实函.PPT课件

4 3可测函数结构 第四章可测函数 目的 通过本讲的学习 使学生了解Lusin定理的科学意义 懂得如何从熟悉的理论或现象中寻找新的东西 发现一般规律 学会从分析中寻求所要的证明 重点与难点 从熟悉的理论出发发现Lusin定理 寻求Lusin定理的证明 Rn上可测函数与我们熟悉的连续函数有密切的联系 一方面 可测集上的连续函数定为可测函数 另一方面 本节将证明的Lusin定理表明 可测函数可以用连续函数在某种意义下逼近 由于连续函数具有较好的性质 比较容易处理 因此这个结果在有些情况下是很有用的 4 例1 5 6 故对任意x O x F 有 f x f x 0 故f连续 证明 任取则存在i0 使得x Fi0 f x ci0 又Fi为两两不交闭集 从而x在开集中 所以存在 0 使得 鲁津定理第一形式 下称定理1 实变函数的三条原理 J E Littlewood 1 任一可测集差不多就是开集 至多可数个开区间的并 设f x 为E上几乎处处有限的可测函数 则使得m E F 且f x 在F上连续 去掉一小测度集 在留下的集合上成为连续函数 即 可测函数 基本上 是连续函数 3 任一点点收敛的可测函数列集差不多就是一致收敛列 2 任一可测函数差不多就是连续函数 鲁津定理的证明 证明 由于mE f 0 故不妨令f x 为有限函数 1 当f x 为简单函数时 当x Ei时 f x ci 所以f x 在Fi上连续 而Fi为两两不交闭集 故f x 在上连续显然F为闭集 且有 对f x 在F连续的说明 说明 取闭集的原因在于闭集的余集为开集 开集中的点为内点 从而可取x Fi足够小的邻域不含其他Fi中的点 函数在每一块上为常值 故在每一块上都连续 但函数在R上处处不连续 条件Fi为两两不交闭集必不可少 如 鲁津定理的证明 2 当f x 为有界可测函数时 存在简单函数列 n x 在E上一致收敛于f x 由 n x 在F连续及一致收敛于f x 易知f x 在闭集F上连续 利用 1 的结果知 鲁津定理的证明 则g x 为有界可测函数 应用 2 即得我们的结果 连续函数类关于四则运算封闭 3 当f x 为一般可测函数时 作变换 注 1 鲁津定理推论 鲁津定理 限制定义域 即 去掉某个小测度集 在留下的集合上连续 在某个小测度集上改变取值并补充定义变成连续函数 若f x 为上几乎处处有限的可测函数 使得在F上g x f x 且m E F 对n维空间也成立 则及R上的连续函数g x 开集的余集是闭集闭集的余集是开集 直线上的开集构造直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的开区间的并 鲁津定理推论证明的说明 鲁津定理 设f x 为E上几乎处处有限的可测函数 则使得m E F 且f x 在F上连续 例对E R1上的a e 有限的可测函数f x 一定存在E上的连续函数列 fi x 使fi x f x a e 于E 从而 令 即得我们所要的结果 证明 由鲁津定理的推论知 再由Riesz定理 存在 gn x 的子列 gni x 使gni x f x a e 于E 对上例的说明 只能作到几乎处处收敛 说明 若fn f于R fn连续 则f的连续点集是R的稠密集 参见 实变函数 周民强 p 43 鲁津定理的结论m E F 不能加强到m E F 0 参见 实变函数 周民强 p 116 虽然我们有但不存在R上的连续函数列fn使得fn f于E 设f x 是E上a e 有限的实函数 对 0 存在闭集 使且f x 在上连续 则f x 是E上的可测函数 注 此结论即为鲁津定理的逆定理 从而f x 在上可测 进一步f x 在上可测 证明 由条件知 存在闭集使且f x 在En连续 当然f x 在En上可测 17 18 19 20 21 值得注意的是这个定理也可推广到n维空间 22 鲁津定理揭示了可测函数与连续函数之间的联系 即可测函数可以用连续函数来逼近 也就是说 将可测函数的定义域去掉一