拓扑学复习题与参考答案

点集拓扑学练习题一、单项选择题（每题2分）1、已知,下列集族中，（ ）是上的拓扑. 2、设，下列集族中,（ ）是上的拓扑. 3、已知,下列集族中，（ ）是上的拓扑. 4、设，下列集族中,（ ）是上的拓扑. 5、已知,下列集族中，（ ）是上的拓扑. 6、设，下列集族中,（ ）是上的拓扑. 7、已知，拓扑,则=（ ） 8、 已知，拓扑,则=（ ） 9、 已知，拓扑,则=（ ） 10、已知，拓扑,则=（ ） 11、已知，拓扑,则=（ ） 12、已知，拓扑,则=（ ） 13、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） 1 2 3 4 14、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） 1 2 3 4 15、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） 0 1 2 3 16、设，拓扑,则的既开又闭的子集的个数为（ ） 0 1 2 3 17、设，拓扑,则的既开又闭的子集的个数为（ ） 1 2 3 4 18、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） 1 2 3 4 19、在实数空间中，有理数集的内部是（ ） Q R -Q R 20、在实数空间中，有理数集的边界是（ ） Q R -Q R 21、在实数空间中，整数集的内部是（ ） R-Z R 22、在实数空间中，整数集的边界是（ ） R-Z R 23、在实数空间中，区间的边界是（ ） 24、在实数空间中，区间的边界是（ ） 25、在实数空间中，区间的内部是（ ） 26、设是一个拓扑空间，A,B 是的子集,则下列关系中错误的是（ ） 27、设是一个拓扑空间，A,B 是的子集,则下列关系中正确的是（ ） 28、设是一个拓扑空间，A,B 是的子集,则下列关系中正确的是（ ） 29、已知是一个离散拓扑空间，A是的子集,则下列结论中正确的是（ ） 30、已知是一个平庸拓扑空间，A是的子集,则下列结论中不正确的是（ ） 若,则 若,则 若A=,则 若, 则 31、已知是一个平庸拓扑空间，A是的子集,则下列结论中正确的是（ ） 若,则 若,则 若A=,则 若,则32、设，令,则由产生的上的拓扑是（ ） ,c,d,c,d,a,b,c ,c,d,c,d ,c,a,b,c ,d,b,c,b,d,b,c,d33、设是至少含有两个元素的集合，, 是的拓扑，则（ ）是的基. 34、 设,则下列的拓扑中（ ）以为子基. , ,a,a,c , ,a , ,a,b,a,b , 35、离散空间的任一子集为( ) 开集 闭集 即开又闭 非开非闭36、平庸空间的任一非空真子集为( ) 开集 闭集 即开又闭 非开非闭37、实数空间中的任一单点集是 ( ) 开集 闭集 既开又闭 非开非闭38、实数空间R的子集A =1, ,则（ ） R A0 A39、在实数空间R中，下列集合是闭集的是（ ） 整数集 有理数集 无理数集40、在实数空间R中，下列集合是开集的是（ ） 整数集Z 有理数集 无理数集 整数集Z的补集41、已知上的拓扑,则点1的邻域个数是（） 1 2 3 442、已知,则上的所有可能的拓扑有（） 1个 2个 3个 4个43、已知=a,b,c,则上的含有个元素的拓扑有（）个 3 5 7 944、设为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( ) 当时, 当时,45、在实数下限拓扑空间中，区间是（ ） 开集 闭集 既是开集又是闭集 非开非闭46、设是一个拓扑空间，,且满足,则是（ ） 开集 闭集 既是开集又是闭集 非开非闭47、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为( ) 48、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为( ) 49、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为( ) 50、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为( ) 51、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为( ) 52、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为( ) 53、设是实数空间，是整数集，则的子空间的拓扑为（ ） 54、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，则是（ ） 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射55、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，则是（ ） 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 56、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，则是（ ） 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 57、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，则是（ ） 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 58、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，则是（ ） 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 59、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，则是（ ） 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 60、设和是两个拓扑空间，是它们的积空间,，则有（ ） 61、有理数集是实数空间的一个（ ） 不连通子集 连通子集 开集 以上都不对62、整数集是实数空间的一个（ ） 不连通子集 连通子集 开集 以上都不对63、无理数集是实数空间的一个（ ） 不连通子集 连通子集 开集 以上都不对64、设Y为拓扑空间X的连通子集,Z为X的子集,若, 则Z为( )不连通子集 连通子集 闭集 开集65、设是平庸空间，则积空间是（） 离散空间 不一定是平庸空间 平庸空间 不连通空间66、设是离散空间，则积空间是（） 离散空间 不一定是离散空间 平庸空间 连通空间67、设是连通空间，则积空间是（） 离散空间 不一定是连通空间 平庸空间 连通空间68、实数空间R中的连通子集E为( ) 开区间 闭区间 区间 以上都不对69、实数空间R中的不少于两点的连通子集E为( ) 开区间 闭区间 区间 以上都不对70、实数空间R中的连通子集E为( ) 开区间 闭区间 区间 区间或一点71、下列叙述中正确的个数为（ ） （）单位圆周是连通的； （）是连通的 （）是连通的 （）和同胚 1 2 3 472、实数空间( ) 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对73、整数集作为实数空间的子空间（ ） 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对74、有理数集作为实数空间的子空间（ ） 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对75、无理数集作为实数空间的子空间（ ） 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对76、正整数集作为实数空间的子空间（ ） 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对77、负整数集作为实数空间的子空间（ ） 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对78、2维欧氏间空间（ ） 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对79、3维欧氏间空间（ ） 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ） 平庸性 连通性 离散性 第一可数性公理81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ） 第一可数性公理 连通性 第二可数性公理 平庸性82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ） 第一可数性公理 可分性 第二可数性公理 离散性83、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ） 平庸性 可分性 离散性 第二可数性公理84、设是一个拓扑空间，若对于,均有,则是( ) 空间 空间 空间 以上都不对85、设，则是( ) 空间 空间 空间 以上都不对86、设，则是( ) 空间 空间 空间 道路连通空间87、设，则是( ) 空间 空间 空间 以上都不对88、设，则是( ) 空间 空间 空间 以上都不对89、设，则是( ) 空间 空间 空间 以上都不对90、设，则是( ) 空间 空间 空间 以上都不对91、设，则是( )空间 空间 空间 以上都不对92、设是一个拓扑空间，若的每一个单点集都是闭集，则是（ ）正则空间 正规空间 空间 空间93、设是一个拓扑空间，若的每一个有限子集都是闭集，则是（ ）正则空间 正规空间 空间 空间94、设是一个拓扑空间，若对及的每一个开邻域，都存在的一个开邻域,使得,则是（ ）正则空间 正规空间 空间 空间95、设是一个拓扑空间，若对的任何一个闭集及的每一个开邻域，都存在的一个开邻域,使得,则是（ ）正则空间 正规空间 空间 空间96、设，则是( )空间 空间 空间 正规空间97、设，则是( )空间 空间 空间 正规空间98、设，则是( )空间 空间 空间 正则空间99、设，则是( )空间 正则空间 空间 正规空间100、设，则是( )空间 正则空间 空间 正规空间101、设，则是( )空间 正则空间 空间 正规空间102、若拓扑空间的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间是一个（ ） 连通空间 道路连通空间 紧致空间 可分空间103、紧致空间中的每一个闭子集都是（ ） 连通子集 道路连通子集 紧致子集 以上都不对104、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是（ ） 连通子集 开集 闭集 以上都不对105、紧致的Hausdorff空间中的紧致子集是（ ） 连通子集 开集 闭集 以上都不对106、拓扑空间的任何一个有限子集都是（ ） 连通子集 紧致子集 非紧致子集 开集107、实数空间的子集是（ ） 连通子集 紧致子集 开集 非紧致子集108、实数空间的子集是（ ） 连通子集 紧致子集 开集 非紧致子集109、如果拓扑空间的每个紧致子集都是闭集，则是（ ） 空间 紧致空间 可数补空间 非紧致空间二、填空题（每题2分）1、设,则的平庸拓扑为 ;2、设,则的离散拓扑为 ;3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ;4、在实数空间R中，有理数集Q的导集是_.5、当且仅当对于的每一邻域有 ;6、设是有限补空间中的一个无限子集，则= ;7、设是有限补空间中的一个无限子集，则= ;8、设是可数补空间中的一个不可数子集，则= ;9、设是可数补空间中的一个不可数子集，则= ;10、设,的拓扑,则的子集 的内部为 ;11、设,的拓扑,则的子集 的内部为 ;12、设,的拓扑,则的子集 的内部为 ;13、设,的拓扑,则的子集 的内部为 ;14、设,则的平庸拓扑为 ;15、设,则的离散拓扑为 ;16、设,的拓扑,则的子集 的内部为 ;17、设,的拓扑,则的子集 的内部为 ;18、是拓扑空间到的一个映射，若它是一个单射，并且是从到它的象集的一个同胚，则称映射是一个 .19、是拓扑空间到的一个映射，如果它是一个满射，并且的拓扑是对于映射而言的商拓扑，则称是一个 .20、设是两个拓扑空间，是一个映射，若中任何一个开集的象集是中的一个开集，则称映射是一个;21、设是两个拓扑空间，是一个映射，若中任何一个闭集的象集是中的一个闭集，则称映射是一个;22、若拓扑空间存在两个非空的闭子集,使得,则是一个 ；23、若拓扑空间存在两个非空的开子集,使得,则是一个 ；24、若拓扑空间存在着一个既开又闭的非空真子集，则是一个 ；25、设是拓扑空间的一个连通子集，满足，则也是的一个 ; 26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ；27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ；28、若任意个拓扑空间,都具有性质,则积空间也具有性质，则性质称为 ; 29、设是一个拓扑空间，如果中有两个非空的隔离子集,使得,则称是一个 ；30、若满足第一可数性公理，则积空间满足 ;31、若满足第二可数性公理，则积空间也满足 ;32、如果一个拓扑空间具有性质,那么它的任何一个子空间也具有性质,则称性质为 ;33、设是拓扑空间的一个子集，且,则称是的一个 ；34、若拓扑空间有一个可数稠密子集，则称是一个 ；35、设是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称是一个 ；36、如果一个拓扑空间具有性质,那么它的任何一个开子空间也具有性质,则称性质为 ;37、如果一个拓扑空间具有性质,那么它的任何一个闭子空间也具有性质,则称性质为 ;38、设是一个拓扑空间，如果 则称是一个空间;39、设是一个拓扑空间，如果 则称是一个空间;40、设是一个拓扑空间，如果 则称是一个空间; 41、正则的空间称为 ；42、正规的空间称为 ；43、完全正则的空间称为 ；44、设是一个拓扑空间.如果的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间是一个 . 45、设是一个拓扑空间，是的一个子集.如果作为的子空间是一个紧致空间，则称是拓扑空间的一个 .46、设是一个拓扑空间. 如果的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间是一个 .47、设是一个拓扑空间. 如果的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间是一个 .48、设是一个拓扑空间. 如果中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间是一个 . 三判断（每题3分，判断1分，理由2分）1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 2、设是集合的两个拓扑，则不一定是集合的拓扑( )3、从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续映射（ ）4、设为离散拓扑空间的任意子集，则 （ ）5、设为平庸空间（多于一点）的一个单点集，则 （ ）6、设为平庸空间的任何一个多于两点的子集，则 （ ）7、设是一个不连通空间，则中存在两个非空的闭子集,使得（ ）8、若拓扑空间中存在一个既开又闭的非空真子集，则是一个不连通空间( )9、设拓扑空间满足第二可数性公理，则满足第一可数性公理（ ）10、若拓扑空间满足第二可数性公理，则的子空间也满足第二可数性公理（ ）11、若拓扑空间满足第一可数性公理，则的子空间也满足第一可数性公理（ ）12、设，则是空间.( )13、设，则是空间.( )14、设，则是空间.( )15、设，则是空间.( )16、空间一定是空间.（ ）17、空间一定是空间.（ ）18、设是拓扑空间的两个紧致子集，则是一个紧致子集.( )19、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )四名词解释(每题2分)1同胚映射 2、集合的内点3、集合的内部 4拓扑空间的基5闭包 6、序列7、导集 8、不连通空间 9、连通子集10、不连通子集11、空间12、空间13、可分空间14、空间：15、空间：16、空间：17、正则空间：18、正规空间：19、完全正则空间：20、紧致空间21、紧致子集22、可数紧致空间23、列紧空间24、序列紧致空间五简答题（每题4分）1、设是一个拓扑空间，是的子集，且.试说明.2、设都是拓扑空间., 都是连续映射，试说明也是连续映射.3、设是一个拓扑空间，.试说明：若是一个闭集，则的补集是一个开集.4、设是一个拓扑空间，.试说明：若的补集是一个开集，则是一个闭集.5、在实数空间R中给定如下等价关系：或者或者设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑T.6、在实数空间R中给定如下等价关系:或者或者设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑T .7、在实数空间R中给定如下等价关系：或者或者设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑T.8、在实数空间R中给定如下等价关系：或者或者设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑T.9、在实数空间R中给定如下等价关系:或者或者设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑T .10、在实数空间R中给定如下等价关系:或者或者设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑T .11、在实数空间R中给定如下等价关系:或者或者设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑T .12、离散空间是否为空间?说出你的理由.13、试说明实数空间是可分空间.14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理.15、设是一个空间，试说明的每一个单点集是闭集.16、设是一个拓扑空间，若的每一个单点集都是闭集，试说明是一个空间.17、设是一个空间，是任何一个不属于的元素.令和，试说明拓扑空间是一个空间. 18、若是一个正则空间，试说明：对及的每一个开邻域，都存在的一个开邻域,使得.19、若是一个正规空间，试说明：对的任何一个闭集及的每一个开邻域，都存在的一个开邻域,使得.20、试说明空间的任何一个子集的导集都是闭集.21、试说明紧致空间的无穷子集必有凝聚点.22、如果是紧致空间，则是紧致空间.23、如果是紧致空间，则是紧致空间.24、试说明紧致空间的每一个闭子集都是紧致子集.六、证明题（每题8分）1、设是从连通空间到拓扑空间的一个连续映射.则是的一个连通子集.2、设是拓扑空间的一个连通子集, 证明: 如果和是的两个无交的开集使得,则或者,或者. 3、设是拓扑空间的一个连通子集, 证明: 如果和是的两个无交的闭集使得,则或者,或者. 4、设是拓扑空间的一个连通子集，满足，则也是的一个连通子集.5、设是拓扑空间的连通子集构成的一个子集族.如果,则是的一个连通子集.6、设是拓扑空间的一个连通子集，是的一个既开又闭的集合.证明：如果,则.7、设A是连通空间X的非空真子集. 证明:A的边界.8、设X是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X不满足第一可数性公理. 9、设X是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X不满足第一可数性公理. 10、设是两个拓扑空间，是一个满的连续开映射.满足第二可数性公理，证明：也满足第二可数性公理.11、设是两个拓扑空间，是一个满的连续开映射.满足第一可数性公理，证明：也满足第一可数性公理.12、是满足第二可数性公理空间X的一个不可数集。求证：A至少有一个凝聚点.13、证明满足第二可数性公理的空间中每一个由两两无交的开集构成的集族都是可数族.14、设是一个空间,证明：的每一个邻域中都含有中的无限多个点.15、设是一个空间,证明：对的每一个邻域有是无限集.16、设是空间的一个收敛序列,证明：的极限点唯一.17