冲刺60天2012年高考文科数学解题策略 专题三 数列与不.doc

数列与不等式的综合问题是考查的热点和重点内容，近几年，高考关于数列与不等式的综合应用的命题趋势是： （1）以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇 （2）以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大题型一 数列中的不等关系例1设等差数列的前项和为，则的最大值是 .点拨：数列与不等式的小题，主要是运用基本不等式、不等式的性质、线性规划等求范围或最值本题明为数列，实为线性规划，着力考查了转化化归和数形结合思想因约束条件只有两个，本题也可用不等式的方法求解解法1：由题意，即，建立平面直角坐标系，画出可行域（图略），画出目标函数即直线，由图知，当直线过可行域内点时截距最大，此时目标函数取最大值解法2：前面同解法1设，由解得，由不等式的性质得： ，即，的最大值是4解法3：前面同解法1， ，即，的最大值是4易错点：一方面得出不等式组，之后不知如何运用；另一方面用线性规划求最值时，用错点的坐标变式与引申1：（1）等比数列的公比，第17项的平方等于第24项，求使 恒成立的正整数的取值范围（2）（2011年浙江文科卷第19题）已知公差不为0的等差数列的首项为，且，成等比数列（）求数列的通项公式；（）对，试比较与的大小题型二 数列、函数与不等式例2 已知函数，数列满足，且（1）设，证明：；（2）设（1）中的数列的前项和为，证明点拨：数列与不等式的证明问题常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法：一般是利用分析法分析，再利用综合法证明；(3)放缩法：利用迭代法、累加法、累乘法构建关系进行放缩.【解】（1）由条件知 故（2）由（1）的过程可知，.易错点：不易找出放缩的方法，从而无法证明放缩法可通过对分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的变式与引申2： 已知数列是首项的等比数列，其前项和为，且成等差数列。 （1）求数列的通项公式； （2）若，设为数列的前项和，求证： 题型三 数列、解几与不等式例3 如图，已知曲线从C上的点作x轴的垂线，交于点，再从点作y轴的垂线，交C于点设，（1）求点Q1、Q2的坐标；图（2）求数列的通项公式；（3）记数列的前n项和为，求证：易错点：（1）三点坐标之间的关系不易寻找，要充分利用数形结合解决问题（2）型递推数列求通项用累加法，求放缩方法不容易找到，求和就成问题. PnPn+1图变式与引申3：（2011年陕西文科卷）如图，从点做x轴的垂线交曲线于点曲线在点处的切线与x轴交于点，再从做x轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：记点的坐标为.（）试求与的关系（）求题型四 数列与不等式的探索问题例4设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记.（I）求数列与数列的通项公式；（II）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；（III）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；点拨：数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在.若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果.也可直接推理判断是否存在.解（1）当时，.又数列是首项为，公比为的等比数列， （2）不存在正整数，使得成立.证明：当n为偶数时，设 当n为奇数时，设对于一切的正整数n，都有 不存在正整数，使得成立 （3）又， 当时，当时， 易错点：（1）在第二问中对不加讨论，导致结论不正确；（2）找不到的放缩技巧，也有可能放得过大而无法证明变式与引申4：已知数列和满足,.() 当时,求证: 对于任意的实数,一定不是等差数列；() 当时,试判断是否为等比数列.本节主要考查：数列的通项公式、前n项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用，此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能.点评：（1）数列与不等式作为高中数学代数五大内容的两大核心内容，其在高考试卷中处于核心地位，数列与不等式的综合是高考的重中之重，有数列与不等式的主要交汇，有不等式与函数的重点交叉，数列与函数、数列与数学归纳法、不等式与解析几何的交汇也比较突出当这些两者甚至三者交汇结合在一起的时候，问题会变得非常的灵活，对学生的数学思维能力，分析问题和解决问题的能力，计算能力以及数学的思想和方法、数学的素养都有较高的要求（2）求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；利用条件中的不等式关系确定最值（3）探索型问题常常需要由给定的题设条件去探索相应的结论，或探索满足某些条件的对象是否存在，问题增加了许多可变因素，思维指向不明显探索型问题有：猜想型，即结论未给出，解题时需要首选探索结论，然后再加以证明；判断型，即判定符合某种条件的数学对象是否存在或其结论是否成立，解题时常先假设存在，然后求出或导出矛盾 （4）数列中的不等式问题，一般有放缩，构造函数这两类常见的方法用放缩法证明不等式有：利用迭代法构建关系进行放缩；利用累加法构建关系进行放缩；利用累乘法构建关系进行放缩；利用可求和的新数列构建关系进行放缩而放缩主要是把数列的通项放缩为一个可求和的数列，如放缩为等比、等差或可裂项求和的数列习题341数列的通项公式,若此数列满足(),则的取值范围是A, B, C, D,2已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为, 则的取值范围是（ ）A B C D 3已知为锐角，且，函数，数列an的首项. 求函数的表达式； 求证：.4函数的最小值为且数列的前项和为 （）求数列的通项公式； （）若数列是等差数列，且，求非零常数； （）若，求数列的最大项5(2011全国理科)设数列满足且（）求的通项公式；（）设【答案】故通项公式 （）解：记所以从而，当时，；当变式与引申2：解：设数列的公比为 （1）若，则显然不成等差数列，与题设条件矛盾，所以1由成等差数列，得化简得 （2）证：当2时，=1+变式与引申3：【解】（）设，由得点处切线方程为由得。（），得，变式与引申4：【解析】（）当时, 假设是等差数列,由得, ， 方程无解.故对于任意的实数,