微积分吴迪光版答案chap 08 习题 解答(春季)

第八章 矢量代数 空间解析几何 题题 9 p48 1 已知 a b 是非零矢量 求它们的夹角平分线上的单位矢量 e 已知 a b 是非零矢量 求它们的夹角平分线上的单位矢量 e a b a b 0 0 A B a b a b a b 0 0 0 0 c 解 解 如图 c 如图 c a a0 b b0 2 再将 c 单位化即可 再将 c 单位化即可 题题 11 p48 2 已知 2 已知 求求 11 a r 7 b r 18 ba r r ba r r 证明 证明 因因 故 故a与同向 于是可设与同向 于是可设 b a ba r r r r r b r 于是于是 4 ba r r b a r r 注 或写为 注 或写为 b r a 11 7 r 因此 因此 ba r r 4 a 1 11 7 r 题题 14 p48 3 用矢量方法证明 可作一三角形 使它的各边分别平行且等于已知三角形的三条中线 3 用矢量方法证明 可作一三角形 使它的各边分别平行且等于已知三角形的三条中线 证明 证明 A B C D E F 只需证明这三条中线矢量首尾相接 即证只需证明这三条中线矢量首尾相接 即证 0ADBECF r 事实上 事实上 ABCAAFCACF 2 1 CABCCEBCBE 2 1 1 BCABBDABAD 2 1 再根据下式 便得结论 再根据下式 便得结论 0CABCAB r 题题 15 p48 4 设 4 设 不共线 且不共线 且a r b r bac r rr c b a r r r 有共同起点 则有共同起点 则ac b r r r 终点在同一直线的充要条件为 终点在同一直线的充要条件为 1 证明 证明 充分性 若充分性 若1 则 则bac r rr b 1 a r r 于是于是c ab 1 a r r rr 因此与 因此与ac rr ab r r 共线 即共线 即c b a r r r 有共同起点时 有共同起点时 c b a r r r 终点在同一直线上 终点在同一直线上 必要性 此时由已知可知与必要性 此时由已知可知与ac rr ab r r 共线 又共线 又b0a r r r a r b r 不共线不共线 于是有唯一的数于是有唯一的数 k 使得使得 ba 1 r r k ab r r 或写为 或写为ba 1 r r akbk r r 再次根据 再次根据 不共线 不共线 因此因此 a r b r k k 1 于是 于是 1 题题 16 p48 5 在四面体 5 在四面体 OABC 中 设中 设 cOC bOB aOA v v r P 为 为 ABC 内任一点 则内任一点 则cbaOP r r r 且 且 1 证 1 证 1 AB C D E F P O 因因 P 为 为 ABC 内部一点 因此内部一点 因此PA PB PC三矢量共面 即三矢量共面 即OPOC OPOB OP OA三矢量共 面 因此有不全为零的数 三矢量共 面 因此有不全为零的数 k l m 使得使得 0 OPOC m OPOB l OPOA k r 或写为 或写为 OCmOBlOAkOP mlk 又又 k l m 不为不为 0 否则否则OC OB OA共面 于是共面 于是 OCOBOAOP mlk m mlk l mlk k 整理后即可得结论 整理后即可得结论 证 2 证 2 2 APOAOP BPOBOP CPOCOP 于是于是 CPBPAP OCOBOA OP 3 1 3 1 又又 APBABP APCACP 而而AP因位于三角形内 可被不共线的因位于三角形内 可被不共线的AC AB唯一线性表示 即设有 m n 使得 唯一线性表示 即设有 m n 使得 ACnABmAP 于是 于是 CPBPAP OCOBOA OP 3 1 3 1 CABA AP OCOBOA 3 1 3 1 CABA ACnABm OCOBOA 3 1 3 1 caba ancnambm cba 3 1 3 1 rr r rrrr r r r r cnbma nm1 r r r 整理后即可得结论 整理后即可得结论 题题 20 p49 6 在第三卦限内求一点 使得它与 x y z 轴的距离为 6 在第三卦限内求一点 使得它与 x y z 轴的距离为132d 53d 5 zyx d 证明 证明 x y z 0 第三卦限内的点满足 x 0 y0 又 第三卦限内的点满足 x 0 y0 又 132yxd 53zxd 5zyd 22 z 22 y 22 x 据此可求得 x y z 据此可求得 x y z 题题 26 p49 7 求一矢量 其方向和 求一矢量 其方向和 2 2 1 b 4 3 0 a r r 的角平分线平行 其模为的角平分线平行 其模为5 解 解 4 3 0 5 1 a0 r 2 2 1 3 1 0 b r 3 角平分线平行矢量为角平分线平行矢量为 00 ba r r 求求 m 使得使得 m a 00 b r r 5 即可得结论 即可得结论 题题 28 p49 8 一个矢量的三个方向角之和等于 180 8 一个矢量的三个方向角之和等于 180 0 0吗 它们存在什么关系 吗 它们存在什么关系 证明 证明 不等 不等 除了方向余弦平方和 1 其它没有关系 除了方向余弦平方和 1 其它没有关系 题题 32 p49 9 求以 A 1 0 2 B 0 3 2 C 4 1 6 为顶点的三角形的重心坐标 9 求以 A 1 0 2 B 0 3 2 C 4 1 6 为顶点的三角形的重心坐标 证明 证明 设重心为 P 由下式可求出 P 的坐标设重心为 P 由下式可求出 P 的坐标 OCOBOA OP 3 1 题题 34 p49 10 已知 已知a两两成角 且两两成角 且 4 c b r r r o 60a r b r 2 c r 6 求求 cba r r r 解 解 cba r r r cba cba r r rr r r ca2bc2ba2 c b a 222 rr r r r rr r r ooo222 60cos c a 260cos b c 260cos b a 2 c b a rr r r r rr r r 题题 43 p50 11 矢量 矢量a具有相等的模 且两两所成的角相等 若具有相等的模 且两两所成的角相等 若ac b r r r kjb ji rrrrr r 求 求 c r 证明 证明 易知易知2 c r 且 且1bacacb r rrrr r 因为模相等 角相等因为模相等 角相等 若设若设k tj si rc rrr r 则 则 2tsr 1ts 1sr 222 解得 s 0 或 s 解得 s 0 或 s 3 4 于是 于是 1 0 1 或或c r c r 3 1 1 4 1 题题 52 p50 12 求以矢量 求以矢量a为邻边的平行四边形的二对角线夹角的正弦为邻边的平行四边形的二对角线夹角的正弦 1 2 1 b 1 1 2 r r 证明 证明 4 B a r b r A D C H baAB r r 3 1 0 3 1 0 0 1 3 HB 2 1 abDC r r 1 3 2 1 3 2 2 3 1 HC 2 1 而 而 HCHB 231 013 kji 4 1 rrr k10j6i2 4 1 rrr 于是又于是又 sin HC HB HCHB 140 10 14 140 10 14 sin 所以 所以 sin 1 题题 53 p50 13 已知 13 已知a 3 0 1 3 0 1 1 4 2 r b v c v 0 3 2 1 求 1 求 a r b v c v v 2 求 2 求 a r bc v v 3 求以 为棱的平行六面体的体积 3 求以 为棱的平行六面体的体积 a r bc v 解 解 1 用行列式求 略 1 用行列式求 略 2 用二重矢积 不要求 略 2 用二重矢积 不要求 略 3 体积 V 3 体积 V a r 过程略 过程略 b v c v 题题 54 p50 14 求以 A 1 0 0 B 3 5 7 C 5 9 2 D 1 2 6 为顶点的四面体体积 14 求以 A 1 0 0 B 3 5 7 C 5 9 2 D 1 2 6 为顶点的四面体体积 解 解 先求先求AD AC AB为棱的平行六面体的体积为棱的平行六面体的体积 V 则以以上四点为顶点的四面体体积 则以以上四点为顶点的四面体体积 V 6 1 过程略 过程略 题题 56 p51 15 已知 a b c 不共线 则它们的和为零矢量的充要条件为 a b b c c a 15 已知 a b c 不共线 则它们的和为零矢量的充要条件为 a b b c c a 解 解 若它们的和为零矢量 即 a b c 0 则 a c b 于是 若它们的和为零矢量 即 a b c 0 则 a c b 于是 a b b c a b c b a c b b b 0 a b b c a b c b a c b b b 0 故 a b b c 0 即 a b b c 同理可证其它结论 故 a b b c 0 即 a b b c 同理可证其它结论 反之 若 a b b c c a 则 a c b 0 即有数 m 使得 a c mb 或 a mb c 再利用 b c c a 可求得 反之 若 a b b c c a 则 a c b 0 即有数 m 使得 a c mb 或 a mb c 再利用 b c c a 可求得 b c c mb c mc b m b c 所以 m 1 故 a b c 0 b c c mb c mc b m b c 所以 m 1 故 a b c 0 5 题题 57 p51 16 已知 a b 计算 a 16 已知 a b 计算 a a a a a a ba b 解 解 由 a 由 a b cb c acac b b abab c 知 c 知 a a a ba b abab a a aaaa b b a a 2 b b a a a a a a a ba b a a a a a a 2 b b a a 2 a a a ba b a a 4 b b 题题 59 p51 17 直线 17 直线L 1 m 1z 2 1y 1 1x 与直线 与直线 2 L 1 z 1 1y 1 1x 相交于一点 求相交于一点 求 m 并写出交点坐标 并写出交点坐标 解 解 由由L得得 x z 1 y z 1 代入代入L方程 可求出方程 可求出 m 21 4 5 z 6 且交点为且交点为 5 7 6 题题 66 p51 18 求过 P 1 2 3 垂直于 18 求过 P 1 2 3 垂直于 3 2 6 r 且与直线且与直线 L 5 3z 4 1y 3 1x 相交的直线方程相交的直线方程 L 证明 证明 设所求直线设所求直线 L 的方向矢量为 a b c 则由的方向矢量为 a b c 则由v r v r r 于是于是 v r r 0 即即 6a 2b 3c 0 由由 L 与与 L 相交 于是两直线共面 于是对于直线相交 于是两直线共面 于是对于直线 L 上的点上的点 Q 1 1 3 方向方向 v 3 4 5 3 4 5 0v vPQ r 即 即0 cba 543 632 或写为 9a 28b 17c 0 或写为 9a 28b 17c 0 由以上两式可求得 a b c 再用点向式可得由以上两式可求得 a b c 再用点向式可得 L 的方程 的方程 题题 68 p51 19 求 P 2 5 1 在直线 L 19 求 P 2 5 1 在直线 L 1 2z 1 y 1 4x 上的投影点上的投影点 P 的坐标 的坐标 解 解 根据点在直线上投影的定义根据点在直线上投影的定义 1 求出过求出过 P 且和且和 L 垂直的平面垂直的平面 2 求出求出 L 和的交点和的交点 P 即为 即为 P 在在 L 上的投影点 上的投影点 题题 69 p51 20 求点 M 3 1 4 在平面 4x 3y 7z 55 0 上的投影点的坐标 20 求点 M 3 1 4 在平面 4x 3y 7z 55 0 上的投影点的坐标 证明 证明 所谓点在某平面的投影点 是指从该点作该平面的垂线的垂足 所谓点在某平面的投影点 是指从该点作该平面的垂线的垂足 可写出该直线的点向式可写出该直线的点向式 7 4z 3 1y 4 3x 或写成参数式 x 3 4t y 1 3t z 4 7t 于是和平面的交点满足 或写成参数式 x 3 4t y 1 3t z 4 7t 于是和平面的交点满足 x 3 4t y 1 3t z 4 7t 4x 3y 7z 55 0 即 x 3 4t y 1 3t z 4 7t 4x 3y 7z 55 0 即 4 3 4t 3 1 3t 7 4 7t 55 0 74t 74 t 1 于是交点为 7 2 3 4 3 4t 3 1 3t 7 4 7t 55 0 74t 74 t 1 于是交点为 7 2 3 即所求投影点为 7 2 3 即所求投影点为 7 2 3 题题 70 p51 21 求直线 L 21 求直线 L 在平面 x y z 0 上的投影直线方程 在平面 x y z 0 上的投影直线方程 01zyx 01zyx 6 解 解 根据直线在平面上投影的定义根据直线在平面上投影的定义 1 求出过求出过 L 且和 垂直的平面且和 垂直的平面 2 和和 的交线即为所求 的交线即为所求 题题 73 p51 22 试求通过直线 L并与平面 x 4y 8z 12 0 构成 22 试求通过直线 L并与平面 x 4y 8z 12 0 构成 04zx 0zy5x 4 角的平面方程 角的平面方程 证明 证明 用待定系数法 设过 L 的平面用含两个参数的平面束表示 再根据两平面的夹角 其法向的夹角 求得 待定系数 用待定系数法 设过 L 的平面用含两个参数的平面束表示 再根据两平面的夹角 其法向的夹角 求得 待定系数 题题 74 p51 23 求两平面 x 3y 2z 5 0 和 3x 2y z 3 0 的夹角平分面方程 23 求两平面 x 3y 2z 5 0 和 3x 2y z 3 0 的夹角平分面方程 解 解 设 M x y z 为所求平面上任一点 则 M 到这两已知平面是等距离的 因此 设 M x y z 为所求平面上任一点 则 M 到这两已知平面是等距离的 因此 222222 123 3zy2x3 231 5z2y3x 整理即可 整理即可 题题 76 p51 24 证明直线 24 证明直线L 1 2 z 1 3y 3 1x 与直线 与直线 2 L 4 3z 1 1y 2 2x 是异面直线 求并求它们之间的 最短距离 是异面直线 求并求它们之间的 最短距离 解 解 1 1 判断两直线异面的方法是在这两直线上各取一点 组成一个矢量 判断和两直线的方向共三个矢 量 若它们异面 判断两直线异面的方法是在这两直线上各取一点 组成一个矢量 判断和两直线的方向共三个矢 量 若它们异面 混合积非零混合积非零 则这两直线异面 则这两直线异面 在这两直线上各取一点 组成一个矢量 和两直线的方向矢量不共面 三矢量的混合积非 0 在这两直线上各取一点 组成一个矢量 和两直线的方向矢量不共面 三矢量的混合积非 0 2 2 求最短距离的方法 求最短距离的方法 v v1 v2 1 P 2 P 平行六面体 平行六面体 V V PP VV 2121 d d VV 21 由此求得的 d 即为两异面直线之间的距离 由此求得的 d 即为两异面直线之间的距离 d d VV PP VV 21 2121 7 3 求公垂线方法 3 求公垂线方法 分析 分析 我们设法将公垂线表为两平面的交线 我们设法将公垂线表为两平面的交线 因公垂线垂直图中的下底面 上底面 故过 L1 和公垂线的平面 因公垂线垂直图中的下底面 上底面 故过 L1 和公垂线的平面 1 1 必垂直这两下底面 上底面 同 理可得到 必垂直这两下底面 上底面 同 理可得到 2 2 方法方法 过 L1 作平面 平行于直线 L2 过 L1 作平面 平行于直线 L2 过 L1 作平面 过 L1 作平面 1 1垂直平面 过 L2 作平面 垂直平面 过 L2 作平面 2 2垂直平面 则 垂直平面 则 1 1和 和 2 2的交线 L 就是两异面直线的公 垂线 的交线 L 就是两异面直线的公 垂线 L1 2L 1 P 2 P L 1 2 事实上 分别记事实上 分别记n 1 n 2 n为 为 1 1和 和 2 2的法向 的法向 v r 为它们的交线的方向矢量 则因 L 同时位于 为它们的交线的方向矢量 则因 L 同时位于 1 1和 和 2 2内 故内 故v r 1 n v r 2 n 于是 于是v r 1 n 2 n 而 而n 1 n 2 n 故 故 v r n 即 L 即 L 又 L1 位于 内 因此 L 又 L1 位于 内 因此 L L1 L1 同理 L L2 同理 L L2 因此 L 为 L1 和 L2 的公垂线 因此 L 为 L1 和 L2 的公垂线 计算过程计算过程 过 L1 作平面 平行于直线 L2 过 L1 作平面 平行于直线 L2 过 L1 作平面 过 L1 作平面 1 1垂直平面 过 L2 作平面 垂直平面 过 L2 作平面 2 2垂直平面 垂直平面 求出 求出 1 1和 和 2 2的交线 L 即为两异面直线的公垂线 的交线 L 即为两异面直线的公垂线 题题 78 1 p51 25 求下列球面方程 25 求下列球面方程 已知一条直径的两个端点已知一条直径的两个端点 4 3 1 和和 2 1 3 解 解 据此即可求出球心 半径 过程略 据此即可求出球心 半径 过程略 题题 78 2 p51 26 求下列球面方程 26 求下列球面方程 球心在球心在 3 1 2 且与平面且与平面 2x y 3z 9 0 相切相切 解 解 半径即为球心到此平面的距离 过程略 半径即为球心到此平面的距离 过程略 题题 78 3 p51 27 求下列球面方程 27 求下列球面方程 球心在球心在 6 8 1 且和且和 z 轴相切轴相切 解 解 8 半径即为球心到半径即为球心到 z 轴的距离 过程略 轴的距离 过程略 题题 78 4 p51 28 求下列球面方程 28 求下列球面方程 过原点及过原点及 A 0 2 0 B 1 3 0 C 0 0 4 解 解 因过原点 故可设球面方程为因过原点 故可设球面方程为 0cz2by2ax2zyx 222 再根据球面过再根据球面过 A B C 可求得可求得 a b c 过程略 过程略 题题 81 p51 29 求圆锥面 29 求圆锥面0z 3 1 yx 222 的母线和对称轴的夹角 的母线和对称轴的夹角 解 解 此圆锥面顶点在原点 对称轴为 z 轴 圆锥面上任一点 x y z 和原点的连线即为母线 其方向 矢量为 x y z 不妨设 z 0 z 轴的方向矢量为 0 0 1 他们的夹角为 此圆锥面顶点在原点 对称轴为 z 轴 圆锥面上任一点 x y z 和原点的连线即为母线 其方向 矢量为 x y z 不妨设 z 0 z 轴的方向矢量为 0 0 1 他们的夹角为 2 3 zz z zyx z cos 22 3 1 222 6 题题 82 p51 30 一直角三角板 绕其直角边 边长为 a 且与斜边的交角为 60 30 一直角三角板 绕其直角边 边长为 a 且与斜边的交角为 60 o 转动一周 求斜边所成的圆锥面方 程 转动一周 求斜边所成的圆锥面方 程 解 解 o 60 0 xy z a 如图 建立空间直角坐标系 如图 建立空间直角坐标系 则在则在 yoz 平面内斜边的方程为平面内斜边的方程为 a3y 3 1 z 于是所求旋转面方程为于是所求旋转面方程为 a3yx 3 1 z 22 即即 222 yx az 3 题题 83 p51 31 求以 A 0 0 1 为顶点 以椭圆 31 求以 A 0 0 1 为顶点 以椭圆 3z 1 9 y 25 x 22 为准线的锥面方程 为准线的锥面方程 解 解 9 0 y x z M h 1 M hz hz 0 y x F z y x M 1111 z y x M A AM AM1 1z 0y 0 x 1h 0y 0 x 11 1z 1h y y x x 11 1z 1h yy 1z 1h xx 11 0 1z 1h y 1z 1h x F 现在现在h 3 F x y 取 F x y 取1 9 y 25 x 22 于是 于是 1 1z y 2 9 1 1z x 2 25 1 22 4 1z 9 y 25 x 222 题题84 p51 32 求与 XOY 平面成 45且过点 A 1 0 0 的一切直线所成的轨迹方程 32 求与 XOY 平面成 45且过点 A 1 0 0 的一切直线所成的轨迹方程 o 解 解 o 45 0 x y z A 1 0 0 设设M x y z 为曲面上任一点 则为曲面上任一点 则AM与与XOY平面的夹角为 45 故平面的夹角为 45 故 o AM x 1 y z 与 x 1 y z 与Z轴正向 轴正向 XOY 平面的法向平面的法向 的夹角为 45 即 的夹角为 45 即 o 2 1 1zy 1x z 222 于是于是 0 为顶点在 A 1 0 0 处的圆锥面 为顶点在 A 1 0 0 处的圆锥面 222 zy 1x 题题87 p52 33 称满足 F tx ty tz F x y z 的函数为 n 次齐次函数 称 F x y z 0 为 n 次齐次方程 证 明 n 次齐次方程表示的曲面是以原点为顶点的锥面 33 称满足 F tx ty tz F x y z 的函数为 n 次齐次函数 称 F x y z 0 为 n 次齐次方程 证 明 n 次齐次方程表示的曲面是以原点为顶点的锥面 n t 证明 证明 方程 F x y z 0 在三维空间表示曲面 故 C 表示曲线 下证以原点为顶点以 C 为 准线移动所得的曲面即为 F x y z 0 再由锥面定义 即可知 F x y z 0 就是以原点为顶点的锥面 方程 F x y z 0 在三维空间表示曲面 故 C 表示曲线 下证以原点为顶点以 C 为 准线移动所得的曲面即为 F x y z 0 再由锥面定义 即可知 F x y z 0 就是以原点为顶点的锥面 hz 0 z y x F 事实上 设 M x y z 为此曲面上任一点 P x事实上 设 M x y z 为此曲面上任一点 P x y y z z 为 C 上任一点 则 为 C 上任一点 则 OP OM 即即t z z y y x x 又 于是 又 于是 h z 0 z y x F 0 tz ty tx F 故F x y z 0 此即 F x y z 0 证毕 故F x y z 0 此即 F x y z 0 证毕 n t 备注 备注 10 也可证明曲面 F x y z 0 是由过原点的直线构成 故为锥面 也可证明曲面 F x y z 0 是由过原点的直线构成 故为锥面 题题88 p52 34 试求通过两曲面和的交线 34 试求通过两曲面和的交线C 且母线平行于 且母线平行于z轴的柱面方程及轴的柱面方程及C在在 xoy平面上的投影曲线方程 平面上的投影曲线方程 1z4yx 222 222 zyx 解 解 1 交线交线C 222 222 zyx 1z4yx 222 222 yxz 1z4yx 222 22 yxz 1y3x5 故所求柱面方程为故所求柱面方程为 1y3x5 22 2 交线交线C C在在xoy平面上的投影曲线方程为平面上的投影曲线方程为 222 22 yxz 1y3x5 0z 1y3x5 22 题题89 3 p52 35 求下列曲线在 xoy 平面上的投影曲线 35 求下列曲线在 xoy 平面上的投影曲线 在在x y z 1 0上的以上的以 1 1 3 为圆心 以为圆心 以2为半径的圆 为半径的圆 解 解 空间曲线常表示成两曲面的交线 再通过消去某变量的形式 得到相应的投影曲线 空间曲线常表示成两曲面的交线 再通过消去某变量的形式 得到相应的投影曲线 在在x y z 1 0上的以上的以 1 1 3 为圆心 以为圆心 以2为半径的圆可看作以为半径的圆可看作以 1 1 3 为球心 以为球心 以2为半径的球和为半径的球和 x y z 1 0的交线 即的交线 即 01zyx 4 3z 1y 1x 222 1yxz 4 3z 1y 1x 222 1yxz 4 2yx 1y 1x 222 1yxz 4 1y 1x 1y 1x 222 1yxz 4 1y 1x 2 1y 2 1x 2 22 1yxz 2 1y 1x 1y 1x 22 故所求投影曲线为故所求投影曲线为 0z 2 1y 1x 1y 1x 22 11 题题90 p52 36 设有直线 36 设有直线L 010zy5x 06z3yx4 1 求在 yoz 平面上的投影直线方程 1 求在 yoz 平面上的投影直线方程 2 在平面 2x y 5z 5 0 的投影直线方程 2 在平面 2x y 5z 5 0 的投影直线方程 解 解 根据直线在平面上投影的定义根据直线在平面上投影的定义 a 求出过求出过L且和 垂直的平面且和 垂直的平面 b 和的交线即为所求和的交线即为所求 若 为坐标平面 可以按照空间曲线在坐标面上的投影曲线的求法来进行 若 为坐标平面 可以按照空间曲线在坐标面上的投影曲线的求法来进行 题题91 1 p52 37 试建立下列空间曲线的参数方程 37 试建立下列空间曲线的参数方程 4z yxz 22 解 解 即即 故故 4z yxz 22 4z 4yx 22 4z sin2y cos2x 20 题题91 2 p52 试建立下列空间曲线的参数方程 试建立下列空间曲线的参数方程 222 2222 Ry Rx R4zyx 0z y x 解 解 222 Ry Rx 的参数方程为的参数方程为 sinRy cosRRx 20 代入 得 代入 得 2222 R4zyx 22222 R4zRcosR2R cos1 R2z 22 2 sinR2 z或或 2 sinR2z 故故 的参数式为的参数式为 222 2222 Ry Rx R4zyx 2 sinR2z sinRy cosRRx 20 及及 2 sinR2z sinRy cosRRx 20 两条曲线两条曲线 222 2222 Ry Rx R4zyx 的参数式为的参数式为0z y x 2 sinR2z sinRy cosRRx 0 题题91 3 p52 试建立下列空间曲线的参数方程 试建立下列空间曲线的参数方程 12 1z2yx ayx 222 解 解 222 ayx 的参数方程为的参数方程为 sinay cosax 20 代入 代入1z2yx 得 得 sinacosa1 z 2 1 于是的参数方程为于是的参数方程为 1z2yx ayx 222 sinacosa1 z sinay cosax 2 1 20 题题94 p52 38 求过坐标原点 O A 0 2 0 B 1 3 0 C 0 0 4 的球面方程 38 求过坐标原点 O A 0 2 0 B 1 3 0 C 0 0 4 的球面方程 解法 1 解法 1 用待定系数法 用待定系数法 2222 r cz by ax 解法 2 解法 2 用待定系数法 过坐标原点的球面 用待定系数法 过坐标原点的球面 x 0cz2by2ax2zy 222 解法 3 解法 3 我们知道 一个圆的任两条不平行弦的中垂线的交点是圆心 对于球 同样有 任两三个不平行弦 的中垂面的交点是球心 我们知道 一个圆的任两条不平行弦的中垂线的交点是圆心 对于球 同样有 任两三个不平行弦 的中垂面的交点是球心 OB 的中垂面就是过 OB 的中点且以 OB 的方向矢量为法向的平面 据此求出平面方程为 2x 6y 10 0 OB 的中垂面就是过 OB 的中点且以 OB 的方向矢量为法向的平面 据此求出平面方程为 2x 6y 10 0 现在 OA 的中垂面是 y 1 OC 的中垂面是 z 2 现在 OA 的中垂面是 y 1 OC 的中垂面是 z 2 这三张平面的交点为 2 1 2 此即球心 而半径即为 OC 长度 4 因此可得球面方程 这三张平面的交点为 2 1 2 此即球心 而半径即为 OC 长度 4 因此可得球面方程 题题94 p52 39 一动点与定点 A 0 1 0 的距离为与平面 y 4 的距离的一半 试求动点的轨迹 39 一动点与定点 A 0 1 0 的距离为与平面 y 4 的距离的一半 试求动点的轨迹 解 解 记动点为记动点为M x y z 则依题意 则依题意 1 4y z 1y x 2 1222 即 即 12z4y3x4 222 为为3绕绕y轴的旋转椭球面 轴的旋转椭球面 12z4y 22 题题97 1 p52 40 画出下面各组曲面围成的立体图形 40 画出下面各组曲面围成的立体图形 1x 2 z 3 y 与三坐标平面 与三坐标平面 解 解 1x 2 z 3 y 为平面 与三坐标平面均相交 1 3 2 为在坐标轴上的截距 为平面 与三坐标平面均相交 1 3 2 为在坐标轴上的截距 13 0 x y z 1 2 3 其围成的体可表成其围成的体可表成 V 1x0 x1 3y0 x 22z0 z y x 3 y 题题97 2 p52 41 画出下面各组曲面围成的立体图形 41 画出下面各组曲面围成的立体图形 22 yxz 与三坐标平面 平面 x y 1 与三坐标平面 平面 x y 1 解 解 0 x z 1 y xy x y 1 22 yxz 1 z 1 14 0 x z 1 y xy x y 1 22 yxz 1 2 xz 2 yz 22 yxz 可看作抛物线绕 z 轴旋转的旋转抛物面 平面 x y 1 为平行于 z 轴 可看作 xoy 平 面内的直线 x y 1 沿 z 轴方向 拉出 的平面 与 x y 1 的交线在 xoz 平面内的投影为 可看作抛物线绕 z 轴旋转的旋转抛物面 平面 x y 1 为平行于 z 轴 可看作 xoy 平 面内的直线 x y 1 沿 z 轴方向 拉出 的平面 与 x y 1 的交线在 xoz 平面内的投影为 2 yz 22 yxz 22 x1 xz 即 即 1x2x2z 2 为 xoz 平面内的一条抛物线 同样 交线在 yoz 平面内也为一条抛物线 为 xoz 平面内的一条抛物线 同样 交线在 yoz 平面内也为一条抛物线 22 yxz z 1 x y 1 交点为 1 0 1 和 0 1 1 z 1 x y 1 交点为 1 0 1 和 0 1 1 22 yxz 和 xoz 平面 y 0 的交线为 和 yoz 平面 x 0 的交线为 和 xoz 平面 y 0 的交线为 和 yoz 平面 x 0 的交线为 2 xz 2 yz 其围成的体可表成其围成的体可表成 V xy 22 y x yxz0 z y x 1x0 x1y0 y x xy 题题97 3 p52 42 画出下面各组曲面围成的立体图形 42 画出下面各组曲面围成的立体图形 2222 R Rz yx 与包含 z 轴部分 与包含 z 轴部分 222 zyx 解 解 0 x z y z R 15 2222 R Rz yx 为半径为 R 中心在 0 0 R 的与 xoy 平面相切的球面 为半径为 R 中心在 0 0 R 的与 xoy 平面相切的球面 222 zyx 为顶点在 0 0 0 的正圆锥面 为顶点在 0 0 0 的正圆锥面 它们的交线为圆它们的交线为圆 Rz Ryx 222 其围成的体可表成其围成的体可表成 V xy 22222 y x yxRRzyx z y x 222 xy Ryx0 y x 注 如何求围成的不含 z 轴的体为 注 如何求围成的不含 z 轴的体为 V xy 22222 y x yxzyxRR z y x 222 xy Ryx0 y x 题题97 4 p52 43 画出下面各组曲面围成的立体图形 43 画出下面各组曲面围成的立体图形 2 yz 与平面 z 1 x 0 x 2 与平面 z 1 x 0 x 2 解 解 0 z y x 2 1 2 yz 为过 x 轴且与 x 轴平行的抛物柱面 为过 x 轴且与 x 轴平行的抛物柱面 z 1 为与 xoy 平面平行的平面 z 1 为与 xoy 平面平行的平面 2 yz 与平面 z 1 的交线为及 与平面 z 1 的交线为及 1z 1y 1z 1y 其围成的体可表成其围成的体可表成 V xy 2 y x 1zy z y x 2x0 1y1 y x xy 也可表为也可表为 1y1 1zy 2x0 z y x 2 16 题题97 5 p52 44 画出下面各组曲面围成的立体图形 44 画出下面各组曲面围成的立体图形 z2yx 22 与平面 z 0 与平面 z 0 解 解 0 z y 2 x z2yx 22 为绕 z 在轴的旋转抛物面 为绕 z 在轴的旋转抛物面 z2y2 其围成的体可表成其围成的体可表成 V 2yx yx 2z0 z y x 2222 题题97 6 p52 45 画出下面各组曲面围成的立体图形 45 画出下面各组曲面围成的立体图形 22 zx1y 与平面 y 2 与平面 y 2 解 解 0 x z y2 1 22 zx1y 为抛物线绕 y 轴旋转而得的旋转抛物面 为抛物线绕 y 轴旋转而得的旋转抛物面 2 z1y 其围成的体可表成其围成的体可表成 V 3zx 1zxy0 z y x 2222 题题97 7 p53 46 画出下面各组曲面围成的立体图形 46 画出下面各组曲面围成的立体图形 222 z1 yx 与平面 z 0 与平面 z 0 解 解 222 z1 yx 为顶点在 0 0 1 的正圆锥面 为顶点在 0 0 1 的正圆锥面 17 0 z y 1 x 其围成的体可表成其围成的体可表成 V 1yx yx 1z0 z y x 2222 题题97 8 p53 47 画出下面各组曲面围成的立体图形 47 画出下面各组曲面围成的立体图形 z1yx 22 与 平面 y z 2 0 与 平面 y z 2 0 1yx 22 解 解 0 x z y 1 1 z y 2 2 z1yx 22 为由绕 z 轴旋转而得的旋转抛物面 为由绕 z 轴旋转而得的旋转抛物面 z1y2 1yx 22 中心轴为 z 轴的圆柱面 它们的交线为 中心轴为 z 轴的圆柱面 它们的交线为 0z 1yx 22 与 z 轴平行的平面 y z 2 0 和的交线为椭圆 其在 xoz 平面投影为椭圆 在 xoy 平面投影为圆 与 z 轴平行的平面 y z 2 0 和的交线为椭圆 其在 xoz 平面投影为椭圆 在 xoy 平面投影为圆 1yx 22 2yz 1yx 22 其围成的体可表成其围成的体可表成 V xy 22 y x 2yz yx 1 z y x 1yx0 y x 22 xy 注 可以进一步分析所给抛物面与平面的有否交点 交线 注 可以进一步分析所给抛物面与平面的有否交点 交线 18 我们证明在范围内它们没有交点 交线 我们证明在范围内它们没有交点 交线 1yx 22 事实上 若有公共的点 x y z 则事实上 若有公共的点 x y z 则1于是 1 z 0 于是对于 z y 2 1 y 2 0 因此 1 y 2 故此点不在范围内 于是 1 z 0 于是对于 z y 2 1 y 2 0 因此 1 y 2 故此点不在范围内 0z1yx 22 1 2 yx2 再在外 它们也没有交点再在外 它们也没有交点 1yx 22 事实上 若有交线 则必可写为 即或写为事实上 若有交线 则必可写为 即或写为 2yz z1yx 22 2yz 1yyx 22 2yz y x 4 52 2 12 这 是不存在的 故没任何交点 交线 这 是不存在的 故没任何交点 交线 题题97 9 p53 48 画出下面各组曲面围成的立体图形 48 画出下面各组曲面围成的立体图形 2222 a4zyx 与包含 z 轴正向部分 并画出第一卦限部分 与包含 z 轴正向部分 并画出第一卦限部分 222 ay ax 解 解 0 z y x 0 x z y 第一卦限部分 第一卦限部分 0 x z y 19 其围成的体可表成其围成的体可表成 V 222222 ay ax yxa4z0 z y x 题题97 10 p53 49 画出下面各组曲面围成的立体图形 49 画出下面各组曲面围成的立体图形 222 Rzy 与 第一卦限 与 第一卦限 222 Rzx 解 解 两圆柱面在第一卦限的交线为 两圆柱面在第一卦限的交线为 222 Rzx yx 0 x z y R R R 附 附 222 Rzy 与 第一卦限 与书上题略有不同 与 第一卦限 与书上题略有不同 222 Ryx 解 解 两圆柱面在第一卦限的交线为 两圆柱面在第一卦限的交线为 222 Rzy xz 20 0 x z y R R R 222 Rzy 与与 222 Ryx V xy 22 y x yRz0 z y x 0y 0 x Ryx y x 22 xy 我们还可求出 用平面 y a 0 a R 去截所得的截面 我们还可求出 用平面 y a 0 a R 去截所得的截面 事实上 平面 y a 与交于直线事实上 平面 y a 与交于直线 222 Ryx ay aRx 22 平面 y a 与交于直线平面 y a 与交于直线 222 Rzy 22 aRz ay 因此 平面 y a 与第一卦限部分的截面为边长是因此 平面 y a 与第一卦限部分的截面为边长是 22 aR 的正方形 的正方形 0 x z y R R R a 22 aRx 题题101 p53 50 用矢量方法证明平行四边形四边的平方和等于对角线的平方和 50 用矢量方法证明平行四边形四边的平方和等于对角线的平方和 21 解 解 设平行四边形两邻边的矢量以a b表示 则此平行四边形四边的平方和为 2 a 设平行四边形两邻边的矢量以a b表示 则此平行四边形四边的平方和为 2 a 2 2 2 b 2 b 2 2 对角线的平 方和为 a b 对角线的平 方和为 a b 2 2 a b a b 2 2 易知它们相等 易知它们相等 题题102 p53 51 已知 51 已知a和和7垂直 垂直 b3 r r b5a r r b4a r r 和和b2a7 r r 垂直 求垂直 求a r 和和b r 的夹角 的夹角 证明 证明 0 b3a r r b5a7 r r 22 b 15ba16 a 7 rr rr 0 b4a r r b2a7 r r 22 b 8ba30 a 7 rr rr 相减 得相减 得 代入第二式得 代入第二式得 2 2 b ba2 rr r 2 a ba r r r 于是 于是 b a r r 因此因此 2 1 b a ba b acos r r r rr r 3 b a r r 题题103 p53 52 一直线过点 M 1 2 3 且与 52 一直线过点 M 1 2 3 且与 6 6 7 平行平行 求点求点P 3 4 2 到该直线的距离 到该直线的距离 v r 解 解 直接用点到直线距离公式 直接用点到直线距离公式 z y x P 111 v r d v PM r L z y x M 000 d d sin PM vPM 0 v vPM r r 题题104 p53 53 已知 53 已知c与和与和Q共面 且在共面 且在 r 2 1 0 P r 3 1 2 r P r 上投影为上投影为5 在 在Q r 上投影为上投影为14 求 求 c r 证明 证明 记记c a b a b r P r Q r b3a2 ba b2 由 由 r 5 P c r r P Pc r r 5 b7a5 14 Q c r r Q Qc r r r 14 b15a7 于是 5a 7b 5 7a 15b 14 求得 a b 即可得于是 5a 7b 5 7a 15b 14 求得 a b 即可得c r 题题105 p53 54 已知 A B C 对于原点的矢径为 54 已知 A B C 对于原点的矢径为 321 r r r rrr 且 且 321 r r r rrr 不共面 求 C 在 OA 和 OB 所确定的平面上的 投影点 D 并求 A 1 2 3 B 0 1 2 C 2 1 0 时的点 D 的坐标 不共面 求 C 在 OA 和 OB 所确定的平面上的 投影点 D 并求 A 1 2 3 B 0 1 2 C 2 1 0 时的点 D 的坐标 解法 1 解法 1 22 A B c D O 21 rbraOBbOAaOD rr 共面共面 OACD OB CD OCOD CD rrr 因此因此 0r rrbra 2321 rrrr 0r rrbra 1321 r 232221 131211 rrrrbrra rrrrbrra rrrrrr rrrrrr 得得 rr rr rr rr rr rr rr rr a 21212211 32212231 rrrrrrrr rrrrrrrr rr rr rr rr rr rr rr rr b 21212211 31213211 rrrrrrrr rrrrrrrr 而而 21 rbraOD rr 解法 2 解法 2 DC a rr a 21 rr DC 3 r r rr r rr 21 321 rr rrr 因此因此DC rr rr r rr 21 21 321 rr rr rrr 最后 最后 DCOCOD rr rr r rr r 21 21 321 3 rr rr rrr r 当当A B C给定具体坐标时 可直接利用直线 平面方程求解出 也可利用上述思想 给定具体坐标时 可直接利用直线 平面方程求解出 也可利用上述思想 题题106 p53 55 已知 r 55 已知 r1 1 r r2 2 r r3 3为三角形 ABC 三顶点的三个矢径 为三角形 ABC 三顶点的三个矢径 1 试用r1 试用r1 1 r r2 2 r r3 3表示此三角形的面积 表示此三角形的面积 2 并证明当下式成立时 A B C 在同一直线上 2 并证明当下式成立时 A B C 在同一直线上 r r1 1 r r2 2 r r2 2 r r3 3 r r3 3 r r1 1 0 0 解 解 1 s 1 s 2 1 r r2 2 r r1 1 r r3 3 r r1 1 2 1 r r1 1 r r2 2 r r2 2 r r3 3 r r3 3 r r1 1 2 若 2 若 r r1 1 r r2 2 r r2 2 r r3 3 r r3 3 r r1 1 0 0 则 则 r r1 1 r r1 1 r r1 1 r r2 2 r r2 2 r r3 3 r r3 3 r r1 1 0 0 即 即 r r1 1 r r1 1 r r2 2 r r1 1 r r2 2 r r3 3 r r1 1 r r3 3 0 0 即 即 r r2 2 r r1 1 r r3 3 r r1 1 0 0 所以 所以 23 r r2 2 r r1 1 r r3 3 r r1 1 即 A B C 在同一直线上 即 A B C 在同一直线上 题题107 p53 5