多元函数微分学解题技巧

多元函数微分学 一 重极限 连续 偏导数 全微分 概念 理论 二 偏导数与全微分的计算 四 应用 极值 切线 切平面 三 方向导数和梯度 一 重极限 连续 偏导数 全微分 概念 理论 是以 任意方式 1 重极限 题型一 求极限 常用方法 1 四则运算法则及复合函数运算法则 2 等价无穷小代换 3 利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量 4 夹逼定理 例1 求 0 例4 江苏2000竞赛 A 等于1 B 等于0 C 等于 1 D 不存在 D 例2 求 0 例3 求 e 练习求 0 题型二 证明重极限不存在 常用方法 2 沿某一路径极限不存在 例5判断函数 练习证明重极限不存在 2 连续 3 偏导数 例6 练习 几何意义 例7 则在下列 A B C D C 条件中能保证 4 全微分1 定义 若 2 判定 必要条件 充分条件 是否为零 ii 用定义判定可微性 3 计算 5 连续 偏导存在和可微的关系 题型三讨论连续性 可导性 可微性 例8 C D 例9 A 极限存在但不连续 B 连续但偏导数不存在 C 偏导存在但不可微 D 可微 例10 例11 练习 练习2 二偏导数与全微分的计算 根据结构图 分线相加 连线相乘 分路偏导 单路全导 对抽象或半抽象函数 注意 1 复合函数求导 2 全微分形式不变性 3 隐函数求导法 方法 b 两边求偏导 c 利用微分形式不变性 1 a 公式 2 方法 两边求偏导 利用全微分形式不变性 例12设 题型一求一阶偏导数与全微分 例13 例14 江苏06竞赛 练习 B 练习 例15 D 题型二复合函数的偏导数与高阶偏导数 练习 07数一 练习 练习 设 具有二阶连续偏导数 且满足 又 求 例16 例17 注 偏导数的坐标变换 看作复合函数求偏导数或全导 2 例18 江苏08竞赛 练习1 3 题型三隐函数的偏导数与全微分 例19 A 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 B 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 C 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 D 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 D 例20 例21 练习 例22 99数一 题型四已知偏导数 求函数 例23 例24 例25 练习 例26 三 方向导数和梯度 1 方向导数 1 定义 可微 则 2 计算 若 2 梯度 计算 A 不连续 B 偏导数存在 C 沿任一方向的方向导数不存在 D 沿任一方向的方向导数均存在 在点 0 0 处 例27函数 D D 练习 练习 例29 练习 四 多元函数微分学的应用 1 曲面的切平面与法线 2 曲线的切线与法平面 法向量 2 曲面 1 曲面 2 曲线 切向量 1 曲线 切向量 练习 题型一建立曲面的切平面和法线方程 例30 例31 练习 练习 题型二建立空间曲线的切线和法平面方程 练习 03数一 3 极值与最值 1 无条件极值 必要条件 充分条件 2 条件极值与拉格朗日乘数法 3 最大最小值 题型一求无条件极值 1 在点 处 极大值 2 在点 处 极小值 解2配方 解1 驻点 例33 D 注 通过变形 如取对数 去根号 把复杂函数转化为简单函数是极值问题的常用技巧 例34 例35 例36 B 例37 解法1 保号性解法2 排除法解法3 特殊函数 D 练习 03数一 A 题型三求最大最小值 题型二求条件极值 练习求函数 在条件 下的极值 解法2 化为无条件极值 解法1 拉格朗日乘数法 极小值 8 0 练习 B 例38 A 最大最小值点都在D的内部 B 最大最小值点都在D的边界上