抛物线内接多边形边的斜率的探究.doc

抛物线内接多边形边的斜率的探究上海市奉贤区致远高级中学 阮琦说明：本教学案例为2011年3月30日区级公开课教案。例题选自2011年上海春季高考数学第21题。教案：教学目标：1、知识与技能：探究抛物线内接多边形各边斜率所满足的等量关系，并将结论进行推广。2、过程与方法：让学生通过对抛物线中有一个顶点在坐标原点的内接三角形各边斜率的关系式的猜想、论证，以及将结论类比到有一个顶点是的内接三角形，感受、理解知识产生和发展的过程。在让学生对抛物线内接四边形、五边形、六边形、直至边形的自主探究活动中，培养学生观察问题、分析问题及从特殊到一般的归纳总结能力。3、情感态度价值观：以学生为本，培养学生主动参与集体探索，获取新知识的合作精神。教学重点：抛物线内接多边形各边的斜率的探究，及探究过程中对学生的引导与启发。教学难点：引导学生利用已探究出的结论进一步分析问题。教学方法：探究式教学法。教学过程：课堂探究：问题1：如图，已知抛物线。任意构造一个，使在坐标原点，在抛物线上，记的斜率分别为，请你计算并探究三者之间的关系。的坐标的坐标猜测：满足关系式 说明 从选取点的坐标进行计算，可以发现。那么这个等式是否对任意有一个顶点是的抛物线的内接三角形都成立，需要我们用解析法进行验证。设是抛物线上不同于的两点，则，可知：对抛物线中有一个顶点是的内接三角形都成立。变式：将的顶点移动到，的各边斜率是否也有类似的等量关系，说明理由。同样，设是抛物线上的点，经过计算，可知：说明 可利用1中得到的结论进行验证。连结，其中是坐标原点在中，；在中，；在中， ， （即）变式中得到的等量关系与1中得到的有所不同，但又有一定联系，需要我们进一步探究。问题2：探究一个以为一个顶点，其余各顶点均为抛物线上的动点的四边形各边斜率的关系。对四边形进行分割，连结，将四边形分割成两个三角形，这两个三角形都有一个顶点是，于是便可利用变式中得到的结论进行探究。在中，在中，两式相减，消去，得到：，为了方便研究，作移项，使等号右边只有常数项，即观察斜率前符号的正负情况，发现一正一负交替出现。得到初步结论：抛物线有一个顶点为的内接三角形、四边形各边斜率顺次加减，结果分别为1和0。问题3：请你给出一个以为顶点，且其余各顶点均为抛物线上的动点的多边形，写出多边形各边所在直线的斜率之间的关系式，并说明理由探究五边形，分割成四边形与三角形由 ，得 同样，要探究六边形，可分割成五边形与三角形由 ，得 于是，可得到结论：对于有一个顶点是的抛物线的内接边形，当边数是奇数时，各边斜率顺次加减结果为1；当边数是偶数时，各边斜率顺次加减结果为0。推广：若是抛物线上任意一点，则能得到怎样的相应结论？由前几个问题分析可知：对于抛物线的内接边形，其中为坐标原点说明 问题1中的内接即是点在坐标原点时的情形，进一步推广：将抛物线推广到任意开口向上的抛物线抛物线的内接多边形各边斜率顺次加减所得结果与内接多边形的边数有关，与起点坐标有关。当边数为奇数时，结果为（为起点横坐标）；当边数为偶数时，结果为0。课堂小结：通过本节课的学习，你学到了哪些探究数学问题的方法？课后探究：抛物线内接多边形各边斜率是否也有类似结论。教案设计说明：一、教材分析圆锥曲线这一章节在整个高中数学中处于非常重要的位置，课程标准明确指出，对这一章节的教学不仅要让学生了解解析几何的基本问题。更重要的是要让学生在研究圆、椭圆、双曲线的实践活动中体会解析几何的基本思想方法。二、学生分析我校在本学期初进行了分班，从某种程度上来说，学生在明确了加一科目后，学习的目标也更清晰了，理科班很大一部分学生的竞争意识强了，渴望在学习成绩上有所突破，因此，在教学中适当加入探究型课程，帮助他们更好地掌握学习数学的方法也是很有必要的。三、选题说明本节课在学生已掌握了圆、椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程及性质的基础上，进一步引导学生探究圆锥曲线较高层次的性质。本节课选择了一个抛物线内接多边形的问题进行课堂探究，题目来源于2011年上海春季高考数学卷第21题。我想通过课堂中引导学生进行类比、归纳、论证等活动，通过对开口向上的抛物线内接多边形各边斜率存在等量关系的探究，从而让学生从整体上把握圆锥曲线知识，掌握研究数学问题的方法。四、教学目标设计基于教材的地位及作用，再结合学生已有的知识水平，本节课的教学目标定为：1、知识与技能：探究抛物线内接多边形各边斜率所满足的等量关系，并将结论进行推广。2、过程与方法：让学生通过对抛物线中有一个顶点在坐标原点的内接三角形各边斜率的关系式的猜想、论证，以及将结论类比到有一个顶点是的内接三角形，感受、理解知识产生和发展的过程。在让学生对抛物线内接四边形、五边形、六边形、直至边形的自主探究活动中，培养学生观察问题、分析问题及从特殊到一般的归纳总结能力。3、情感态度价值观：以学生为本，培养学生主动参与集体探索，获取新知识的合作精神。我将本节课的重点定为抛物线内接多边形各边斜率的探究，但重点并不是探究出的结论，而是在解决这个探究型问题中所运用到的方法及数学思想，教会学生学数学、用数学才是数学教学的主要目的。因此，在课堂教学中对学生数学能力的培养最为关键。五、教学过程设计针对本校学生的特点，本节课我采用了一个比较简单、直接的方式引入问题，采用填表的形式，为学生指明研究的方向，经过填表，几乎所有学生都能猜测出这一等式。随后，引导学生用解析法进行证明。这样，我们得到的才是对抛物线中有一个顶点是的内接三角形都成立的等式。在变式中进一步引导学生思考，对于抛物线内接其中，各边斜率是否也有类似关系。学生通过计算，可得到这一等式。但一味计算，不便于我们探究抛物线内接边形的一般结论，所以启发学生利用1中得到的结论，构造有一个顶点是坐标原点的三角形进行等量关系的探究。给学生一个启示：将前一题的结论应用到后面的探究过程中去，并层层类推，由三角形到四边形，四边形到五边形，五边形到六边形，直至边形，结论便呼之欲出了。随后，将推广到抛物线上任意一个点。回顾之前整个探究过程，学生发现当边数是奇数时，的坐标对抛物线各边斜率顺次加减所得的结果有影响，所得结果为；当边数是偶数时，各边斜率顺次加减结果为0，的坐标对其不产生影响。进一步深入，引导学生归纳出抛物线的内接多边形各边斜率满足的等量关系。在课堂小结时，先让学生自己小结后，教师归纳、总结。本节课对抛物线内接多边形各边斜率的关系这一问题的探究中，有三个关键因素的推广： ； 抛物线内接三角形四边形五边形边形； 抛物线抛物线。这三者共同影响着最终结论，只要教师协助学生理清这三条类推线路，那么这一探究题的结论是非常明了的。在整个探究活动中，做到充分关注学生的主体作用，培养学生从特殊到一般，类比、归纳，猜测，论证等数学思想方法，加强学生对数学知识的深刻理解。六、作业分析通过课堂例题的主动探索，学生体验了循序渐进解决问题的过程，并且已经获得成功，所以让学生课后以小组的形式去探究开口向右的抛物线的内接多边形各边斜率的关系，学生感兴趣，不易疲劳，会再接再厉，获取新的成功。教学点评：这节课在准备过程中经过了反复的思考，多次的修改。从第一次试讲到最后的正式上课，全教研组都参加了这一过程，提出了不少建议与修改意见。3月23日，在高二（10）班进行第一轮上课。我们数学组的同事都来听了课。第一次上课的构思与最终教案有所不同。在第一次上课的构思中设计了课前练习，选用了三个小题：1、 圆上任意一点，到圆的直径的两个端点的连线的斜率分别为、，则 2、 是过椭圆中心的任意一条弦，是椭圆上任意一点，所在直线的斜率分别为、，则 3、 已知是过双曲线中心的任意一条弦，是双曲线上任意一点，所在直线的斜率分别为、，则 这三个有关圆、椭圆、双曲线的中心弦的问题，学生经过计算发现：与弦的端点连线的斜率乘积是定值。因此，提出问题，在抛物线的弦中，是否也有类似的定值关系？先让学生自己探究，学生计算后发现，对于抛物线的任意一条弦，坐标原点与弦的端点的连线的斜率之和等于，并非是个定值，但由这个结果可以联想到弦的中点，于是引导学生计算的斜率，得到等式。然后再让学生探究有一个顶点是的抛物线内接三角形，进而推广到四边形、五边形，直至边形。采用这种构想，目的之一是想让学生回顾一下圆、椭圆、双曲线的中心弦的性质，通过圆、椭圆、双曲线中斜率的定值引出抛物线中定值问题。但上下来后，发现存在几个问题：1.中心弦问题起点比较高，部分学生理解起来比较困难，课前练习的讲解占用时间较多。2.由中心弦问题到本节课的例题探究中间的过度不是很流畅，中心弦问题讨论后，学生自然去想到探究斜率之积，而本节课的主体是在探究斜率的和差，课前练习与课堂探究关联不大。3.在学生自己探究抛物线内接多边形斜率关系时，学生都是通过解析法计算斜率在探究结论，计算量较大且重复计算，并没有很好的体现数学的思维能力。4.在探究三角形、四边形时学生还是可以发现等式和等式的，但是对于移项成为和之后，“顺次加减”这一规律不容易发现，怎样对他们进行引导需要再思考。3月25日，在高二（9）班上第2轮课。对第一次上课时存在的问题进行改进，将课前练习这一环节删去，开门见山，让学生在抛物线上任意作一个内接三角形，其中顶点的坐标是是并探究三角形三边斜率的关系，但实际效果还是不甚理想，任意作一个三角形，部分学生觉得无从下手，个别学生取点，后就不知道接下去做什么了。几位老师提出了新的建议，即采用填表的形式，给学生指明方向，这样开场的气氛可能会好一些。在本次上课时，对抛物线内接三角形，四边形，五边形，六边形，及边形（其中）的各边斜率顺次加减结果为1或0的探究，我顺着学生的思路，由代数计算得出，即：三角形中，；四边形中，；五边形中，边形中， 课后，教研员指出：一味的代数运算并不能达到提高学生探究能力的目的，也不是这道题目的本质思想。在课堂探究抛物线内接四边形时，已有学生在对四边形进行分割，从“形”上分析问题了，不妨就采用这种分割的思想方法。结合组内老师的意见，作了这样的修改：1.在探究抛物线内接（其中）各边斜率满足的等式时，将的三个顶点与坐标原点连接，构造出三个有一个顶点是坐标原点的三角形，利用内接（其中是坐标原点）各边的斜率关系，探究出这一等式。2.对四边形探究时，将四边形分割成和，利用之前的结论与，消去即可。3.抛物线五边形、六边形、边形的探究都可以运用这种分割的思想方法。4.完成抛物线的探究后，可以更进一步将抛物线推广到。3月30日，正式上课。在作了充分的准备后，整节课上的比较顺利，但由于是借班上课，我对该班学生情况不是非常了解，学生也比较拘束,所以课堂气氛不是很活跃。好在学生产生的情况基本上都在预料之中，学生也能比较好的理解与运用本节课中的数学思想方法。课后小组探究题的反馈比较好。联系人：阮琦工作单位：上海市奉贤区致远高级中学联系地址：上海市奉贤区南桥镇秀龙路115号（致远高级中学 数学组）电话编：201400本人简介：本人于