概率论第二章8-11节课件.jsp.ppt

1 2 8随机变量函数的分布 一 离散型随机变量函数的分布 设随机变量X的概率分布为 2 由已知有 解 4 2 0 2 4 6 4 1 0 1 4 9 3 得其概率分布为 把的取值由小到大排列 相等的合并 相应的概率相加 4 例2设随机变量 的概率分布为 求随机变量 的概率分布 1 2 n 解 由于 所以 随机变量函数只有三个取值 1 0 1 5 6 二 连续随机变量函数的分布 方法 分布函数法 7 方法 分布函数法 1 形式上写出Y的分布函数 2 将Y g X 代入上式中的Y 得 3 利用X的密度函数 表达 4 上式两端对y求导即得Y的概率密度函数 8 补充 公式法 当函数g x 单调时 分两种情况讨论 1 设函数g x 单调增加 则它的反函数x g 1 y 也单调增加 9 解 上式两边对y求导数 即得Y的概率密度 上式两边对y求导数 即得Y的概率密度 综上得Y的概率密度 10 为单调函数 11 解 例4 设随机变量X在区间服从均匀分布 即概率密度 12 上式两边对y求导数 即得Y的概率密度 13 一 二维离散型随机变量及其联合概率分布 X Y 可能取的值是有限对或可列无限对 X Y 的分布列或X与Y的联合 概率 分布列为 2 9二维随机变量的联合分布 14 性质 1 2 15 解 所以 X Y 的联合概率分布 列 为 的可能取值为 16 设X及Y分别是取出的4件产品中一等品及二等品的件数 则有联合概率函数 2 i j 4 解 其中i 0 1 2 3 j 0 1 2 3 4 由此得 X Y 的二维联合概率分布如下 17 二维随机变量 X Y 的联合分布函数 二 二维随机变量的联合分布函数 1 范围0 F x y 1 性质 同样对任意固定的x 即对任意固定的y 18 5 二维离散随机变量的分布函数为 对单变量x或y来说都右连续的 二维连续随机变量的分布函数F x y 是连续函数 6 4 19 三 二维连续型随机变量及其联合概率密度 定义 概率密度的性质 1 非负性 2 规范性 设F x y 具有连续二阶混合偏导数 则 3 20 解 其中C为常数 则 曲顶柱体的体积 21 设二维随机变量 X Y 在区域D上服从均匀分布 则 X Y 的联合概率密度为 结论 22 解 1 2 D 23 3 显然 F x y 0 3 求分布函数 24 2 10二维随机变量的边缘分布 一 二维离散随机变量的边缘分布 设二维离散随机变量 X Y 可用联合概率分布表给出如下 25 随机变量X的概率分布为 则 对于二维离散随机变量 X Y 同理 随机变量Y的概率分布为 则 及称为二维离散随机变量 X Y 的边缘分布 26 X的边缘分布 Y的边缘分布 27 二 二维连续随机变量的边缘分布 设二维连续随机变量的分布函数为 令y 得随机变量X的分布函数 边缘分布函数 由此得随机变量X的概率密度 边缘概率密度 同理可得 随机变量Y的边缘分布函数 Y的边缘概率密度 28 解 1 对任意的x与y 有 29 2 X与Y的边缘密度函数分别为 X的边缘分布函数为 3 Y的边缘分布函数为 30 例3 非均匀分布 解 同理 31 充要条件 2 11随机变量的独立性 一 离散型随机变量的独立性