复变函数期末试卷.docx

一 . 填空 (每题2分，共10分)。1. 设，则 .2.设c为沿原点z=0到点z=1+i的直线段,则 2 .3. 函数f(z)=在点z=0处的留数为_4. 若幂级数处收敛，则该级数在z=2处的敛散性为 . 5. 设幂级数的收敛半径为R，那么幂级数的收敛半径为 .二. 单项选择题 (每题2分，共40分)。1 复数的辐角为 （）Aarctan B-arctan C-arctan D+arctan2 方程所表示的平面曲线为 （）A圆 B直线 C椭圆 D双曲线3复数的三角表示式为 （）A BC D4设z=cosi，则 （）AImz=0 BRez= C|z|=0 Dargz=5复数对应的点在 （）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限6设w=Ln(1-i),则Imw等于（）A B C D7.设函数f(z)=u+iv在点z0处可导的充要条件是 ( )A. u,v在点z0处有偏导数 C. u,v在点z0处满足柯西黎曼方程B. u,v在点z0处可微 D. u,v在点z0处可微，且满足柯西黎曼方程8若函数f(z)在正向简单闭曲线C所包围的区域D内解析，在C上连续，且z=a为D内任一点，n为正整数，则积分等于 （）A B C D9 设C为正向圆周z+1|=2,n为正整数，则积分等于 （）A.1 B2i C0 D10设C为正向圆周|z|=2，则积分等于 （ ）A0 B2i C4i D8i11设函数f(z)=，则f（z）等于 （）A B C D12设积分路线C为z=-1到z=1的上半单位圆周，则等于（）A B C D13幂级数的收敛区域为（）A B C D14 是函数f(z)=的（）A.一阶极点 B可去奇点 C一阶零点 D本性奇点15 z=-1是函数的 （）A.3级极点 B4级极点 C5级极点 D6级极点16 幂极数的收敛半径为（）A.0B1C2 D17 设Q（z）在点z=0处解析，,则Resf(z),0等于 （）AQ（0）BQ（0） CQ（0） DQ（0）18下列积分中，积分值不为零的是（）A CB D19.级数是 ( )A. 收敛 B. 发散 C. 绝对收敛 D. 条件收敛20.在|z|1内解析且在（-1，1）内具有展开式的函数只能是（ ）A. B. C. D. 三计算及应用题（每题10分，共50分）。 1求函数在z=1处的泰勒展开式及内展开为洛朗级数. 2设.3.给定积分.试就下列不同情形，写出此积分的值：(1)C为正向圆周|z|=1， (2)C为正向圆周|z-2|=1, (3)C为正向圆周|z|=3. 4已知解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的虚部v(x,y)=x3-3xy2,并且f(i)=0,求f(z).5. 讨论的可导性与解析性.一、 填空题(每空 3 分，共15 分) 1、复数的模_。2、=_。3、设C为正向圆周=2，则=_。4、Z=1是的_级零点。5、设，则_。二、单项选择题（每题 3 分，共15 分）1、当等于什么实数时，等式成立（ ）（A） (B)（C） (D) 2、函数把Z平面上的曲线映射成为平面上的（ ）（A）一条过原点的直线 （B）一个过原点的圆（C）上半平面 （D）方程为的圆3、设为正向圆周：，则的值为（ ）（A）0 （B） （C）-1 (D) -4、是的（ ）（A）可去奇点 （B）一级极点 （C）本性奇点 (D) 零点5、下列函数处处解析的是（ ）（A） （B） （C） (D) 三、（10分）设z=四、（10分）将复数化成三角形式与指数形式，并求它的辐角主值。五、（10分）设函数.问常数取何值时，在复平面内处处解析？六、（10分）证明为调和函数，并求其共轭调和函数和由它们构成的解析函数。七、（12分）计算下面积分的值，其中C为正向圆周|z|=3 （1） （2）八、（10分）将内展开为洛朗级数九、（8分）用留数计算实积分一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1（1i）3（1i）3 _ 2.e= 。3 其中C为正向圆周：4。4 （其中n为正整数）。5.Res= _二、选择题(每题 3 分，共 15 分) 1下列函数极限存在的是 （ ）A B. C. D. ()2将Z平面上的曲线x2+y2=4映射成W平面上的曲线u2+v2=的映射函数f(z)为( )AW= B.W=Z2 C.W= D.W=3下列命题正确的是 （ ）A如果在z0连续，那么存在B如果存在，那么在z0解析C如果在z0解析，那么存在D如果z0是的奇点，那么在z0不可导4下列级数绝对收敛的是 （ ） A B. C. D.5是f(z)=的 （ ）A可去奇点 B.一级极点 C.本性奇点 D.二级极点三、计算题(每题10 分，共 70 分)1.已知为调和函数，求满足f(2)=-i的解析函数f(z)=u+iv。2设f(z)= (1)试求f(1)；(2)当时，试求f(z)。3. 求函数f(z)=在圆环域内的洛朗展开式。4. 计算积分dz，C为正向圆周：5。5. 计算。6. 求+，其中和的起点和终点相同，都是0和1i，但路径不同，是连接这两点的直线段，是经过z=1的折线段。7. 设级数收敛，而发散，证明的收敛半径为1。一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1设，则Imz 。2.方程lnz=的解为 。3设C为正向圆周|z|=1，则 。4幂级数的收敛半径为 。5. 奇点类型是 。二选择题(每题 3 分，共 15 分) 1复数的辐角为 （）A.arctan B-arctan C-arctan D+arctan2.设z=cosi，则（）AImz=0 BRez= C|z|=0 Dargz=3设函数f(z)=，则f（z）等于（）A B C D4设Q（z）在点z=0处解析，,则Resf(z),0等于（）AQ（0） BQ（0） CQ（0） DQ（0） 5是函数f(z)=的 （ ）A.一级极点 B可去奇点 C一级零点 D本性奇点三计算题(每题10 分，共 70 分)1. 求的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)1。2求其中C为不经过z=-1的任意简单闭曲线，n为整数。3. 试求函数f(z)=在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域。4. 利用留数计算积分dz，其中C为正向圆周： 4.5. 设.6. 将内展开为洛朗级数。7.若复数的模相等且+=0.证明: 构成等边三角形的三个顶点。07-08复变答案一 1 -4 2. 3. 4. 5. 二1C 2.C 3.C 4.C 5.A三 1.