电路基础课件-第6章非正弦周期信号电路.ppt

第6章非正弦周期信号电路 6 1非正弦周期信号及分解6 2非正弦周期信号的频谱6 3非正弦周期信号的有效值 平均值和平均功率6 4非正弦周期电路的计算小结 6 1非正弦周期信号及分解 6 1 1非正弦周期信号几种常见的非正弦波 图6 1几种常见的非正弦波 a 尖脉冲电流 b 矩形波电压 c 锯齿波电压 6 1 2非正弦周期信号的分解在介绍非正弦周期信号的分解之前 我们先讨论几个不同频率的正弦波的合成 设有一个正弦电压u1 U1msin t 其波形如图6 2 a 所示 显然这一波形与同频率矩形波相差甚远 如果在这个波形上面加上第二个正弦电压波形 其频率是u1的3倍 而振幅为u1的1 3 则表示式为 其波形如图6 2 b 所示 如果再加上第三个正弦电压波形 其频率为u1的5倍 振幅为u1的1 5 其表示式为 其波形如图6 2 c 所示 照这样继续下去 如果叠加的正弦项是无穷多个 那么它们的合成波形就会与图6 2 d 的矩形波一样 图6 2矩形波的合成 由此可以看出 几个不同频率的正弦波可以合成一个非正弦的周期波 反之 一个非正弦的周期波可以分解成许多不同频率的正弦波之和 由数学知识可知 如果一个函数是周期性的 且满足狄里赫利条件 那么它可以展开成一个收敛级数 即付里叶级数 电工技术中所遇到的周期函数一般都能满足这个条件 设给定的周期函数f t 的周期为T 角频率 2 T 则f t 的付里叶级数展开式为 6 1 利用三角函数公式 还可以把式 6 1 写成另一种形式 6 2 式中 a0 ak bk称为付里叶系数 可由下列积分求得 6 3 式 6 1 和式 6 2 各系数之间存在如下关系 6 4 例6 1已知矩形周期电压的波形如图6 3所示 求u t 的付里叶级数 解图示矩形周期电压在一个周期内的表示式为 6 5 图6 3例6 1图 由式 6 3 可知 当k为奇数时 当k为偶数时 由此可得 例6 2求图6 4所示周期信号的付里叶级数展开式 解i t 在一个周期内的表示式为 图6 4例6 2图 利用分步积分法及 得 利用函数的对称性质 可使系数a0 ak bk的确定得到简化 1 如果周期函数的波形对称于横轴 即在一个周期内 横轴上方的正面积与横轴下方的负面积互相抵消 就不存在直流分量 如图6 3所示 2 如果周期函数的波形对称于坐标原点 即f t f t 为奇函数 如图6 4所示 其付里叶级数展开式将不含直流分量和余弦项 只含正弦项 3 如果周期函数的波形对称于纵轴 即f t f t 为偶函数 如图6 5所示 将它分解成付里叶级数时 将不含正弦项 只含有直流分量和余弦项 4 如果函数的波形是镜像对称 即f t f t T 2 也就是在任一周期内把第二个半波的波形向前移动 i t 的付里叶级数展开式为 图6 5偶函数波形 图6 6镜像对称波形成 作业 P181页 3 P194页6 1 6 2非正弦周期信号的频谱 1 振幅频谱图的作法 图6 9振幅频谱图 画出一个直角坐标 以谐波角频率k 为横坐标 在各谐波角频率所对应的点上 作出一条条垂直的线叫做谱线 如果每条谱线的高度代表该频率谐波的振幅 这样画出的图形称为振幅频谱图 如图6 9所示 将各谱线的顶点连接起来的曲线 一般用虚线表示 称为振幅包络线 例6 3图6 10 a 为电视机和示波器扫描电路中常用的锯齿波 试画出其振幅频谱图 解查表6 1 可得锯齿波电压的付里叶级数展开式为 图6 10例6 3图 根据上式可以画出其频谱图如图6 10 b 所示 例6 4图6 11给出了矩形脉冲电压的波形 它是无线电技术中一种很重要的信号 其中脉冲幅度为Um 脉冲的持续时间为 脉冲的周期为 试画出其频谱图 图6 11例6 4图 解该信号在一个周期的数学表达式为 由于此信号对称于纵轴 因此 bk 付里叶级数不含正弦分量 只含直流分量和余弦分量 若令T 3 则其频谱图如图6 11 b 所示 2 周期信号的频谱特性 1 频谱是由一系列不连续的谱线组成 2 相临两条谱线之间的间隔是基波频率 谱线的这种 矩形脉冲的付里叶级数展开式为 性质称为谱波性 3 各谱线的高度 总的趋势是逐渐减小的 4 如果脉冲的周期T不变 脉冲的持续时间 减小 也就是脉冲变窄 此时 振幅频谱的收敛速度将变慢 如图6 12 b 所示 此图的 2 T 6 与图6 12 a 比较 T 3 收敛速度明显变慢了 5 如果脉冲的持续时间 不变 周期T增大时 谱线将变密 如图6 12 c 所示 此图的T 6 作业 P195页6 2 6 3非正弦周期信号的有效值 平均值和平均功率 6 3 1有效值 6 6 下面我们讨论非正弦周期信号的有效值与各次谐波有效值的关系 若将电流i分解成付里叶级数 将上式积分号内直流分量与各次谐波之和的平方展开 结果有以下四种类型 将该表达式代入式 6 6 得 因此 电流i的有效值可按下式计算 同理 非正弦周期电压的有效值为 6 7 6 8 所以 非正弦周期电流和电压的有效值等于各次谐波有效值平方和的平方根 各次谐波有效值与最大值之间的关系为 例6 5已知周期电流的付里叶级数展开式为i 100 63 7sin t 31 8sin2 t 21 2sin3 tA求其有效值 解 所以 电流i的有效值为112 9A 6 3 2平均值 实践中还会用到平均值的概念 以电流为例 其定义为 6 9 即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值 式 6 9 也称为整流平均值 它相当于正弦电流经全波整流后的平均值 例如 当i Imsin t时 其平均值为 比较式 6 3 6 6 6 9 可以看出 非正弦交流电路中的直流分量 有效值和平均值是三个不同的概念 应加以区分 6 3 3平均功率设有一个二端网络 在非正弦周期电压u的作用下产生非正弦周期电流i 若选择电压和电流的方向一致 如图6 14所示 此二端网络吸收的瞬时功率和平均功率为 同理 电压平均值的表示式为 6 10 图6 14平均功率用图 将电压和电流展开成付里叶级数 有 二端网络吸收的平均功率为 将上式积分号内两个积数的乘积展开 分别计算各乘积项在一个周期内的平均值 有以下五种类型项 因此 二端网络吸收的平均功率可按下式计算 6 11 其中 是k次谐波的平均功率 必须注意 只有同频率的谐波电压和电流才能构成平均功率 不同频率的谐波电压和电流不能构成平均功率 也不等于端口电压的有效值与端口电流有效值的乘积 例6 6流过10 电阻的电流为i 10 28 28cost 14 14cos2tA求其平均功率 解 例6 7某二端网络的电压和电流分别为u 100sin t 30 50sin 3 t 60 25sin5 tV i 10sin t 30 5sin 3 t 30 2sin 5 t 30 A求二端网络吸收的功率 解基波功率 三次谐波功率 五次谐波功率 作业 P195页6 46 6 因此 总的平均功率为 6 4非正弦周期电路的计算 把付里叶级数 直流电路 交流电路的分析和计算方法以及叠加原理应用于非正弦的周期电路中 就可以对其电路进行分析和计算 其具体步骤如下 1 把给定的非正弦输入信号分解成直流分量和各次谐波分量 并根据精度的具体要求取前几项 2 分别计算各谐波分量单独作用于电路时的电压和电流 但要注意电容和电感对各次谐波表现出来的感抗和容抗的不同 对于k次谐波有 3 应用线性电路的叠加原理 将各次谐波作用下的电压或电流的瞬时值进行叠加 应注意的是 由于各次谐波的频率不同 不能用相量形式进行叠加 例6 8如图6 15 a 所示的矩形脉冲作用于图6 15 b 所示的RLC串联电路 其中矩形脉冲的幅度为100V 周期为1ms 电阻R 10 电感L 10mH 电容C 5F 求电路中的电流i及平均功率 解查表6 1可得矩形脉冲电压的付里叶级数表达式为 其中基波频率 若取前三项就有图6 15 c 所求的等效电路 图6 15例6 8图 1 求直流分量 当U0 50V的直流电压作用于电路时 电感相当于短路 电容相当于开路 故I0 0 2 求基波分量 3 求三次谐波分量 4 将各次谐波分量的瞬时值叠加得 电路中的平均功率为 例6 9如图6 16所示的电路 R 3 L 0 4H C 1000 F u 45 180sin10t 60sin30tV 求电流i及其有效值 解 1 求直流分量 2 求基波分量 3 求三次谐波分量 4 叠加后可得电流i为 5 电流i的有效值为 例6 10为了减小整流器输出电压的纹波 使其更接近直流 常在整流的输出端与负载电阻R间接有LC滤波器 其电路如图6 17 a 所示 若已知R 1k L 5H C 30 F 输入电压u的波形如图6 17 b 所示 其中振幅Um 157V 基波角频率 314rad s 求输出电压uR 图6 17例6 10图 解查表6 1 可得电压u的付里叶级数为 取到四次谐波 并代入Um 157V得 1 求直流分量 对于直流分量 电感相当于短路 电容相当于开路 故U0R 100V 2 求二次谐波分量 3 求四次谐波分量 4 输出电压为 比较本例题的输入电压和输出电压 可看到 二次谐波分量由原本占直流分量的66 7 减小到1 15 四次谐波分量由原本占直流分量的13 3 减小到0 056 因此 输入电压u经过LC滤波后 高次谐波分量受到抑制 负载两端得到较平稳的输出电压 作业 P195页6 86 96 106 11 小结 1 非正弦的周期信号 在满足狄里赫利条件的情况下可以分解成付里叶级数 付里叶级数一般包含有直流分量 基波分量和高次谐波分量 它有两种表示式 两种形式的系数之间的对应关系为 一般都是先求ak bk后 再利用上式求出Ak和 k 2 非正弦周期信号还可以用频谱图来表示 所谓频谱图 就是用谱线表示各次谐波的振幅和相位 然后把这些线段由高到低依次排列起来 非正弦周期信号的频谱有以下特点 频谱的离散性 频谱的谱波性 频谱的收敛性 脉宽与频宽成反比 3 非正弦周期信号有效值的定义与正弦信号有效值的定义相同 即 与各次谐波分量有效值的关系为 非正弦交流电路的平均值指一个周期内函数绝对值的平均值 其定义为 非正弦交流电路的平均功率的定义也与正弦交