毕业设计论文数学思想方法在解题中的应用.doc

更多精品资料尽在我的主页数学学院本科生毕业论文(设计)格式晋 中 学 院 数学学院本科毕业论文(设计)题 目 数学思想方法 在解题中的应用 院 系 数学学院 专 业 数学与应用数学 姓 名 王三旦 学 号 0907111240 学习年限 年 月至 年 月指导教师 吉 蕾 申请学位 理 学 学士学位 2013年 3 月 15 日 晋中学院数学学院2013届本科生毕业论文(设计) 数学思想方法在解题中的应用学生姓名: 王三旦(数应0902班) 指导教师: 吉蕾摘 要：人们在探索发现过程中得了一些重要的思维结果，便形成了数学思想把数学思想作为解决数学问题或实际问题的工具或手段就产生了数学思想方法 数学思想方法在问题的处理、解答中常常起到评估、决策的作用，进而就确定了思想方向和方法如果不了解数学思想方法，缺乏数学思想方法的引导，解题中会无从下手走弯路数学思想方法是数学的精髓，用这种思想方法去解决问题，就要求我们对各种知识所表现出来的数学思想做出归纳概括在解答数学问题时，可以应用的思想方法有很多，本文主要介绍常见的几种数学方法，如：函数与方程的思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化思想等了解了数学思想方法，分析了数学问题的特点，就可以做到快速有效地解决数学问题关键词：数学思想方法；解题；应用 Applications of mathematical thinking way in problem solving Student: Wang sandan Instructor: Ji Lei Abstract：People have gained some important mathematical thinkings in the process of discovering the world.When we use mathematical thinking to solve mathematical problems, then rise to mathematical thinkings. Mathematical thinkings often play assessment and decision-making role when handling them in the solution. If you do not understand the mathematical way of thinking and lack of mathematical thinking to guide, it will be hard to solving problems. Mathematical ways and thinking is the essence of mathematics. To solve the problem with way and thinking requires that we have shown a variety of mathematical thinkings to make the induction. There are lots of mathematical thinkings and mathematical methods to solve problems. This article describes several common mathematical methods, such as: function and equation thinkings, classified discuss thinkings, the combination of mathematics and figure thought, conversion thinkings. By understanding of the mathematical thinkings,analyses of the characteristics of mathematical problems,it can be done to solve mathematical problems quickly and efficiently.Key words：Mathematical way of thinking；Problem solving；Application目录绪论11课题研究的背景2课题研究的内容及意义 3课题研究的目的1数学思想方法简介1.1数学思想方法的内涵 1.2数学思想方法的意义 1.3数学思想方法的分类及呈现形式2数学思想方法的应用2.1函数与方程的数学思想方法 2.2 数形结合的数学思想方法 2.3分类讨论的数学思想方法2.4 整体的数学思想方法 2.5划归的数学思想方法 2.6类比的数学思想方法 2.7换元的数学思想方法3数学思想方法教学的研究3.1数学思想方法教学的目前情况3.2数学思想方法教学的原则3.3数学思想方法教学的渗透结束语 参考文献 绪论著名日本科学家米山国藏指出：“作为知识的数学，出校门不到两年可能就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想研究方法和着眼点等，这些都随时随地地发生作用，使人们终身受益”数学的精髓不在于知识本身，而在于数学知识中所蕴含的数学思想方法；因此，数学学习的目的不在于掌握多少数学知识，而在于掌握和运用数学思想方法来解决实际问题因此，应该把加强数学思想方法的学习作为数学学习的重点1课题研究的背景在实习支教的日子里，我不停地在思考：什么是数学的心脏？随着支教日子的增加，我慢慢明白原来问题才是数学的心脏数学问题的解决才是数学学习中的一个重要组成部分然而数学思想方法在数学解题中起着重要作用在解决问题时，不是直接攻击问题，而是对此问题进行变换、转换，直至最终把问题转化为某个(些) 已经解决的问题可以说几乎所有问题的解决都离不开数学思想方法因此，加强数学思想方法的学习显的尤为重要另外，加强数学思想方法的学习对培养学生数学学习兴趣，提高学生的数学能力也具有深远的意义数学学习立足于人的潜能和综合素质的提高，立足于人的终身发展的需要不再是仅限于数学知识的获得、解题技巧的掌握，更重要的是数学能力、思想观念的形成和健全人格的养成；因此，数学教育不仅要关注科学世界、更应直面学生的生活世界在新课改的浪潮中，注重能力考查已成为核心课题只有在牢固掌握数学知识、数学概念的基础上，进一步深刻领会数学的本质及内涵即抽象程度更高的数学思想方法才能解决，这些数学思想和方法就蕴藏在教材和习题中，需要仔细发掘。本文就是在这种背景下，对数学课题中所蕴含的数学思想方法进行研究 2课题研究的内容及意义本论文主要对数学的教材中所蕴涵的主要数学思想方法进行分析与整理，阐述了各个数学思想方法在学习中的应用及应遵循的原则，以及让学生掌握这些数学思想方法的方式数学思想方法是科学思想方法中的一个重要组成部分，是数学基础知识的重要组成部分，而且还是人的数学素养的重要组成部分数学思想方法蕴涵在数学概念、数学知识的发生、发展和应用的过程中，数学思想方法是数学的本质，是数学的精髓，是数学的灵魂，是联系各方面数学知识的纽带放眼科学和社会的各个领域，数学思想方法的运用比比皆是，举不胜举因此，数学思想方法的学习和掌握应是数学教育的重要内容之一1.理论意义(1)有利于促进数学应用理论的发展数学思想方法是数学的精髓所在，是指导人们思考问题与解决问题的原则初中数学思想方法的研究与实践事实己经证明数学思想方法越来越多地被应用于现代各行各业的技术中，如经济学、社会学、心理学等甚至在最为简短的科学技术中，如胚胎学和信息化产业的许多技术问题的进一步发展，都要取决于新的数学思想方法和算法的发展(2)有利于推动数学学科的发展.数学除了是一门科学理论外，它还是一种科学方法科学如果没有方法就像它没有理论一样不可想象纵贯数学发展的历史，数学上每一项重大成果的取得，无不与数学思想的突破及方法的创新有关。因此，掌握数学方法论并努力开拓新思想方法，是数学创造的巨大动力正是在这个意义上，数学方法论对于推动数学研究、促进数学发展具有极其重要的意义2、现实意义：(l)数学思想方法教育是新课标提出的重要教学要求新的课程标准突出强调:“在教学中应当引导学生在学好概念的基础上掌握数学的规律”数学的规律就包括了数学的思想方法(2)进行数学思想方法的学习，有利于培养学生的创新能力数学教育的根本目的在于培养数学能力，既运用数学解决实际问题和进行发明创造的本领。而这种能力和本领，不仅表现在对数学知识的记忆，更主要的反映在数学思想方法的素养。(3)进行数学思想方法的研究，有利于转变一些人重知识的结论，轻视知识过程的现象，从而提高数学思想方法教学的意识，发挥其教育价值3课题研究的目的数学思想方法是数学知识的重要组成部分，是数学的观点和文化，是数学的精神和态度加强数学思想方法教学，有利于学生掌握数学知识，形成数学能力；加强数学思想方法教学，有利于提高学生素质，培养创新能力；加强数学思想方法教学，有利于学生形成正确的世界观，有利于高等数学教育改革的深入发展本文的目的在于深入挖掘新教材中所蕴涵的数学思想方法，尽可能结合实例对书中主要的数学思想方法进行剖析及整理从而能给自己和同行们提供一些帮助1数学思想方法简介数学思想方法是数学中的理性认识，是数学的本质，是数学中高度抽象概括的内容，它蕴涵于数学问题的解决过程中，它从教学内容中抽象和概括出来，是数学知识的精髓，是知识转化成能力的桥梁数学思想方法不是直接显现的，而是渗透在数学知识中在学习过程中要始终站在思想方法的高度，从培养观察能力入手，应用数形结合的思想，以及分类、转化、归纳等方法，通过数与形的转换加深对数学思想方法的理解与应用因此，明确数学思想和方法的丰富内涵是十分必要的1.1数学思想方法的内涵1.1.1数学思想“思想”是认识的高级阶段，是事物本质的、高级抽象的概括的认识所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论(概念、定理、公式、法则、方法等)的本质认识，是对数学规律的理性认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观念它在认识活动中反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学模型和用数学解决问题的指导思想数学思想比一般说的数学概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具体、更丰富而前者比后者更本质、更深刻一旦形成了数学思想，则其不仅是数学学科的精华,也完全可以用于其它学科中在数学思想中，有一类思想是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想基本数学思想含有传统数学思想的精华和近现代数学思想的基本特征，它是历史地形成和发展着的1.1.2数学方法所谓“方法”是指“关于解决思想、说话、行动等问题的门路程序”，简言之，方法是解决问题的门路、程序顾名思义，数学方法则应是人们在从事数学活动中解决数学问题的门路和程序（同一门路或程序被重复运用了很多次之后，都达到了预期的目的）它是以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学语一言表达事物的状态、关系和过程，经过推理、运算和分析，以形成解释、判断和预言的方法大家都知道，在丰富复杂的数学活动中，有许许多多能解决数学问题的方法如:归纳法、递推法、枚举法、反证法、逆推法、等量代换法，方法之多, 使我们不胜枚举若对这些令人眼花缭乱的数学方法认真探究的话，不难发现它们大体可以分为两类：其中一类为狭义的数学方法，它只在某些特定的数学问题使用，例如：因式分解中的十字相乘法，解二次方程的配方法，证明与自然数有关命题时使用的数学归纳法，解析几何中常用的数形结合法，高等数学中的隐函数求导法，不定积分的变元积分法，正项级数的比较判别法另一类为广义的数学方法，它不仅在数学一科中使用，也能在其它学科中使用，即具有普遍性广义的数学方法也是一般的科学方法, 例如数学中常用的分析与综合法，归纳与演绎法，类比法，化归法，关系映射反演法，枚举法1.1.3数学思想与数学方法的区别与联系数学思想与数学方法既有区别又有联系区别是：数学思想是对事物和客观规律的本质的概括认识，而数学方法是达成这种认识的手段和步骤；数学思想是融合在对象和规律的描述中，而数学方法是反映认识活动的规律，体现和表述一定的思想；数学思想具有一定的概括性和普遍性，而数学方法则具有操作性和具有性数学思想是内隐的，而数学方法是外显的；数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反应数学对象间的内在关系，是数学方法的进一步概括和升华同时，数学思想与数学方法互为表里，它们都是建立在一定的知识基础上，反过来又促进知识的深化提高，对知识向能力的转化也有一定帮助每一个数学方法都体现着一定的数学思想，而数学活动总是数学思想指导下的数学方法的应用两者都是思维活动的载体，运用数学方法解决问题的过程，就是感性认识不断积累的过程，当这种积累达到一定程度的飞跃，就会上升为数学思想所以严格区分数学思想与数学方法并无多大必要，因此一下的论述就统称为数学思想方法1.1.4数学思想方法所谓的数学思想方法就是数学思想和数学方法的结合与数学的概念和原理这些关于客观事物的数形特征的认识结果的知识相比较，数学思想方法是一种关于怎样解决数学问题、如何获得数学理论即显性数学知识和技能的知识，是形成学生的思维能力、分析和解决问题的能力以及创新精神和实践能力的基础它也是一种指导思想和普遍使用的方法，数学本身作为一种科学，具有严谨性，逻辑性，简洁性，可靠性等特点在数学知识的掌握中，只有掌握了数学思想方法才是真正达到了融会贯通.根据数学家的研究，数学思想方法有以下特征： 数学思想和数学方法是紧密联系的，一般来说，强调指导思想时称数学思想，强调操作过程时称数学方法 数学方法的层次性数学是由低级到高级，由客观现实到抽象形成和发展起来的数学方法的载体是数学知识，数学知识具有层次性，因此也赋予数学方法有层次性 数学科学的特征钱佩玲教授将数学的发展概括为三个阶段，创新阶段，理论建立阶段，应用阶段数学知识呈现的是数学结果，呈静态点型，重在记忆理解；而数学思想方法是数学活动过程的呈现，呈动态线型，重在领会应用数学思想方法即是对数学知识研究创新、提炼本质、灵活应用这三个阶段的充分体现1.2数学思想方法的意义数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具数学科学的空前发展，使得数学科学不仅是自然科学、技术科学等科学的基础，而且在经济、社会人文等科学的发展中发挥越来越大的作用。数学的应用越来越广泛，正在不断地渗透到社会生活的方方面面数学思想方法，作为数学知识内容的精髓，是对数学的本质认识，是数学学习的一种指导思想和普遍适用的方法，是把数学知识的学习和培养能力有机的联系起来，提高个体思维品质和数学能力，从而发展智力的关键所在，也是培养创新型人才的基础，更是一个人数学素养的重要内涵之一因此，重视数学思想方法的教与学是数学教育发展的必然(1) 数学思想方法的教学对素质教育的全面推进具有重要意义 素质教育主要包含思想道德、科学文化、心理健康和劳动技能等四个方面的教育。想要实现真正的素质教育，就必须要依赖于学校教育各个方面的通力合作，以及家庭和社会的有效配合而数学知识以及数学思想方法的教育则是素质教育的一个非常重要的方面实际上，数学知识与思想方法的教育就是科学文化素质的教育，此乃古今中外有识之士的共同见解 (2) 数学思想方法的教学是新课程理念的要求九年义务教育全日制初中数学教学大纲（试用）提出“初中数学的基础知识主要是指初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想方法普通高中数学课程标准（实验）标准在对“教学目的”进行阐释时明确指出:“理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念和结论产生的背景、应用，体会其中蕴涵的数学思想方法，”标准将数学思想方法写进教学目的，这说明了数学思想方法在中学数学教学中具有重要的价值在新课程背景下，对数学思想方法教学的研究，是当下基础教育各方面关注的焦点教学实践表明：中小学数学教育的现代化，主要不是内容的现代化，而是数学思想、方法及教学手段的现代化，加强数学思想方法的教学是基础数学教育现代化的关键 (3)数学思想方法的教学有助于学生学习兴趣的培养，从而提高教学效率数学思想方法是数学的灵魂，是开启数学知识宝库的金钥匙，是数学发现的源泉，更是学生获得数学知识的重要手段，具有很大的智力和非智力价值，学生掌握了它，就能透彻地理解数学知识，有助于创造能力的培养同时，学生只有把数学知识上升到数学思想方法，才能有效地提高数学素养，乃至学生的整体素质因此，教师要转变教学观念，提高自身的专业素养，认真挖掘数学知识背后隐藏着的数学思想方法，并把数学思想方法的教学列为课堂教学的一项目标，将数学知识的教学与数学思想方法的教学有机地结合起来，充分暴露数学知识的形成过程以及其中内在的思维活动，使学生更好地理解数学知识，并从真正意义上获取解决问题的有效策略从而提高学生的学习兴趣，有效地避免了题海战术，减轻学生的学习负担，逐步提高教学效率1.3数学思想方法的分类及呈现形式1.3.1数学思想方法的分类对于常见的数学思想方法来说,有几种不同的分类方法一种是把数学思想和方法分别进行分类，即思想有符号与对应、方程与函数、公理与演绎等方法有化归法、分析综合法、关系映射反演方法；一种是把数学思想方法和数学解题方法分别进行分类,认为常见的数学思想方法有：符号化思想、函数与方程思想、公理化方法、演绎推理思想、模糊数学的数学思维方法、反例思想、开放型问题的解题思想、变换思想、集合思想、极限思想；常见的解题方法有化归法、数形结合和坐标法、关系映射反演方法、特殊化和一般化、观察与实验、归纳法、类比法、以退为进法、逐次逼近法、换元法、待定系数法、分解组合法、数学模型方法、分类讨论法、整体把握法、数学抽象方法、数学美学法、复数法与向量法、参数法、构造法、概率统计法、几何变换法、优化决策方法、数学证明方法而我们所熟悉和常在教学中使用的数学思想方法有：数形结合思想方法、化归思想方法、分类讨论思想方法、方程与函数思想方法、类比思想方法、映射思想方法1.3.2数学思想方法的呈现形式(1)数学思想方法在小学的呈现形式：利用主题图(情景图)渗透数学思想方法是小学教材特点之一 利用数学问题渗透数学思想方法数学的核心是问题数学教材自然包含大量的数学问题，通过数学问题渗透和培养小学生的数学思想方法是一般教材的通用方式利用平实的语言渗透数学思想方法人教版小学实验教材一改过去“用汉字叙述足以形成知识系统”的方式，变为以图表为主，用词用句相当简炼，但起到提纲掣领突出重点启发数学思考的作用，也是编者用以渗透数学思想方法的途径之一利用数学广角渗透数学思想方程标准强调:“学习数学知识应从学生己有的生活经验出发，让学生亲自经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与运用的过程”人教版实验教材除了重视在基础知识的学习过程中渗透数学思想方法外，还在每一册专门增设“数学广角”单元，向学生呈现一些重要的数学思想方法和解决问题的策略(2)数学思想方法在中学的呈现形式:中学的数学教科书通常是以定义、概念、定理、法则的形式呈现的，数学的思想方法经常作为数学教学的一条暗线常常被掩盖着，我们所能看到的只是数学研究的成果，即现成的的数学知识，教材中所隐藏的数学思想方法需要我们自己去揭示2数学方法思想的应用2.1函数与方程的数学思想方法所谓的函数思想就是利用运动与变化的观点, 分析研究具体问题中的数量关系, 通过函数的形式，把这种数量关系表示出来，从而达到解决问题的目的。若把表示函数关系的解析式看作方程，通过解方程的手段或对方程的研究，使问题得以解决，这便是方程思想例1一少年问一老者：“今年多少岁？”，长者对少年说：“等你到我这个岁数，我已是60岁的老头；而我像你一样大时，你还是个6岁的顽童”求少年和长者的年龄分别是多少？分析假如没有方程的思想，很难想到比较直观，简单的方法。这里运用一元一次方程或二元一次方程解决都可以，以二元一次方程为例可设这个长者的年龄是岁，少年的年龄为岁，根据题目中的两句话可得两个方程，从而可求出各自的的年龄解设长者的年龄为，少年的年龄为由题可知：,解之得.答：长者的年龄为42岁，少年的年龄为24岁例22010年杭州市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和家庭用水各多少立方米？分析这是一道简便通俗的题目本题中所涉及的是等量关系，可以运用函数方程的知识来解答本题旨在培养思维定性，培养函数方程相结合的思想解设生产运营用水亿立方米，则居民家庭用水亿立方米由题可得：,解之得： , （亿立方米).答：生产经营用水为1.3亿立方米，而居民家庭用水为4.5亿立方米.在解题中，要善于发掘题目中的隐含条件，构造出函数的思想，从而列出方程解析式，是应用函数思想的关键.另外，不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数方程问题，即用函数方程的思想解答非函数方程问题.2.2 数形结合的数学思想方法数是数字、方程、函数、代数式和不等式，而形是图形、图表以及图象数形结合思想的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，其关键是代数与图形间的转化它可以把代数问题几何化，几何问题代数化以形助数，以数助形例3 求关于的方程的实数解的个数分析要把方程解出来比较麻烦，因此我们要想办法把它转化成求两个函数图像的交点可以令，然后将两图像画在同一坐标系中，然后看两图像的交点个数即可解令，y在同一坐标系中画出与的图像，如下图2.1，由图可知，原方程的实数解的个数为3个2142135xO图2.1例4当为何值时，方程无解？有两个实数解？有三个实数解？有四个实数解？分析设，则该方程解的个数问题就转化为两个函数图象的交点个数问题来处理，体现了数形结合的思想解设，则在同一坐标系中，作出两函数的图像，如下图2.2所示，由图可以看出：y51xO图2.2当时，两函数图像无交点，故原方程无解当或时，两函数图像有两个交点，故原方程有两个解当时，两函数图像有三个交点，故原方程有三个解当时，两函数图像有四个交点，故原方程有四个解由例题可见，数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合的思想方法确切地反应了客观事物深层次的内在联系与矛盾统一的辩证规律2.3 分类讨论的数学思想方法在解答一些数学问题时，有时会遇到很多情况，需要对多种情况分类求解，将问题分为几种情况，使条件具体化，难点分散，然后再对每种情况分类讨论，最后各个击破，在进行归纳总结，使原问题获得解答，这就是分类讨论的数学思想方法实质上，它是化整为零，各个击破，在积零为整的数学策略，有关分类讨论的数学问题具有明显的逻辑性、综合性和搜索性，能训练人的思维条理和概括能力例5已知关于的方程有实根，求的取值范围分析题中并没有指明关于的方程式一元一次方程还是二次方程，所以应对进行讨论解当时，原方程为一元一次方程，要使原方程有实根，则即解之得：当时，原方程为一元二次方程，要使原方程有实根，则即解之得：且综合得：的取值范围为例6已知集合，若，求实数的取值范围分析要求的取值范围，就需含有的不等式，由知，方程没有正根，即方程可能无实数根，也可能仅有非正实跟，所以要对进行讨论解若，即方程无实数根，则，解之得：若，即方程只有非正实数根，则，解之得：综上可得，的取值范围是在进行分类讨论时，对所给的研究对象进行正确的分类是关键分类标准要统一，做到不重不漏，逐步进行讨论，获取间断性成果，最后归纳小结出结果2.4 整体的数学思想方法一个数学问题经过整体思维方法的处理，会变成另一个比原问题简单、容易的数学问题在运用整体思想方法时，要对问题的整体形式、整体结构以及问题的条件和在其中的地位和作用进行调节和转化，已得到易于处理的新问题一般，整体思想方法有以下几种应用：1.整体代入：把一些组合式子视为一个“整体”，并把它直接带入另一式，避免局部运算的麻烦和困难例7若是的根，试求的值分析此题可以解出方程的根得出的值，但会有带根式的值，带入后面要求解的式子会含有根式的高次方，比较麻烦可以由题知，即，.将两式分别带入即可求得结果解由题知：，即， 整体带入思想处理问题,即对原问题的尾部进行积零为整的处理，使其形式和方法上得到简化2.整体定位：把所求式的值或某些量的组合确定为一个字母后，问题转化为对这个字母的研究例8一个六位数，若将它的末位数字移到首位，所得的新数是原数的五倍求这个六位数分析要按常规解答，会难于下手认真观察题，可知它的末尾数字移动了，其他数字的顺序没发生变化，所以可把末位数字单列，其它的视为整体，即可求解解设前五位数为，末位的数为由于14285不能被7整除，所以必是7的倍数，是个位数，所以是7,则是14285.所以这个六位数为142857.3.整体配对：对有的数学问题，根据式子本身的特点，相应地配出与之相对称的式子，以便解题简便例9 求的值分析要求式子的值，如果挨个计算，会比较复杂仔细看题目，我们会联想到的公式，所以我们在配一个式子就会容易求解解令，,则 , 得 所以原式的值为2.5类比的数学思想方法类比法就是根据两种不同的数学对象之间在某方面相似或相同，从而推出它们在其它方面也可能相似或相同的推理方法例10解方程组分析此方程组与结构类似，而解这个方程组有一个办法就是化解得，然后与、和分别做减法，就得到了方程的解将此方程组与例题进行类比，可看出例题中每一个方程都是两个未知数的积，而上面这个方程都是两个未知数的和，它的解题过程为“先加后减”，于是我们就想到用“先乘后除”的方法解化解的，然后与、和分别做除法得：或经检验符合题意，所以原问题的解为或值得注意的是类比的结论有可能对，也有可能错因此，类比的结论须经过一定的严格论证才能确定它的正确性2.6转化与划归的数学思想方法利用转化划归思想解题的过程就是把所要解决的数学问题转化划归为一类已经熟悉的问题或比较容易解决的问题，通过条件的转化，结论的转化，化难为易，化繁为简，最终使问题得到解决例11解不等式分析解分式不等式时，我们将不等式的一端化为0，然后将分式不等式通过等价转化成一元二次不等式，从而求解这里的等价转化就是转化划归的思想体现在数学中就是将问题变形，使之实现转化，最终求解解原不等式可化为：，等价于，解之得所以原不等式的解集为：2.7换元的数学思想方法在解答数学问题中，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使原来的问题得到简化，这种方法叫做换元法例12实数a，b，c满足.求的最小值分析由想到中值换元，将a，b，c分别进行换元，然后求原式的最小值解设，其中则 所以的最小值为3数学思想方法教学的研究3.1数学思想方法教学的目前情况数学思想方法作为数学教育的重要内容，已日益引起人们的注意，这与教育越来越重视学生的能力培养与素质提高有着密切的关系。但是，在中小学数学教材中,数学思想方法渗透其间,由于长期以来，数学教学受“传道、授业、解惑”的传统教学观念影响很深，以传授知识为目标的教学观点和模式在相继沿袭中形成，加上历史的长期沉淀以及各种因素的牵联，变得相当稳固，在数学教学过程中只注重知识的传授，往往忽略对数学思想方法的教学时机的把握，并没有系统的归纳和总结数学思想方法,也没有充分的讲解和讨论对怎样挖掘基础知识中的数学思想方法，如何自觉的渗透数学思想方法的教学，如何坚持不懈地培养学生数学思想方法的应用意识,缺乏系统的探究,致使学生对基础知识的学习仅限于理解概念、死记公式定理，模仿性解答题目然而，数学思想方法具有普遍性，掌握好数学思想，比掌握好形式化的数学知识更加重要，它在人的能力培养和素质提高方面具有重要作用，这些浅层次水平上很难培养出高素质的创新人才,所以在教学中要有意识地恰当地讲解与渗透数学基本思想方法。3.2数学思想方法教学的原则美国心理学家布鲁纳在强调学习学科的基本理论和观念时指出：“懂得基本原理和应遵循的原则会使学科更易理解”，“领会基本原理会通向适当的训练迁移的大道，会缩小高级和初级知识的差距。”因此在数学思想方法的教学中，我们不仅要遵循通常的数学教学的基本原则，还要遵循以下五条基本原则1.目标性原则既然数学思想方法被纳入数学基础知识的范畴，那么数学课堂教学应该有数学思想方法的教学目标，在目前中小学数学教学中，数学思想方法教学尚未得到全面落实，其主要原因之一是数学思想方法教学的目标不明确，操作性不强。因此，遵循数学思想方法教学的目标性原则，首先要明晰教材中所有数学思想方法，然后结合具体的数学教学内容特点，确定每节教材思想方法的目标内容，将思想方法教学目标具体化。其次对某些重要的数学思想方法进行分解、细化，使之明朗化，具有层次性第三，在具体的每一节课教学中，数学思想方法教学目标应与课堂教学结构的各个重要环节相匹配，形成知识目标与思想方法目标的有机整合，使之具有可操作性.2.渗透性原则 所谓渗透原则，是指在具体知识教学中，一般不直接点明所应用的数学思想方法，而是通过精心设计的教学过程，有意识潜移默化。数学思想方法教学依附于数学知识的教学但又不同于数学知识教学。在数学思想方法教学中，应以数学知识为载体，挖掘教材中蕴含的数学思想方法，进行恰当的、适时的“渗透性”教学。遵循渗透性教学原则需做到以下两点:(1)挖掘渗透内容虽然数学思想方法纳入数学基础知识范畴，但数学思想方法是数学知识的精髓，它内隐于数学知识之中，需要从数学知识中挖掘、提炼教师需认真钻研教材，才能正确地挖掘出课本知识中所蕴含的数学思想方法在上课时就可以有目的地向学生渗透数学思想方法，使学生受到数学思想方法的熏陶(2)把握渗透的方法由于学生数学思想方法的形成和发展比数学知识的增长和积累更需要时间，因此，在教学中，有机地结合数学表层知识的传授，恰当地渗透其中的数学思想方法，让学生在“数学知识的再发现”过程中享受“创造”或“发现”的愉悦，孕育数学发现的精神品质，这才是成功的渗透方法3.循序渐进原则数学思想和方法的渗透必须结合两个实际，即教材实际和学生实际，不同的教材内容有不同的要求，不同的学生也有不同的要求，要讲究层次，不能超越，要反复多次，小步地渐进。用渗透方式进行数学思想和方法教学，要遵循学生的认识规律，遵循认识的一般规律，即从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级的渐进过程。不同知识阶段的再现，对数学思想方法教学有不同的要求。开始时，要反复渗透，让学生初步形成一定的数学思想，在此基础上慢慢得到应用发展因此，数学思想方法的教学是一个循序渐进的过程4.系统性原则数学思想方法是以数学知识为载体的，是通过教学过程逐步渗透的，受内容、进度、时间等因素的制约，因而平时的渗透是间断的，带有一定的局限性。而且上一节课中涉及到的数学思想方法下一节课不一定有，这样就不可能使渗透过程深入和系统化，不便于学生形成完整的认知结构，所以随着知识的深化和系统化，要适时地把体现数学思想方法的分散问题集中起来，同时加以归纳系统化。数学思想方法只有形成具有一定结构的系统，才能更好地发挥其整体的功能。对于某一种数学思想而言，它所概括的一类数学方法，所串联的具体数学知识，也必须形成自身的体系才能为学生理解和掌握。这就是数学思想方法的系统性原理 5.参与实践原则 学生数学思想方法的发展水平最终取决于自身参与数学活动的程度在关注数学思想方法教学的同时，必须注意到数学教学是师生双方的活动，学习数学并不是学习者的被动接受而是主体在数学活动中对知识的主动建构因此，数学思想方法的教学需遵循学生参与实践原则，就是要求教师在教学过程中要充分调动学生学习的自觉性和积极性，注重营造教学氛围，给学生提供思想活动的素材、时机，悉心引导学积极主动地参与到数学知识的发生过程中，在亲自的实践活动的中，接受熏陶，不断提炼思想方法、活化思想方法，形成用思想方法指导思维活动，探索问题解答策略的良好习惯贯彻这一原则需要将教学活动中教师的主导作用和学生的主体地位统一起来3.3数学思想方法教学的渗透1.渗透于知识的形成过程中对数学而言,知识的形成过程实际上也是数学思想方法的发生、发展的过程全日制义务教育数学课程标准(实验稿) 明确指出:“数学教学不仅要教给学生数学知识,还要揭示获取知识的思想过程”这就告诉我们在数学教学过程中,应当使学生做到不但知其然,更要知其所以然，从而养成良好的思维品质因而概念形成的过程, 结论的推导过程,规律的提示过程等都是向学生渗透数学思想方法的好时机,具体可以从以下几个方面展开：（1）在概念的学习过程渗透介绍数学思想方法数学概念的学习可分为两种基本形式：一是概念的形成，概念的形成指在教学条件下，从大量具体例子出发，从学生实际经验的肯定例证中，以归纳的方法概括出一类事物的本质属性二是概念同化，概念同化是直接用定义形式陈述概念，并与学生原有数学认知结构中有关概念相互联系，相互作用，以领会新概念的本质属性，从而获得新概念的方式.在这两种形式的概念学习过程中，我们都可以适时渗透介绍数学思想方法。具体而言 ，数学概念形成一般要经历“具体-抽象-具体”的过程，即先给出问题、给出基本事实、实际背景，引导学生从问题出发，分析、抽象、概括出数学概念，为了进一步理解概念的内涵和明确概念的外延，要举出概念的肯定例证和否定例证.这个过程是从特殊到一般，再由一般到特殊，因此是一个先归纳再演绎的推理过程.教师要抓住教学时机，介绍归纳、演绎推理方法，特别是归纳法.另外我们有时要借助符号、图形、图像的直观形象性，帮助学生形成概念，这一过程也是对数形结合思想方法的渗透.以概念同化方式学习数学概念，往往伴随着某些数学思想方法的运用，如由等差数列的定义类比出等比数列的定义;用映射思想定义函数，一一映射思想定义反函数;用函数思想看“数列” 用数学思想方法指导概念学习，可以更好地在概念教学中突破难点，使学生理解概念更顺利，促进学生数学概念认知结构发展，同时也有利于中学生接受一些重要的数学思想方法.（2）在定理(公式、法则)的学习过程渗透运用数学思想方法定理(公式、法则)的教学应遵循“过程教学原则”，即一个命题怎样被提出来，提出来后又如何加以证明，证明之后如何加以应用，这一思维过程都应充分展现，并启发学生去感受、体验，弄清知识的来龙去脉.在这一过程，必然结合着数学思想方法的渗透运用. 例如：等差数列前 N 项和公式的教学就可以通过观察、计算，体现观察、归纳、猜想、证明以及抽象概括等数学思想方法2.渗透于解题思路的探索过程中 要使学生提高解题能力,必须让学生掌握一定的解题思想方法化归思想是解题的一种基本思想,贯穿于中学数学的整个学习过程, 学生一旦形成了化归意识, 就能化未知为已知,化繁为简, 化特殊为一般, 优化解题方法数形结合的思想是充分用图形直观帮助学生理解题意的重要手段,它可使抽象的内容变为具体,在应用题教学中,可以采用画线段图的方法帮助学生分析数量关系, 从而化难易还有归纳猜想的方法也是解题时给我们开路的厉剑，还有很多思想方法都可以在解题的探索过程中帮我们指明前进的方向例如在高中数学学习中，有一类由一元二次函数、指数函数或对数函数生成的比较复杂的方程、不等式、函数问题，我们往往把这些复杂的方程、不等式、函数通过换元或其它等价变换方法转化归结为一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的问题.于是学生深深感到这“三个二次”问题的重要，其实，在这类解题过程中，有数学思想方法的指引，我们总是能把问题由陌生的转化为熟悉的、复杂的转化为简单的、难的转化为易的、抽象的转化为具体的，这就使我们后续的解题畅通无阻了3.渗透于“问题解决”之中 数学思想方法存在于问题解决的过程中，数学问题的步步转化无不遵循着数学思想方法的指导，数学问题的解决过程就是用“不变的数学思想方法去解决不断变换的数学问题”在解题教学中教师要善于通过选择典型例题进行解题示范，通过精选的范例展现自己是如何“想”数学，如何“做”数学的，进一步说，就是自己是怎样审清题意的，是怎样运用探索法诱发灵感，产生“好念头”的，是怎样对问题进行转化和变更的，是怎样通过解题进行回顾，概括方法和模式的，是怎样运用合情推理发现结论的等等，给学生一些感性认识，进而转化提高为一种能力.可见，解题往往是数学思想方法的综合应用它们不仅向我们展示出数学活动的丰富多彩，更使我们感受到数学思想方法的统摄和指导的重要正因为这样，加强对解题的指导和训练应是数学思想方法教学的又一个重要方面4.渗透于实践教学中数学源于生活，又生活中处处有数学因而我们必须结合学生的生活经验和已有知识，设计富有情趣和意义的活动,引导学生在生活实例中发现数学问题, 探究数学规律，感悟数学思想和方法。使他们体验到数学就在身边，感受数学与现实生活的密切联系例如正弦定理与余弦定理在实际生活及生产中有着广泛的应用,在解决问题时,要善于将实际问题化成数学问题,建立数学模型结束语 数学思想方法是数学知识在更高层次上的概括与抽象因而它对任何一个学习者完成学习目标是至关重要的只有通过培养数学思想，并在这种思想的支配下进行解题分析，才能将知识运用得得心应手，这种融入数学思想方法的学习才会收到事半功倍的成效。作为老师要使得每一个学生都学会思维，并逐步领悟