抽象函数的对称性与周期性

抽象函数的对称性与周期性一、 抽象函数的对称性定理1. 若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件：f (a+x)=f (bx)，则函数y=f (x) 的图象关于直线x= 对称。推论1. 若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件：f (a+x)=f (ax) （或f (2ax)= f (x) ),则函数y=f (x) 的图像关于直线x= a 对称。推论2. 若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件：f (a+x)=f (ax)， 又若方程f (x)=0有n个根，则此n个根的和为na 。定理2. 若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件：f (a+x)+f (bx)=c，（a,b,c为常数），则函数y=f (x) 的图象关于点 对称。推论1.若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件：f (a+x)+f (ax)=0，（a为常数），则函数y=f (x) 的图象关于点（a ，0）对称。定理3.若函数y=f (x) 定义域为R，则函数y=f (a+x) 与y=f (bx)两函数的图象关于直线x=对称。定理4.若函数y=f (x) 定义域为R，则函数y=f (a+x) 与y=cf (bx)两函数的图象关于点对称。性质1：对函数y=f(x),若f(a+x)= f(bx)成立，则y=f(x)的图象关于点（,0）对称。性质2：函数y=f(xa)与函数y=f(ax)的图象关于直线x=a对称。性质3：函数y=f(a+x)与函数y=f(ax)的图象关于直线x=0对称。性质4：函数y=f(a+x)与函数y=f(bx)图象关于点（,0）对称。二、抽象函数的周期性定理5.若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件f (xa)=f (xb)，则y=f (x) 是以T=ab为周期的周期函数。定理6.若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件f (xa)= f (xb)，则y=f (x) 是以T=2（ab）为周期的周期函数。定理7.若函数y=f (x)的图象关于直线 x=a与 x=b （ab)对称，则y=f (x) 是以T=2(ba)为周期的周期函数。定理8.若函数y=f (x)的图象关于点（a,0)与点(b,0) , (ab)对称，则y=f (x) 是以T=2(ba)为周期的周期函数。定理9.若函数y=f (x)的图象关于直线 x=a与 点(b,0),(ab)对称，则y=f (x) 是以 T=4(ba)为周期的周期函数。性质1：若函数f(x)满足f(ax)=f(ax)及f(bx)=f(bx) (ab,ab0),则函数f(x)有周期2(ab)；性质2：若函数f(x)满足f(ax)= f(ax)及f(bx)= f(bx)，(ab,ab0),则函数有周期2(ab).特别：若函数f(x)满足f(ax)=f(ax) （a0）且f(x)是偶函数，则函数f(x)有周期2a.性质3：若函数f(x)满足f(ax)=f(ax)及f(bx)= f(bx) (ab,ab0)，则函数有周期4(ab).特别：若函数f(x)满足f(ax)=f(ax) （a0）且f(x)是奇函数，则函数f(x)有周期4a。例1已知定义在上的奇函数满足，则的值为 例2已知函数是周期为的函数，当时，当 时，的解析式是 例3. 设是定义在上以为周期的函数，在内单调递减，且的图像关于直线对称，则下面正确的结论是 例4.设是定义在上1已知定义为R的函数满足，且函数在区间上单调递增.如果，且，则的值（ ）.A恒小于0 B恒大于0 C可能为0 D可正可负.例5.在R上定义的函数是偶函数，且.若在区间上是减函数，则( )A.在区间上是增函数，在区间上是减函数B.在区间上是增函数，在区间上是减函数C.在区间上是减函数，在区间上是增函数D.在区间上是减函数，在区间上是增函数例6已知函数的图象关于直线和都对称，且当时，.求的值.13设（）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称对任意，都有（）（）（），且f(1)=()求；()证明（）是周期函数； 练习： 1.设偶函数对任意，都有，且当时，则 2是定义在上的以为周期的奇函数，且在区间内解的个数的最小值是 3定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为 4 .已知函数为上的奇函数，且满足，当时，则等于( ) 5.函数对于任意实数满足条件，若，则 6.已知是周期为的