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第四章 随机变量的数字特征一、教学要求 1理解随机变量的数学期望、方差的概念，并会运用它们的基本性质计算具体分布的期望、方差， 2掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的数学期望和方差 3会根据随机变量的概率分布计算其函数的数学期望；会根据随机变量的联合概率分布计算其函数的数学期望正 4理解协方差、相关系数的概念，掌握它们的性质，并会利用这些性质进行计算，了解矩的概念。 本章重点：随机变量的期望。方差、协方差、相关系数的计算二、知识要点 1数学期望 设是离散型的随机变量，其概率函数为如果级数绝对收敛，则定义的数学期望为； 设为连续型随机变量，其概率密度为，如果广义积分绝对可积，则定义的数学期望为 2随机变量函数的数学期望设为离散型随机变量，其概率函数如果级数绝对收敛，则的函数的数学期望为 设为二维离散型随机变量，其联合概率函数如果级数绝对收敛，则的函数的数学期望为； 特别地. 设为连续型随机变量，其概率密度为，如果广义积分 绝对收敛，则的函数的数学期望为 设为二维连续型随机变量，其联合概率密度为，如果广义积分绝对收敛，则的函数的数学期望为；特别地 ,. 3数学期望的性质 (1) (其中c为常数)； (2) (为常数)； (3) ； (4) 如果与相互独立，则. 4方差与标准差 随机变量的方差定义为计算方差常用下列公式： 当为离散型随机变量，其概率函数为如果级数收敛，则的方差为； 当为连续型随机变量，其概率密度为，如果广义积分收敛，则的方差为.随机变量的标准差定义为方差的算术平方根. 5方差的性质 (1) (c是常数)； (2) (为常数)； (3) 如果与独立，则. 6协方差 设为二维随机变量，随机变量的协方差定义为计算协方差常用下列公式：当时， 协方差具有下列性质： (1) (c是常数)； (2) ； (3) (是常数)； (4) 7相关系数随机变量的相关系数定义为相关系数反映了随机变量与之间线性关系的紧密程度，当越大，与之间的线性相关程度越密切，当时，称与不相关 相关系数具有下列性质： (1) ； (2) 的充要条件是，其中为常数； (3) 若随机变量与相互独立，则与不相关，即，但由不能推断与独立 (4) 下列5个命题是等价的： (i) ； (ii) ； (iii) ； (iv) )； (v) 利用协方差或相关系数可以计算 8原点矩与中心矩 随机变量的阶原点矩定义为； 随机变量的阶中心矩定义为； 随机变量的阶混合原点矩定义为； 随机变量的阶混合中心矩定义为 一阶原点矩是数学期望； 二阶中心矩是方差D(X)； 阶混合中心矩为协方差. 9常用分布的数字特征 (1) 当服从二项分布时， (2) 当服从泊松分布时， (3) 当服从区间上均匀分布时， (4) 当服从参数为的指数分布时， (5) 当服从正态分布时， (6) 当服从二维正态分布时，； 10分位数 设为任意一个随机变量，对于
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