初中几何中线段相等的证明黑庄户中学.doc

初中几何中线段相等的证明（黑庄户中学）初中平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在有限的两个小时考试中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。一、利用全等三角形的性质证明线段相等全等三角形是初中几何的重要内容，它是证明线段相等、角相等的重要依据。这种方法最为普遍，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。（描（找线段）-看-观全等（无全等时要构造）-找条件）例1利用角平分线，构造全等三角形证明线段相等。角是轴对称图形，并且角平分线上的点到角两边的距离相等，利用角的对称性和角平分线的性质，来构造全等三角形从而得到线段相等是解题的一个重要方法。例题：如图，AOB90,将三角尺的直角顶点落在AOB的平分线上的任意一点P，使三角尺的两条直角边AOB的两边分别相交于点E、F，试证PEPF图1 图2 分析：如图1，因为OC是角平分线，所以本题可以过P点作PMOA于M，PNOB于N，不难发现只要证明PMEPNF，即可得到PEPF，根据PMEPNF90、PMPN(角平分线性质)、MPENPF这三个条件，利用ASA可以证明PMEPNF。如图2,因为OP是角平分线，则AOPBOP，所以本题还可以在OF上截取OG，使OGOE，利用SAS可以证明POEPOG，所以PEPG，只要再证明PGF是等腰就可以得到PEPF。例2如图，C是线段AB上一点，ACD和BCE是等边三角形。求证：AE=BD。证明 ACB和BCE都是等边三角形ACD=60，BCE=60，DCE=60ACE=ACDDCE=120BCD=BCEDCE=120AC=CD，CE=CBACEDCB（SAS）AE=DB例3如图，已知ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BE=CF，EF与BC交于D，求证：ED=DF。证明：过点E作EG/AF交BC于点GEGB=ACB，EGD=FCDAB=ACB=ACB，B=FGB，BE=GEBE=CF，GE=CF在EGD和FCD中，EGD=FCD，EDG=FDC，GE=CFEGDFCD（AAS） ED=FD构造全等三角形，技巧性强，难度大，在实际问题中，如何迅速地找到解题思路呢？具体问题具体分析，每个题目都有自己的最有特色的最具关键性的条件，解决问题要抓住关键，根据题目中的具体条件，从诸多的条件中找到一些关键性条件，构造出全等三角形，利用这个关键性条件构造全等三角形，常可达到事半功倍的效果。二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法。例1如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。求证：AF=EF证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG。AD=GD，ADC=GDB，CD=BDADCGDBAC=GB，FAE=BGEBE=ACBE=BG，BGE=BEGFAE=BGE=BEG=AEFAE=EF例2如图，已知ABC中，AB=AC，DFBC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。证明：DFBCDFB=EFC=90，D=90B，CEF=90CAB=AC，B=CD=CEFCEF=AEDD=AEDAD=AE三、利用平行四边形的性质证明线段相等如果所证两线段在一直线上或看似平行，用一、二方法不易，可以考虑此法。例1如图，ABC中，C=90，A=30，分别以AB、AC为边在ABC的外侧作正ABE和正ACD，DE与AB交于F，求证：EF=FD。证明：过D作DOAC交AB于点OOD垂直平分AC，ACB=90BCACO点必为AB的中点，连结EO，则EOABCAB=30，BAE=CAD=60ADAB，AEACOE/AD，AE/OD四边形ODAE为平行四边形EF=FD例2如图，AD是ABC的中线，过DC上任意一点F作EG/AB，与AC和AD的延长线分别交于G和E，FH/AC，交AB于点H。求证：HG=BE。证明：延长AD到A”，使DA”=AD又BD=CD四边形BACA”是平行四边形BA=A”C由题设可知HFGA也是平行四边形HF=AGHF/AC，又，HF=AG，BA=A”CBH=EG四边形BEGH是平行四边形HG=BE四、利用中位线证明线段相等如果已知中含有中点或等边等，用以上方法比较难，可以考虑此法。例1如图，以ABC的边AB、AC为斜边向外作直角三角形ABD和ACE，且使ABD=ACE，M是BC的中点。证明：DM=EM。证明：延长BD至F，使DF=BD。延长CE到G，使EG=CE，连结AF、FC，连结AG、BGBD=FD，ADB=ADF=90，AD=ADRtABDRtAFDBAD=FAD同理可得：CAE=GAEABD=ACEFAB=GAC，故FAC=GAB在ABG和AFC中，AB=AF，GAB=CAF，AG=ACABGAFCBG=FC又DF=DB，EC=EG，M是BC的中点DM=EM，即DM=EM例2如图，ABC中，C为直角，A=30，分别以AB、AC为边在ABC的外侧作正ABE与正ACD，DE与AB交于F求证：EF=FD证明：过D作DG/AB交EA的延长线于G，可得DAG=30BAD=3060=90ADG=90DAG=30=CAB，AD=ACRtAGDRtABCAG=AB，AG=AEDG/ABEF/FD五、利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明线段相等。如果所证两线段所在的图形能构成直角三角形，并且可能构成斜边及斜边上的中线，用上面方法一时证不出来，可以考虑此法。例如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，EC和DF相交于G，连接AG，求证：AG=AD。证明：作DA、CE的延长线交于HABCD是正方形，E是AB的中点AE=BE，AEH=BECBEC=EAH=90AEHBEC（ASA）AH=BC，AD=AH又F是BC的中点RtDFCRtCEBDFC=CEBGCFGFC=ECBCEB=90CGF=90DGH=CGF=90DGH是RtAD=AHAG=AD证明线段相等的技巧证明两线段相等一般证题途径：1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。12.两圆的内（外）公切线的长相等。13.等于同一线段的两条线段相等。要证明两条线段相等，一般的思路是从结论入手，结合已知分析，主要看要证明的两条线段分布的位置怎样，无外乎有三种情况：（1）要证明的两条线段分别在两个三角形中；（2）要证明的两条线段在同一个三角形中；（3）要证明的两条线段在同一条直线上或其它情况。一、如果要证明的两条线段分别在两个三角形中一般的思路是利用两条线段所在的两个三角形全等。例1 已知：如图1，B、C、E三点在一条直线上，ABC和DCE均为等边三角形，连结AE、DB，求证：AE=DB。分析：从结论入手，要证明线段AE=DB，即看AE和DB分别是ACE和BCD的一边，因此，欲证AE=DB，只须证ACEBCD即可，而在这两个三角形中，AC=BC，EC=DC，欲证ACEBCD，只须证ACE=DCB，又因为DCE=ACE=，于是，DCE+ACD=ACB+ACD，即ACE=DCB，故结论可证，证明略。（方法：描看图形观全等，若无全等自创造。条件已知明暗中）二、如果要证明的两条线段在同一三角形中一般的思路是利用等角对等边。例2 已知：如图2，ABC中AB=AC，D为BC上一点，过D作DFBC交AC于E，交BA的延长线于F，求证：AE=AF。分析：证明同一三角形中两条边相等，一般不采用全等三角形，而且把两边所对的角迁移到相应三角形中找出相等关系。证明：法一：因为DFBC于D，所以F+B=，C+DCE=，又因为，所以B=C，所以F=DCE=AEF，所以AE=AF。法二：考虑到AB=AC，即ABC是以BC为底的等腰三角形的特殊性（三线合一），过顶点A作AGBC于G，于是BAG=CAG，又因为DFBC，所以AGDF，所以AEF=CAG，BAG=F，所以AEF=F，所以AE=AF。法三：考虑到要证的结论AE=AF，即要证AEF是等腰三角形，也由等腰三角形的特殊性质（三线合一）作辅助线，过顶点A作AHDF于H，于是，AHBC，所以有EAH=C，FAH=B，又有B=C，于是EAH=FAH，即AH是高又是角平分线，故AE=AF。三、如果要证明的线段在同一直线上或其它情况一般的思路是作辅助线构成全等三角形或利用面积法来证明。例3 已知：如图3，ABC中AB=AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD=EC，连结DE交BC于F，求证：DF=EF。分析：已知线段相等，要证线段相等，一般的思路是利用等腰三角形或全等三角形来证明，但这两条线段不在一个三角形中，且它们所在的两个三角形显然不全等。因此，欲证DE=DF，必须添加适当的辅助线，构成证题所需的等腰三角形或全等三角形，这样的辅助线有：（1）过D作DGAE交BC于G，则易证DGB=ACB，又因为AB=AC，所以B=ACB，即DGB=B得DB=DG，从而得DG=EC，易证DGFECF。（2）过E作EHAB交BC的延长线于H，易得B=H，又因为1=2，B=1，所以2=H，从而EH=EC=DB，易证DBFEHF。例4 已知：如图5，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AD、CD上一点，且BE=BF，AGBF于F，CHBE于H，求证：AG=CH。分析：从结论入手，要证线段AG=CH就看线段AG、CH是否在同一三角形中的两条边或两个三角形中的两条边，这里的AG、CH虽然在两个三角形中，但显然不全等，作辅助线构成全等三角形也无法作，由于BE=BF要证明的线段AG、CH恰是这两边上的高，