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无理数的近似值与连分数江苏张家港高级中学 储聪忠一、从一道题目谈起设正有理数x是的一个近似值，令.（1） 若，求证：；（2） 求证：y比x更接近于.解答：（1） 因为，所以；（2） 同理可证：当时，.要证“y比x更接近于”，即证：. 若，根据（1），则，即证，也就是证.考察函数，当时，它是增函数，从而； 若，则，即证，也就是证.因为函数在上是减函数，在上是增函数，所以当时，即证.综上所述，证明了y比x更接近于.另证：因为，所以.二、几点说明1 若令，则正数；2 对于正数，比更接近；3 因为，从而=，若去掉后面的小于1的“小尾巴”，即，它们越来越接近.用连分数来表示无理数，则有=1，1，2，1，2，；4 如何求的连分数表示式呢？事实上，通过下面的步骤： 故无理数的连分数为1,1,2,1,2,；三、连分数的有关概念一般地，设是一个实数序列，其中，n为自然数，则分数称为有限连分数；如果是整数，是正整数，则称为有限简单连分数.当时，则它们分别称为无限连分数或无限简单连分数.有限连分数记作a0,a1,a2,an或；无限连分数记作a0,a1,a2,或.我们知道方程的正根用求根公式可得2.141421.如果我将方程化为，既然与相等，则用替换方程右边的，就得到，这样可以不断地进行下去.若每次舍掉，则得到一连串的分数：，它们分别是，越来越接近.因此的连分数为2,2,2,.一般来说，有限连分数表示有理数，无限
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