三角函数核心知识总结.doc

2010-2011高三总复习核心知识总结 天道酬勤 高三数学核心知识总结第四部分 三角函数与向量一、 基本概念夯实1弧度与度的相互转化145018002三角函数的定义 sin=_; cos =_;tan=_3. 三角函数线4同角三角函数基本关系式：_5.两角和与差的正弦、余弦、正切：6正弦、余弦、正切的二倍角公式：7y=sinx的图像8y=cosx的图像9y=tanx的图像10正弦定理11余弦定理12三角形面积公式13将下列各式化成或的形式（1）= 。 （2） 。（3） 。 （4）cos2xsinxcosx1= 。（5）= 。（6）= 。二、复习目标：利用各种公式对三角函数进行化简、求值、研究函数性质，在分析问题和解决问题过程中培养方程思想、数性结合意识、换元法。三、典型例题分析1.( 08北京)已知函数（）的最小正周期为（）求的值；（）求函数在区间上的取值范围解：（）因为函数的最小正周期为，且，所以，解得（）由（）得因为，所以，所以，因此，即的取值范围为2（09北京） 在中，角的对边分别为，. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）求的值；（）求的面积.【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力（）A、B、C为ABC的内角，且，. （）由（）知，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 又，在ABC中，由正弦定理，得.ABC的面积3. (10北京)已知函数（）求的值；（）求的最大值和最小值.解：（I）.（II） = =,.因为，所以，当时，取最大值6；当时，取最小值.4（10陕西）在ABC中，已知B=45,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.解在ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cos=,ADC=120, ADB=60在ABD中，AD=10, B=45, ADB=60，由正弦定理得,AB=.5（10安徽文数） 的面积是30，内角所对边长分别为，。 ()求；()若，求的值。【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.【解题指导】（1）根据同角三角函数关系，由得的值，再根据面积公式得；直接求数量积.由余弦定理，代入已知条件，及求a的值.解：由，得.又，.（）.（），.【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求的值，考虑已知的面积是30，所以先求的值，然后根据三角形面积公式得的值.第二问中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可.6已知，求：（1）的值； （2）的值。解：（1），。（2）由（1）得，。7（本小题满分12分） 已知函数。（1）求函数的最小正周期和最大值；（2）在平面直角坐标系中，画出函数在区间上的图象。解：（1） 函数最小正周期为，最大值为。（2）由（1）知故函数在区间上的图象如图所示。8（本小题满分13分） 已知向量，且。（1）求及；（2）若，求的最大值和最小值。解：（1）。，。（2），当时，取得最小值；当时，取得最大值。9设函数，其中，将的最小值记为（I）求的表达式；（II）讨论在区间内的单调性并求极值本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力本小题满分14分解：（I）我们有 由于，故当时，达到其最小值，即（II）我们有列表如下：极大值极小值由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为10已知函数，（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力解：（） 又，即，（），且，即的取值范围是11如图，函数的 图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为（1）求和的值；（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值解：（1）将，代入函数得，因为，所以又因为，所以，因此（2）因为点，是的中点，所以点的坐标为又因为点在的图象上，所以因为，所以，从而得或即或1（08北京）（1）已知函数，对于上的任意，有如下条件：；其中能使恒成立的条件序号是 （2）若，则（ A ）ABCD（3）已知向量与的夹角为，且，那么的值为 0 （4）已知函数，对于上的任意，有如下条件：；其中能使恒成立的条件序号是 2（09北京）（1）“”是“”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查. 当时，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 反之，当时，有， 或，故应选A.（2）椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则_；的小大为_. 3. (10北京)（1）在中，若，则 1 .（2）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（A）； （B）（C）； （D）答案：A4（10上海）若的三个内角满足，则（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13 由余弦定理得，所以角C为钝角5（10浙江）设函数，则在下列区间中函数不存在零点的（A） （B） （C） （D）解析：将的零点转化为函数的交点，数形结合可知答案选A，本题主要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点，突出了对转化思想和数形结合思想的考察，对能力要求较高，属较难题6（10全国）为了得到函数的图像，只需把函数的图像（A）向左平移个长度单位 （B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位 （D）向右平移个长度单位【答案】B 【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.【解析】=，=，所以将的图像向右平移个长度单位得到的图像，故选B.7（10辽宁）设0,函数y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（A） (B) (C) (D)3 【答案】C【命题立意】本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活掌握的程度。【解析】将y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后为，所以有=2k,即，又因为，所以k1,故，所以选C8（10江西）E，F是等腰直角ABC斜边AB上的三等分点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。解法1：约定AB=6,AC=BC=,由余弦定理CE=CF=,再由余弦定理得，解得解法2：坐标化。约定AB=6,AC=BC=,F(1,0),E(-1,0),C（0,3）利用向量的夹角公式得，解得。9（10福建文数）计算的结果等于( )A B C D【答案】B【解析】原式=,故选B【命题意图】本题三角变换中的二倍角公式,考查特殊角的三角函数值10（10重庆）已知函数的部分图象如题（6）图所示，则A. =1 = B. =1 =- C. =2 = D. =2 = -解析： 由五点作图法知，= -11（10全国）记,那么（ ）BA. B. - C. D. -评注：(1)本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转化思想的应用. 同时熟练掌握三角函数在各象限的符号.(2) 如何复习诱导公式更有效？“符号看象限，奇变偶不变”所有的学生都理解吗？12动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。已知时间时，点的坐标是。若点逆时针方向运动弧长到达点，则的坐标为 ，动点的纵坐标关于时间（单位：秒）的函数解析式是 。 13如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角,，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B 的横坐标分别为则tan()的值为 ；的值为 -3，=。BAxyO14 若sincos，则sin 2的值是_一_15（10重庆）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线，各段弧所在的圆经过同一点（点不在上）且半径相等. 设第段弧所对