号u t 几种典型函数的频谱 频谱密度 2 3非周期信号及其频谱 其复频谱为 只有实部 虚部为零 其幅频谱为 其相频谱 f 视sinc f 符号而定 当sinc f 为正值时相角为零 sinc f 为负值时相角为 矩形窗函数的频谱 2 3非周期信号及其频谱 单位冲激函数 函数 的频谱 2 3非周期信号及其频谱 函数与其他函数的卷积 函数的频谱 根据付氏变换的对称和时移 频移恃性 可得变换对 2 3非周期信号及其频谱 幅度频谱为 相位频谱为 单边指数信号频谱 2 3非周期信号及其频谱 单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱 2 3非周期信号及其频谱 直流信号不满足绝对可积条件 可采用极限的方法求出其傅里叶变换 直流信号频谱 2 3非周期信号及其频谱 对照冲激 直流时频曲线可看出 时域持续越宽的信号 其频域的频谱越窄