数学物理方程——8 积分变换法

数学物理方法数学物理方法第五章积分变换法第五章积分变换法 下午9时10分 1 傅里叶积分定理 设傅里叶积分定理 设f 在内满足下面两个条件 1 积分存在 2 在内满足下面两个条件 1 积分存在 2 f x 在内满足狄里克莱条件 在任意有限 区间至多有有限个第一类间断点 而且只有有限个极值点 则 足上面的傅里叶积分公式 在内满足狄里克莱条件 在任意有限 区间至多有有限个第一类间断点 而且只有有限个极值点 则 足上面的傅里叶积分公式 dxxf 2 1 dedefxf xii 1 Fourier变换 1 1 Fourier变换的定义变换的定义 数学物理方法数学物理方法第五章积分变换法第五章积分变换法 下午9时10分 2 定义 如果如果 f x 满足傅里叶积分定理的条件 则定义满足傅里叶积分定理的条件 则定义f x 的傅里叶变换为的傅里叶变换为 dxexfF xi xfF 定义 F 的傅里叶逆变换为的傅里叶逆变换为 deFxf xi 2 1 1 FF Fourier积分定理可以写为积分定理可以写为 1 FF f xf x 反演公式 反演公式 数学物理方法数学物理方法第五章积分变换法第五章积分变换法 下午9时10分 3 1 Fourier变换及其逆变换是线性变换变换及其逆变换是线性变换 FfgF fF g 11 FFfgFF fF g 2 微分性微分性 F fxiF lim 0 x f x 若若 n n F fxiF 一般一般lim 0 x k fxnk 0 1 1 若若 则则 1 2 Fourier变换的性质变换的性质 数学物理方法数学物理方法第五章积分变换法第五章积分变换法 下午9时10分 4 4 位移性质位移性质 0 0 ix F f xxeF f x 0 1 0 ix FFef x 3 积分性积分性 x 0 x f t dt 若当若当时 则则 1 x Ff t dtF f x i 数学物理方法数学物理方法第五章积分变换法第五章积分变换法 下午9时10分 5 5 卷积性质5 卷积性质 如果对于f x 与g x 使得 f xt g t dt 存在 则定义f x 与g x 的卷积卷积为 fggf fghfgh fghfgfh fg xf xt g t dt 数学物理方法数学物理方法第五章积分变换法第五章积分变换法 下午9时10分 6 卷积定理卷积定理 Ff xg xFG 111 FFGFFFG 或或 xfFF xgFG 设设 则 则 数学物理方法数学物理方法第五章积分变换法第五章积分变换法 下午9时10分 7 d ix F f xg xf xg x ex d d ix f xt g tt ex d d ix g ttf xt ex d d it g ttfe d d i ti g t etfe FG 证明 数学物理方法数学物理方法第五章积分变换法第五章积分变换法 下午9时10分 8 6 乘积定理乘积定理 1 2 Ff xg xFG d ix F f xg xf x g x ex 1 d d 2 ixitx g x exF t et 1 d d 2 it x F ttg x ex 1 d 2 F t Gtt 1 2 FG 证明 数学物理方法数学物理方法第五章积分变换法第五章积分变换法 下午9时10分 9 d 0 d 0 0 d d 22 2 2 t U U ttUa t tU 例1 解定解问题 解 利用傅立叶变换的性质 taBtaAtU sincos 0 UA cossinUta ta t a B a i f x Fe xF f d i 0 数学物理方法数学物理方法第五章积分变换法第五章积分变换法 下午9时10分 10 cossinUta ta t a ia tia tia tia t eeee ai 22 ia tia tia tia t eeee aii 11 22 d d 2 1 2 1 00 atxatx a atxatxtxu d 2 1 2 1 atx atx a atxatx i f x Fe xF f d i 0 数学物理方法数学物理方法第五章积分变换法第五章积分变换法 下午9时10分 11 对于函数对于函数 0 0 f tt 0 c使得 即存在常数 使得 即存在常数 f t 拉普拉斯变换存在定理 若函数 满足下列条件 拉普拉斯变换存在定理 若函数 满足下列条件 0 t的任意有限区间上分段连续 在的任意有限区间上分段连续 在 t f t 时 的增长速度不超过某一指数函数 时 的增长速度不超过某一指数函数 当 0 L st F sf t edtf t 成立 则成立 则 f t 的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换 Re sc 在半平面上一定存在 其中的积分绝对且一致收敛 在半平面上一定存在 其中的积分绝对且一致收敛 及及 F s为解析函数 数学物理方法数学物理方法第五章积分变换法第五章积分变换法 下午9时10分 13 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换 ip 1 2 i i pt i f tF p e dp 又称又称 f t 为原函数原函数 F p为像函数为像函数 数学物理方法数学物理方法第五章积分变换法第五章积分变换法 下午9时10分 14 1 求 1 L 11 1 1 0 0 p e p dte ptpt L 2 求 tL 111 1 1 00 2 0 0 0 p dte p dte p et p edt p dtett ptptptptpt L 3 求 st eL 11 0 00 sp e sp dtedteee tsptspptstst L sPReRe 例2 数学物理方法数学物理方法第五章积分变换法第五章积分变换法 下午9时10分 15 1 线性性质线性性质 若若 11 f tF p L 22 f tFp L和和 1 1221122 c f tc f tcfpcfp LLL 例 求 例 求 sin t L 11 2 1 2 1 2 sin 22 pipipi ee ii ee t titi titi LLLL Re0p cos 22 p p tL同理同理 2 1 Laplace变换的性质变换的性质 数学物理方法数学物理方法第五章积分变换法第五章积分变换法 下午9时10分 16 2 微分性质 0 ftpf tf LL 证明 0 0 0 00 ftfp dttfeptfetdfedtetftf ptptptpt L L 一般地 0 0 0 0 1 2 21 nn nnnn fpf fpfptfptf LL 数学物理方法数学物理方法第五章积分变换法第五章积分变换法 下午9时10分 17 3 积分性质积分性质 0 1 t fdf t p LL 0 t tfd证证 设设 tf t 故故 0 tpt LL由于由于 1 0 tt p LL 0 0 0 0fd 0 1 t fdf t p LL故 数学物理方法数学物理方法第五章积分变换法第五章积分变换法 下午9时10分 18 6 相似性质相似性质 1 0 p f atFa aa L为常数 4 位移性质位移性质 Re at e f tF papacL 5 延迟性延迟性 p f teF pL 或或 1 p eF pf tL 数学物理方法数学物理方法第五章积分变换法第五章积分变换法 下午9时10分 19 7 卷积定理卷积定理 定义定义 f x 和和 g x 的卷积为的卷积为 f tg tF p G p L 则则 0 t 0 t f tg tfg td 数学物理方法数学物理方法第五章积分变换法第五章积分变换法 下午9时10分 20 000 t ptpt f tg tef tg t dtefg tddt L 积分在进行 yxyx yx u 满足边界条件 2 0 xxu yyucos 1 的解 2 1 22 xgyx x u 6 1 21 23 yfxfyxu 2 21 0 0 xfxfxu yyffyyucos 1 6 1 1 21 2 0 2 2 1 fxxf 1 6 1 cos 1 2 2 fyyyf 3222 12 11 cos 1 0 66 ux yxyyff 12 1 0 1 0 1uff 3222 11 cos1 66 ux yxyy 解法一 数学物理方法数学物理方法第五章积分变换法第五章积分变换法 下午9时10分 22 0 1 2 2 yxyx yx u 2 0 xxu yyucos 1 2 2 2 d d p x xpxpU x p x p x pxU x 2 d d 3 2 C p x p x pxU 2 3 3 3 1 1 2 p p pU ppp p p x p x pxU 1 3 1 13 32 2 3 3 1 6 1 cos 6 1 2223 yyxyxyxu 解法二 对y求拉氏变换 23 11 13 p C ppp 数学物理方法数学物理方法第五章积分变换法第五章积分变换法 下午9时