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文档简介
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(仿真卷)注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1若z(2i)|34i|,则 A2i B2i C2i D2i2已知集合Aa,b,B3,log2a,若AB0,则AB为 A0,3 B0,1,3 C0,2,3 D0,1,2,33宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题:松长五 尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等?右图是求解这 个问题的一个程序框图,若输入的a、b分别为5、2,则输出的n A2 B3 C4 D5 4若双曲线1(a0)的渐近线方程为3x2y0,则a A1 B2 C3 D45若几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 A2 B2 C D6函数f(x)的图象在x1处的切线方程为 Axey10 Bxey10 Cexy10 Dexy107函数f(x)的图象大致是 8下列四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,其中 能得出AB平面MNP的图形的序号是 A B C D9已知sin(x),则sin2x A B C D10已知alog0.40.2、blog0.40.5、clog0.50.2,则 Aabc Bacb Ccba Dcab11已知M(a,2)是抛物线y22x上的一点,直线MP、MQ分别与抛物线交于P、Q两点,且直 线MP、MQ的倾斜角之和为,则直线PQ的斜率为 A B C D12ABC角A、B、C的对边分别为a、b、c,若,则的最大值为A B C2 D2文科数学试题 第1页(共4页) 文科数学试题 第2页(共4页) 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13将一条长为6的线段分成长度为正整数的三条线段,则这三条线段能构成三角形的概率为 14已知向量a(1,1),ab3,|ab|,则|b| 15某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元则投资人合理安排对甲、乙两个项目的投资,可能产生的盈利的最大值为 万元16求方程“()x()x1”的解,有如下解题思路:设函数f(x)()x()x,f(x)在R上单调递减,且f(2)1,所以()x()x1有唯一解x2类比上述解题思路,方程“x6x2(x2)3x 2”的解集为 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17(12分)某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费,超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费,超过400度的部分按1.0元/度收费 (1)求某户居民用电费用y(单位:元)关于月用电量x(单位:度)的函数解析式; (2)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图已知这100户居民中,今年1月份用电费用不超过260元的占80% (i)求a、b的值;(ii)试估计1月份该市居民用户平均用电费用18(12分)已知数列an的前n项和为Sn,且1,an,Sn成等差数列(1)求an和Sn;(2)证明:219(12分)如图,在三棱锥PABC中,PAB是等边三角形,PACPBC90 (1)证明:ABPC;(2)若PC4,且平面PAC平面PBC,求三棱锥PABC的体积20(12分)已知椭圆E:1的左、右焦点分别为F1、F2,P为椭圆上的动点,PF1F2面积的最大值为b2 (1)求椭圆E的离心率;(2)如图,线段AB是圆M:(x2)2(y1)2的一条直径,若椭圆E经过A、B两点,求椭圆E的方程 21(12分)设函数f(x)x(lnx) (1)若方程f(x)m有两个解,求实数m的取值范围; (2)若不等式kf(x)lnx恒成立,求实数k的取值范围(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多作,则按所作的第一题计分。22选修44:坐标系与参数方程(10分) 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数)以O为极点,x轴正半轴为极轴取相同的单位长度建立极坐标系,直线l过点P(,)且lOP (1)求曲线C的普通方程和直线l的参数方程;(2)若直线l与曲线C交于A、B两点,求|AB|23选修45:不等式选讲(10分) 已知a、b、c均为正数,且abbcca6 (1)求的最小值;(2)求abc(abc)的最大值文科数学试题 第3页(共4页) 文科数学试题 第4页(共4页) 参考答案与评分标准一、选择题123456789101112ABCBABCDDDCA二、填空题13 14 157 162,1三、解答题17解:(1)当0x200时,y0.5x;当200x400时,y0.52000.8(x200)0.8x60,当x400时,y0.52000.82001.0(x400)x140,y关于x的函数解析式为:y4分(2)(i)由(1)可知:当y260时,x400,则P(x400)0.80,结合频率分布直方图可知:0.12100b0.30.8,100a0.050.2,a0.0015,b0.00208分(ii)由题意可知x可取50、150、250、350、450、550,当x50时,y0.55025,P(y25)0.1,当x150时,y0.515075,P(y75)0.2,当x250时,y0.52000.850140,P(y140)0.3,当x350时,y0.52000.8150220,P(y220)0.2,当x450时,y0.52000.82001.050310,P(y310)0.15,当x550时,y0.52000.82001.0150410,P(y410)0.05故=250.1750.21400.32200.23100.154100.05170.5估计1月份该市居民用户平均用电费用为170.5元12分18(1)解:由1,an,Sn成等差数列得2an1Sn ,又可得2an11Sn1 ,得an12an,当n1时,2a11S11a1,a11,数列an是首项为1,公比为2的等比数列,an2n1,Sn2an12n16分(2)证明:nN*,2n11,2n2n11,Sn2n12n1,则1221n2,得证12分19(1)证明:PAB是等边三角形,PBPA,又PACPBC90,PCPC,RtPACRtPBC,ACBC,如图,取AB中点D,连接PD、CD,则PDAB,CDAB,又PDCDD,AB平面PCD,ABPC,得证6分(2)解:作AEPC,垂足为E,连接BERtPACRtPBC,BEPC且AEB, 由已知,平面PAC平面PBC,AEB90,AEBPEAPEB90,AEBE,ABPAPB,RtAEBRtPEARtPEB,AEB、PEA、PEB都是等腰直角三角形,PAC、PBC也是等腰直角三角形,由PC4,可得AEBE2,AEB的面积为2,又PC平面ABE,三棱锥PABC的体积V2412分20解:(1)当P为椭圆的上顶点或下顶点时,PF1F2的面积取最大值,为2cbb2,cb,又a2b,e4分(2)由(1)知,椭圆E的方程为x24y24b2 ,由题意可知,圆心M(2,1)是线段AB的中点且|AB|显然,直线AB的斜率存在,设为k,则直线AB的方程为yk(x2)1,代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20,设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1x2,x1x2由x1x24,可得4,解得k,则x1x282b2则|AB|x1x2|,解得b23,则椭圆E的方程为112分21解:(1)f(x)lnx,令lnx0,得xe1.5,在(0,e1.5)上,f(x)0,f(x)单调递减;在(e1.5,)上,f(x)0,f(x)单调递增f(e1.5)e1.5为f(x)最小值当x0时,f(x)0且f(x)0;x时,f(x)若方程f(x)m有两个解,则m(e1.5,0)6分(2)设lnxt,则xet,kf(x)lnx恒成立等价于k(t)ett恒成立,设函数g(t)(1)et,则g(t)(1)et,(,1)t1(1,0)(0,)t(,)g(t)00g(t)极大值极小值当t0时,k(t)ett成立;当t0时,g(t)恒成立,g(t)在(0,)上的最小值为g()2,2,k;当t0时,g(t)恒成立,g(t)在(,0)上的最大值为g(1),0k2e综上,k(,2e)12分22解:(1)()2()24,曲线C的普通方程为:x2y24;设直线l与极轴的交点为Q,则点Q的极坐标为(3,0),直角坐标为(3,0),直线l过点Q(3,0)且倾斜角为,则l的参数方程为:(t为参数)6分(2)将(t为参数)代入x2y24,得t23t50 ,设方程的两根为t1、t2,则t1t26,t1t210,|AB|t1t2|210分23解:(1)由a
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