幂级数的算子求和法

邵阳高专学报 年第 卷第 期 幂级数的算子求和法 黎 力军 基拙课布 摘共找出 了运用差 分葬于 次徽分其于 求 茱些幕斑数和函数的 方法 并由此可推出一 亮不饭数软简便的求和公式 幂级数的差分算子求和法 若 为任意实函数 为差分葬子 则定义函数 的差 分 二 鱿二 卜 则 定理 设 幻为 次多项式 则当 二 时 幕级数乙 二 收敛 其和诱数石 兄 二 兰 一 证易证 二 时此幂致 夜 敛 现定义单位算子 及位移算子 分别为 心 氛 二 二 则 一 即 由于 二 二 玫 二 一 故当 时 乞一 一 皿 七 一 一 一 山 蕊 万 氏 艺 艺 二 艺 二 卜 王 轰 一 一 一 一 亡比 二 艺艺 一 一 一 丘 七 二 七 提 于 目 二 一翌一 二生扁 一 趾 一 乒 又七 一 幻 一 七 公 曰 户 公 一一 一一一一一一 收稿甘期 吟 一 印 压 二 二 不普 而 一 求幂级数 雹礼 十 二 俪 村醚 扎 证毕 由于 二 二 匕 十 艺 故由公式 得和 例解 二 二 一 一 忍 一 一 甲 节一 一 宁 一 一 僻 求幕级数公 犷二攀绝峨 的和函 数 解令 二 艺 则当 时 笼 由例 即得 全 手了一工一 笼 一 艺 工一 兄 护 一于户尸 份气一工 一 则多 二 一址 一 盆 一盆 幂级数的微分算子求和法 一 找们 翔退 似分异卞口 二万丁足麦分并了俐体 限形 吸 石 且比差分算牛遴用更为广泛 若 定义 二D卜 k D z 功 一 侧可得 定娜2 若P x Q 为两多项式 且Q k 今 k节 1 2 二 则当Ix l 1时 幕级数 决 飞 E 元 Q n x 收敛 其和s 二乡 应喻足微分方程 n 0 Q 二D y 盆 二P 二O 1 1 一坛 二 J L J d L 二 户 助魏 叮习L吸X L x 吸x百二 x n x 从皿 r X L X 二 r吸n 1 砚 xU x 以 n x U蕊 故有 Q xD 云 n 一 O 尸 n 一 二二 兮 二 Q n O 口 习 妞阅 P n Q n Q x D x OC 0 0 EP n x 公P 二D x n o n 0 O口 二 P xD E x P 二D 1 1 1 证毕 n 0 运用同样的推理 我们还可推出型如1 霎 里丝2旦丝二旦丛乙 护i Q 1 Q 2 二 以乞 丈 幕级数和函数所 满 足的徽夕方程 定理3P x Q x 为两互质多项式 且Q 二 的最高次数不低子P c幻勒嚎离次 才12 X 数 Q 0 0 Q k 斗 k 1 2 则若级数1 E n 1 其和S x 应满足微分方程 Q 盆D S x P x D xs x 证 略 P 1 P 2 P n Q 1 Q 2 Q n x 收敛 2 OC 注1若P x 二1 则 x 二1 E n 1 应满足微分方程 Q xD S 沈 盆S x 注2 3 式两边乘算子入xD Q fl Q 幻二西百厂 x 3 则得 CO 六O 兄 n一 1 P 戈 1几 Q 注 i趁 临 x P xD S 二 O心 故当S x 为幕级数 1 公 n 一 1 Qn Q 2 二Q n x 的和时 可得幕级 效 P O 雪 P n 曰 J 山 汽 J n 1 锹 几 娜叹2户 砚工 宝 的和6 x 二玫xD 欲 忿 例3用微分算子求法针算例甚 协在此令P n n 加 十 1 中拐级数的和函札 O0 Q n 司 应用 定 哪 和5 二J 习洲如沁 滚脚足方程 皿 盈 S x xD 名 2 x D 1 1 l一盆 二二 f 一二 一 五 十二 了 1 一 X 1 1 一盆 ZX 专 1 1 一笠 2二 3x 一一 个 一 一 一 十 J了 各 气 1 一人 产 工一 A夕 1 1 一义 求幂级数名 n一朴 窝产沉 院 函数 一 一 1 令P x 二 1 Q x Z x J 性 例解 OO 由定理3及评注 先求级数公 n O 1 2 n X 妞 一 d x 扛 OC 二 习 n 0 x 的和 S x 其应满足 S x s 二 且由S 仓 二1 解得 S x e犷 故可得原级级数和应有 6 二 O心 二 艺 n硒 0 X n 上丝扩 2 份n 二D 1 e Z x 扭 一 十 4 手 l e 参 孔 2 一 O O x o c 考文 1 徐利治 王兴华 一