向量导数的应用.doc

向量、导数的应用【试题预测】向量、导数是新教材新增内容，体现了现代数学思想。向量在解决几何问题、物理问题有重大的作用，导数在研究函数性质时，有其独到之处。近年来以向量为背景的试题的高考分值约占10%，考察导数知识的试题的高考分值约占10%，从题型上看主要有以下几个特点：1、向量作为工具性知识，与三角函数综合，与立体几何、解析几何综合，一般为中、低档题。2、利用导数求函数的最大值和最小值；求曲线的切线方程；判定曲线与曲线的位置关系，中档题居多。3、利用向量解决物理中的运动学、力学问题不可忽视。【例题】 例1、设a=(1+cos,sin)，b=(1-cos，sin)，c=(1，0)，(0，)，(0，2)，a与c的夹角为1，b与c的夹角为2，且1-2=，求的值。解析：不妨平移，使它们起点为原点，如图 ， 代入 点拨：计算两条向量的夹角问题，与三角函数有关，故向量可与三角函数的运算自然结合，使试题简洁优美。例2、如图，设抛物线y2=2px（p0）的焦点为F。经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴，证明直线AC经过原点O。解析：法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),F(0)，则C(y2)则 与共线 即 （*）而代入（*）式整理得，y1y2=-p2因为 与是共线向量，即A、O、C三点共线，也就是说直线AC经过原点O法二：分析：设A(x1,y1)，C(,y2)，B(x2,y2)欲证A、O、C共线，只需且仅需，即又 只需且仅需y1y2=-p2，用韦达定理易证明。点拨：两向量共线的应用非常广泛，它可以处理线段（直线）平行，三点共线（多点共线）问题，使用向量的有关知识和运算方法，往往可以避免繁杂的运算，降低计算量，不仅方法新颖，而且简单明了。例3、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点（1） 证明ADD1F；（2） 求AE与D1F所成的角；（3）证明面AED面A1FD1。证明：分别以DC、AD、DD1为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系。设正方体的边长为2a，则D（0，0，0），A（0，-2a，0），F（a，0，0）D1（0，0，2a），A1（0，-2a，2a），E（2a，-2a，a）（1） 由=（0,2a,0），=(a,0,-2a)，得=0a+2a0+0(-2a)=0 ，即ADD1F（2） 由=(2a,0,a)，=(a,0,-2a)，得=2aa+00+a(-2a)=0 ，即AE与D1F所成的角为900（3） 由（1）、（2）可知，故D1F平面AED D1F平面A1FD1 面AED面A1FD1点拨：通过建立空间直角坐标系，点用三维坐标表示，向量用坐标表示，进行向量的运算，轻而易举地解决立体几何问题，不需要添加辅助线。一个需要经过严密推理论证的问题就这样被简单机械的运算代替了。例4、已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CB=C1CD=BCD（1） 证明：C1CBD；（2） 当的值为多少时，能使A1C平面C1BD。请给出证明。证明：如设C1CB=，由题设，C1CD=BCD=令=a，=b，=c，|a|=1，|c|=x，因为四边形ABCD为菱形，所以|b|=1， （1）a-b =c(a-b)=ca-cb=1xcos-1xcos=0 C1CBD （2）假设A1C平面C1BD成立则A1CC1D，从而=0由于=a-c，=a+b+c因此=(a+b+c)(a-c)=a2+ba+ca-ac-bc-c2 =a2+ba+bc-c2=1+11cos-1xcos-x2 =（1-x）(1+x+cos)从而(1-x)(1+x+cos)=0由于1+x+cos0，因此，x=1也就是说时，A1C平面C1BD成立点拨：平行六面体的12条棱共分三组，每组四条棱两两平行，故可取共顶点的三条棱作为空间向量的基底，此题中，三个共点向量为基底，其余向量可由此三个向量生成。例5、（1）在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程； （2）一质点做直线运动，它所经过的路程和时间的关系是s=3t2+t，求t=2时的瞬时速度。解析：（1）当x0=-1时，k有最小值3，此时P的坐标为（-1，-14）故所求切线的方程为3x-y-11=0 （2）=6t+1，当t=2时，=13， 当t=2时，质点的瞬时速度为13点拨：1、导数的几何意义：就是曲线y=f(x)在点M(x0,y0)处的切线斜率，即=k切线。2、瞬时速度是路程s对时间t的导数，即v=。例6、是否存在这样的k值，使函数在（1，2）上递减，在（2，-）上递增。解析：f(x)=4k2x3-2x2-2kx+2，由题意，当x（1，2）时，0当x(2，+)时，0由函数的连续性可知=0即32k2-8-3=0得或验证：当时，若1x2，若x2，符合题意当时，显然不合题意综上所述，存在，满足题意点拨：利用导数处理单调性问题，讨论的区间是开区间，注意递增与递减区间的交界处的导数为0，本题求出k值后还需讨论验证。例7、设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示，且与y=0在原点相切，若函数的极小值为-4， （1）求a、b、c的值；（2）求函数的递减区间。解析：（1）函数的图象经过（0，1）点 c=0，又图象与x轴相切于（0，0）点，=3x2+2ax+b 0=302+2a0+b，得b=0 y=x3+ax2，=3x2+2ax当时，当时，当x=时，函数有极小值-4 ，得a=-3 （2）=3x2-6x0，解得0x2 递减区间是（0，2）点拨：1、如果函数f(x)在点x=x0的一个区域：(x0-，x0+)内有定义，对任意的x(x0-，x0)(x0，x0+)总有f(x)f(x0)（f(x)f(x0)），则称f(x0)为函数f(x)的极大（小）值，x0称为极大（小）值点；2、注意极值与最值的区别，极值是相对于领域而言，它仅是极值点附近的局部范围内的相对大小，而最值是相对于闭区间而言，它是函数在给定的闭区间上的全部函数值中最大（小）的值。【课外练习】一、 选择题1、双曲线（a0，b0）的离心率e=，点A与点F分别是双曲线的左顶点和右焦点，B(0，b)，则ABF等于 （ ）A、450 B、600 C、900 D、12002、过抛物线y=x2上的点M（，）的切线的倾斜角是 （ ）A、300 B、450 C、600 D、9003、若f(x)=ax3+bx2+cx+d（a0）为增函数，则 （ ）A、b2-4ac0 B、b0，c0 C、b=0，c0 D、b2-3ac04、函数f(x)=x3-6bx+3b在（0，1）内有极小值，则 （ ）A、0b1 B、b1 C、b0 D、0b5、向量a=(cosy，siny)，b=(cosx，sinx)，已知x=y+，则a与a+b的夹角为（ ）A、 B、 C、 D、二、 填空题 6、函数y=x3-3x+3在上的最小值是_。7、垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-5相切的直线方程是_。8、已知：4a-2b=(-2,)，c=(1，)，ac=3，|b|=4，则b与c的夹角为_。9、已知A（1，2），B（2，k），C（-5，5），且ABC是直角三角形，这样的k唯一吗？为什么？_。10、质量为5kg的物体运动的速度v=(18t-3t2)m/s在时间t=2秒时所受外力为_N。三、解答题11、设a1，函数f(x)=x3-ax2+b（-1x1）的最大值为1，最小值为，求常数a、b。12、过抛物线y2=2px（p0）的焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，自A、B向准线作垂线，垂足分别为，求证：=900。13、设抛物线y=4-x2与直线y=3x的交点为A、B，点M在抛物线的AB弧上运动，设达到最大值时，点M的坐标为（p，h）（1） 求过点（p，h）的切线方程； （2）证明：若与直线AB平行的直线截抛物线y=4-x2的弦为CD，则CD被直线x=p平分。14、直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=900，AB=5，BB1=B1C1=3，求异面直线A1C与BC1所成的角的余弦值。15、用总为长14.8m的钢条制成一个长方体的容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。16、已知：函数y=f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2时取得极值，且图象与直线l：y=-3x+3相切于点P（1，0）（1） 求函数y=f(x)的解析式； （2）讨论函数y=f(x)（-3x3）的增减性，并求函数的最大值与最小值以