高三导数切线专题突破.doc

习题课 导数求切线方程习题课 导数求切线方程 知识回顾知识回顾 导数的几何意义 0 x f 练习 1 求曲线在点处的切线方程 34 f xx 8 16P 2 曲线 y lnx 在 x 1 处的切线的方程 3 曲线 y 在 x 1 处的切线的方程 x 2 1 4 求曲线 y cosx 在点 P 处的切线的斜率 3 2 1 典型例题典型例题 例 1 求在曲线 上切线倾斜角为的点的坐标 f x 3 x 4 已知曲线 求与直线垂直的切线方程 f xx 42 xy 例 2 若直线 y x b 是函数 图象的切线 求 b 的值及切点的坐标 1 y x 练习 直线 y x 3 能作为函数 y f x 图象的切线吗 若能 求出切点的坐标 若不能 1 2 简述理由 1 f x 2 f x lnx x 1 例 3 过原点做曲线的切线 求切线斜率和切线方程 x ey 练习 若直线 y kx 是函数 y lnx 图象的切线 求 k 的值及切点的坐标 若直线 y kx 3 与 y 2lnx 曲线相切 则实数 k 小结与思考小结与思考 1 利用导数解决切线问题的关键是什么 2 如何求曲线过 1 1 的切线方程 3 yx 函数 y x2 x 0 的图像在点 ak ak2 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak 1 k 为正整数 a1 16 则 a1 a3 a5 解析 考查函数的切线方程 数列的通项 在点 ak ak2 处的切线方程为 当时 解得 2 2 kkk yaaxa 0y 2 k a x 所以 1135 164 121 2 k k a aaaa 巩固练习巩固练习 1 已知过函数 f x x3 ax2 1 的图像上一点 B 1 b 的切线的斜率为 3 求 a b 的值 2 已知直线与曲线在处的切线互相垂直 则 02 byax 3 xy 1 1 P b a 3 已知点和点在曲线C 为常数 上 若曲线在点 1 1 A 1 3 B 32 yaxbxd a b d 和点处的切线互相平行 则 AB 32 abd 4 已知函数 0 1 2 1 3 1 23 axx a axxf 则 xf在点 1 1 f处的切线的斜率 最大时的切线方程是 5 求曲线的切线中斜率最小的切线的方程 32 32yxxx 6 点 P 是曲线上任意一点 求点 P 到直线 y 2x 3 的距离的最小值 2 yx 尝试用多种方法解决 在平面直角坐标系中 直线是曲线的切线 xOyyxb lnyax 则当 0 时 实数的最小值是 1ab 7 求曲线过点的切线方程 3 3xxy 2 2 A 8 设函数在处取得极值 32 1 3 f xxaxbxc 0 a 0 x 1 1 设点 求证 过点 A 的切线有且只有一条 并求出该切线方程 Aa fa 2 若过点可作曲线的三条切线 求的取值范围 0 0 yf x a 3 设曲线在点 处的切线都过点 yf x 11 xf x 22 xf x 12 xx 0 0 证明 12 fxfx 解 1 由题意可得 解得 2 2fxxaxb 0 0f 0 1f 0 1bc 经检验 在处取得极大值 f x0 x 32 1 1 3 f xxax 设切点为 则切线方程为 00 xy 0 00 yyfxxx 即为 232 0000 2 2 1 3 yxax xxax 把代入可得 即为 a fa 3223 000 330 xaxa xa 3 0 0 xa 即点 A 为切点 且切点是唯一的 故切线有且只有一条 0 xa 切线方程为 23 1 10 3 a xya 2 因为切线方程为 把代入可得 232 0000 2 2 1 3 yxax xxax 0 0 32 00 2 10 3 xax 因为有三条切线 故方程有三个不同的实根 32 00 2 10 3 xax 设 32 2 1 3 g xxax 0 a 令 0 可得和 22g xxax 22g xxax 0 x xa x 0 0 0 a a a g x 0 一 0 g x增极大值减极小值增 因为方程有三个根 故极小值小于零 所以 3 1 10 3 a 3 3a 3 假设 则 所以 12 fxfx 22 1122 22xaxxax 12 2xxa 由题意可得 两式相减可得 32 22 32 11 2 10 3 2 10 3 xax xax 3322 2121 2 0 3 xxa xx 因为 故 12 xx 22 222112 2 0 3 xx xxa xx 把代入可得 所以 12 2xxa 222 2221 3xx xxa 22 1222 3xxx xa 所以 2 22 x xa 又由 矛盾 所以假设不成立 即证 2 2 12 22 2 xx x xa 12 fxfx 9 已知 是函数图象上的两个不同点 11 A x y 22 B xy 12 xx 3 f xxx 且在 两点处的切线互相平行 则的取值范围为 AB 1 2 x x 9 1 0 10 已知函数的两条切线PM PN 切点 0 1 0 xfyPt x t xxf 作曲线过点 分别为M N I 当时 求函数的单调递增区间 2 t xf II 设 MN 试求函数的表达式 tg tg III 在 II 的条件下 若对任意的正整数 在区间内 总存在m 1n 64 2 n n 个数使得不等式成立 求m的 121 mm aaaa 121 mm agagagag 最大值 10 2 2 0 2020 2 ttttgtg的表达式为 m的最大值为 6 解析 I 当 1 2 2 x xxft 时0 22 1 2 2 2 x x x xf 分 则函数有单调递增区间2 2 xx或解得 xf 为 2 分 2 2 II 设M N两点的横坐标分别为 1 x 2 x 1 0 2 1 1 0 0 1 1 1 1 2 1 1 2 11 1 1 2 11 1 2 ttxx x x t x t xPPM xx x t x t xyPM x t xf 即 有过点切线又 的方程为切线 同理 由切线PN也过点 1 0 得 2 0 2 2 2 2 ttxx 由 1 2 可得的两根 02 2 21 ttxxxx是方程 6 分 2 21 21 txx txx 1 1 2 21 2 21 2 2 2 1 1 2 21 xx t xx x t x x t xxxMN 1 1 4 2 21 21 2 21 xx t xxxx 把 式代入 得 2020 2 ttMN 因此 函数 8 分 0 2020 2 ttttgtg的表达式为 III 易知上为增函数 64 2 n ntg 在区间 12 121 2 1 2 1 2 i m mm gg aim m gg ag ag a g ag ag ag an 则 对一切正整数成立 4 分 10 分恒成立对一切的正整数不等式n n nggm 64 2 64 20 64 20220220 22 n n n nm 3 136 3 136 1616 6 1 64 64 6 1 16 64 64 64 6 1 22 2 m n n n n n n n n n n nm 恒成立对一切的正整数即 由于m为正整数 13 分6 m 又当 16 2 6 121 满足条件对所有的存在时naaaam mm 因此 m的最大值为 6 11 图为函数的图象 其在点 M t f t 处的切线为 l 切线 l 与 Y 轴 01 f xxx 和直线 y 1 分别交于点 P Q 点 N 0 1 若 PQN 的面积为 b 时的点 M 恰好有两个 则 b 的取值范围为 18 4 27 切线方程与函数方程做差 穿过 设 曲线切线方程与函数方程做差 穿过 设 曲线 f 直线直线 g F xf xg x 则在则在 x0 两侧异号 且两侧异号 且 F x0 0 必可以分解为必可以分解为 0 xxh x A 12 本小题满分 14 分 设 a 是实数 函数 f x ax2 a 1 x 2lnx 1 当 a 1 时 求函数 f x 的单调区间 2 当 a 2 时 过原点 O 作曲线 y f x 的切线 求切点的横坐标 3 设定义在 D 上的函数 y g x 在点 P x0 y0 处的切线方程为 l y h x 当 x x0 时 若 0 在 D 内恒成立 则称点 P 为函数 y g x 的 巧点 当 a 时 g x h x x x0 1 4 试问函数 y f x 是否存在 巧点 若存在 请求出 巧点 的横坐标 若不存在 说 明理由 12 解析 1 当 a 1 时 f x x 0 2 x2 x 1 x 1 分 由 f x 0 得 x 由 f x 0 得 0 x 2 分 所以 f x 的单调增区间为 单调减区间为 0 3 分 2 当 a 2 时 设切点为 M m n f x 4x 3 x 0 2 x 所以 切线的斜率 k 4m 3 2 m 又直线 OM 的斜率为 2m2 3m 2lnm m 5 分 所以 4m 3 即 m2 lnm 1 0 2 m 2m2 3m 2lnm m 又函数 y m2 lnm 1 在 0 上递增 且 m 1 是一根 所以是唯一根 所以 切点横坐标为 1 7 分 3 a 时 由函数 y f x 在其图象上一点 P x0 y0 处的切线方程为 1 4 y x0 x x0 x02 x0 2ln x0 1 2 3 4 2 x0 1 4 3 4 8 分 令 h x x0 x x0 x02 x0 2ln x0 1 2 3 4 2 x0 1 4 3 4 设 F x f x h x 则 F x0 0 且 F x f x h x x x0 1 2 3 4 2 x 1 2 3 4 2 x0 x x0 x x0 x 1 2 2 x 2 x0 1 2x 4 x0 10 分 当 0 x0 2 时 x0 F x 在 x0 上单调递增 从而有 F x F x0 0 所以 4 x0 4 x0 0 F x x x0 当 x0 2 时 x