浅谈分块矩阵的应用-白金挺.doc

浅谈分块矩阵的应用摘要：分块矩阵是在处理一些阶数较高的矩阵时所采用的一种方法，即把一个大矩阵看成由一些小矩阵构成，就如矩阵由数构成一样。特别在运算中把这些小矩阵当成数来处理，这就是所谓的分块矩阵。通过这样的一种技巧，为计算一些高阶矩阵时节省时间，让计算过程更加简洁。本文详细、全面论述证明了矩阵的分块在高等代数中的应用，包括用分块矩阵求逆矩阵的问题，用分块矩阵求矩阵行列式，用分块矩阵求秩问题。关键词：分块矩阵；逆矩阵；行列式The application of partitioned matrixAbstract: In dealing with some higher order matrix, it will be divided into several small matrixes, which constitutes a simple matrix. Especially in these small matrixes computation as to handle, we called it the partitioned matrix. Through such a skill, to calculate some high order matrix to save time, let calculation process more concise. This paper listed some examples, and proves the partitioned matrix in higher algebra, including the application with the partitioned matrix inverse matrix, with the partitioned matrix for matrix determinant, use the partitioned matrix to solve the matrixs rank.keywords: partitioned matrix；inverse matrix；the determinant目录1引言 （1）2分块矩阵的运算 （1）2.1分块矩阵的定义 （1）2.2分块矩阵的四则运算 （2）2.3分块矩阵的初等变换 （7）3分块矩阵的应用 （8）3.1用分块矩阵求逆矩阵的问题 （8）3.2用分块矩阵求矩阵的行列式 （9）3.3用分块矩阵求矩阵的秩的问题 （11）4结论 （13）致谢 （14）参考文献 （14）14浅谈分块矩阵的应用06信息与计算科学本科班 白金挺指导教师：庄思发 讲师1 引言高等代数教材中的许多问题都可以用分块矩阵来解决，而且过程简单，容易理解。分块矩阵形式简单，但如果与分块矩阵的初等变换结合起来却变得非常有用。 矩阵是一种新的运算对象，我们应该充分注意矩阵运算的一些特殊规律。为了研究问题的需要，适当地对矩阵进行分块，把一个大矩阵看成由一些小矩阵为元素组成的，这样可使矩阵的结构看的更清楚。矩阵的思想在线性代数证明、应用中是十分有用的。运用矩阵分块的思想，可使解题更简洁，思路更开阔。本文将矩阵分块的方法到行列式运算、求逆矩阵的问题、求矩阵的秩的问题等等。 2 分块矩阵的运算2.1分块矩阵的定义设是一个矩阵。我们在它的行或列之间加上一些线，把这个矩阵分成若干小块。例如，设是一个矩阵我们可以如下地把它分成四块：用这种方法被分成若干小块的矩阵叫做一个分块矩阵。在一个分块矩阵里，每一小块也可以看成一个矩阵.例如，上面的分块矩阵是由以下四个矩阵组成的：,.我们可以把简单地写成给了一个矩阵，可以有各种不同的分块方法。例如，我们也可以把上面的矩阵分成两块：.或者分成六块：.等等。每一个分块的方法叫做的一种分法。2.2分块矩阵的四则运算根据矩阵的加法定义，如果,是两个矩阵，并且对于,都用同样的分法来分块：, 那么这就是说，两个同类型的矩阵，如果按同一种分法进行分块，那么与相加时，只需要把对应位置的小块相加。根据矩阵的数与矩阵的乘法的定义，如果，是两个矩阵，并且对于，都同样的分法来分块：而是一个数，那么这就是说，两个同类型的矩阵，如果按同一种分法进行分块，那么用一个数乘一个分块矩阵时，只需要用这个数遍乘各小块。最常用到的是矩阵的分块乘法。为了说明这个方法，先看一个例子。设,分块乘法就是在计算时，把各个小块看成矩阵的元素，然后按照通常矩阵乘法把它们相乘。用例子写出，就是注意：上面的列的分法和的行的分法是一致的，所以, 有意义，都是矩阵，因而是一个矩阵。同样也是矩阵。这样，结果是一个矩阵。我们验证一下，这样得到的结果和用通常矩阵乘法得到的结果是一样的。设用通常矩阵乘法得那么显然也是一个矩阵。我们只需验证，两种结果中对应元素是相等的。我们看的元素。它是的第三行与的第二列的积：与它对应的是中第一行第二列的元素 ，亦即的第一行与的第二列的积加上的第一行与的第二列的积：由于的第一行与的第一行凑起来就是的第三行，而的第二列与的第二列凑起来就的第二列，所以显然有其它可同样验证。一般地说，设是一个矩阵，是一个矩阵。把和如下地分块，是的列的分法和的行的分法一致：这里矩阵右面的数和分别表示它们左边的小块矩阵的行数，而矩阵上面的数和,分别表示它们下边的小块矩阵的列数，因而 (1) .那么就有 (2)其中 ， ； .现在来证明，（2）式成立。由于对和的分法，乘积都有意义，都是矩阵，因而它们的和也是矩阵。于是由式知，式右端的矩阵是矩阵。设用通常矩阵乘法得那么显然也是矩阵。因此我们只需证明和的对应元素相等。看任一元素，那么它是的第行与的第列的乘积： (3)由于，可以假定；. (4)是与对应的是小块矩阵中第行第列处的元素.由于是位于的第行第列的元素的和，即,的第行分别与，的第列的乘积的和。但由(4)，,的第行凑起来就是的第行，而，的第v列凑起来就是B的第j列。所以. (5)比较和，得 .在某些情形，对矩阵进行适当的分块，可以简化计算。例1 设, 为了求乘积，我们可以对，如下地分块这里I是二阶单位矩阵，0是二阶零矩阵。按分块矩阵的乘法，我们有,这里因此2.3分块矩阵的初等变换分块矩阵的初等变换也是矩阵运算的一个重要技巧。例2 设，且可逆，证明.证明：先用分块倍加阵左乘，使之化为上三角块矩阵，为此取,其中与同阶，与同阶。如此则有将上式两端求行列式，得 ，由于，故命题得证。3分块矩阵的应用3.1用分块矩阵求逆矩阵的问题利用一些特殊的分块矩阵的求逆运算，可有效地简化运算。设子矩阵A，B都可逆，若分块矩阵属于下列情形：, , 则其逆矩阵分别为 (6) (7). (8)下面的几个例子可以看得出利用分块矩阵求逆矩阵所带来的简洁以及方便。例3 求矩阵的逆矩阵.解：可设,则由于, ,所以由(7)可得例4 已知矩阵，求 .解：可以将矩阵分成如下四块其中 ， ， 由定理1，有，而， 为二级矩阵，其逆矩阵易求出，分别为，而 ，所以3.2用分块矩阵求矩阵的行列式在求一些矩阵行列式的时候，还可以利用分块矩阵来进行解题，这同样可以带来许多方便，如以下例子。例5 设都是阶矩阵，其中，且,证明.证明: 可逆又因为上式取行列式得.例6 求矩阵的行列式 ,.解：先对进行加边，然后将加边后的第一行乘以加到其余各行得到令, ,由于，所以可逆，从而有.3.3用分块矩阵求矩阵的秩的问题同样，在求矩阵秩的问题的时，也可以利用分块矩阵来达到简化运算的目的。例7. 设、都是阶矩阵，求证：.证明：做如下分块矩阵用第二行乘以加到第一行,然后再用第一列乘以加到第二列可进行初等变换得所以而.例8.，且，即证明：(1)令 令， 则 可由线性表示,从而.(2)令，.同理，也可由线性表示，从而.综上可得.4结论通过以上所列出的例子以及运算方法，可以看出分块矩阵的应用对高等代数来说意义重大，特别是在计算一些高阶矩阵的时候，分块矩阵的应用带给我们很多方便。矩阵是一种新的运算对象，我们应该充分注意矩阵运算的一些特殊规律。为了研究问题的需要，适当地对矩阵进行分块，把一个大矩阵看成由一些小矩阵为元素组成的，这样可使矩阵的结构看的更清楚。矩阵的思想在线性代数证明、应用中是十分有用的。运用矩阵分块的思想，可使解题更简洁，思路更开阔。致 谢本文是在导师庄思发讲师的悉心指导下完成的。庄老师高尚的品格、渊博的知识、严谨的作风使我受益匪浅，在此谨向庄老师致以由衷的敬意、真诚的感谢和美好的祝愿。衷心感谢每一位教导过我的老师，使他们让我拥有良好的专业基础，因而有能力完成这一毕业论文。衷心感谢我身边的每一位好友。最后我要感谢我的父母和亲人的支持与鼓励。参考文献1周得润等.线性代数.北京：航空航天大学出版社，2002.32张禾瑞等.高等代数