《数学分析》(华师大二版)课本上的习题5.doc

P.94 习题1已知直线运动方程为。分别令，求从至这一段时间内运动的平均速度及时的瞬时速度。解 平均速度当时，当时， 当时， 瞬时速度2等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义。解 设旋转体时刻转过的角度为，若极限存在，则定义该极限值为旋转体在时刻的角速度。3设，试求极限解 4设，试确定，的值，使在可导。解 要使在可导，在必连续，于是必左连续。，从而。在的右导数。左导数为只要，则在的左导数与右导数相等，从而可导。这时5试确定曲线上哪些点的切线平行于下列直线：（1） （2）解 函数的导数，两直线平行的条件是斜率相等。（1）直线的斜率为1，于是由，得，所以曲线上点处的切线平行于直线。（2）直线的斜率为2，于是由，得，所以曲线上点处的切线平行于直线。6求下列曲线在指定点P 的切线方程与法线方程：（1） （2）解 （1）切线方程为：，法线方程：（2）切线方程为：，法线方程：7求下列函数的导数：（1） （2）解 （1）当时，；当时，；当时，所以。（2）当时，；当时，；当时，左导数与右导数不相等，所以在不可导。8设函数（m为正整数），试问：（1）m等于何值时，在连续；（2）m等于何值时，在可导；（3）m等于何值时，在连续。解 （1），故对任意正整数m，在连续。（2），故当时，在可导。（3）先计算的导函数。，由（2）知，于是当时，有，所以当时，在连续。9求下列函数的稳定点：（1） （2）解 （1），令，得稳定点为：，k为整数。（2），令，得稳定点为：10设函数在点存在左右导数，试证在点连续。证明 设函数在点存在左右导数，于是从而，即在点左连续。同理可证在点右连续。因而在点连续。11设，求解 （因为）12设是定义在R上的函数，且对任何，都有若，证明对任何，都有证明 在中令，可得.在中令，得，于是有，从而有 ，所以13证明：若存在，则证明 14证明：若函数在上连续，且，则在内至少有一点，使证明 因为，所以由函数极限的局部保号性，存在点的右邻域，使得当时，有，于是.又因为，所以也存在点的左邻域，使得当时，有，于是有，从而. 因为函数在上连续，于是在上连续，由闭区间上连续函数的介值定理，至少存在一点，使得.15设有一吊桥，其铁链成抛物线型，面端系于相距100米高度相同的支柱上，铁链之最低点在悬点下10米处，求铁链与支柱所成之角.解 建立坐标系如图，设铁链曲线为，由题意有于是. 铁链在悬点的切线斜率为，从而铁链与支柱所成之角为16在曲线上取一点，过的切线与该曲线交于，证明：曲线在处的切线斜率正好是在处切线斜率的四倍.证 曲线上点处的切线斜率为，过点的切线方程为. 该切线与曲线的交点满足：，于是有，从而. 所以曲线在点处的切线斜率为：，正好是在处切线斜率的四倍.P.103习题4对下列各函数计算（1） （2） （3）解 （1），（2）令，则，于是。从而，也可以如下进行：在两端分别对求导数，得，再令，.（3）令，则，于是。从而，6设为可导函数，证明：若时有，则必有或证明 因为，所以当时有，由题设，有，于是，从而或另证：当时由题设，有，于是，从而或P.105习题4证明曲线，（）上任一点的法线到原点距离等于.证明 曲线上点处的切线斜率为, 法线斜率为. 于是该点的法线方程可表示为. 从而原点到该法线的距离为5证明：圆（）上任一点的切线与向径的夹角等于向径的极角.证明 由教材P.105, 公式 (5), 切线与向径的夹角的正切为，所以切线与向径的夹角等于向径的极角.6求心形线的切线与切点向径之间的夹角.解 切线与切点向径之间的夹角的正切：，所以P.109习题2设函数在点处二阶可导，证明：若，则在处有证明 因为在点处二阶可导，所以在的某邻域内一阶可导，并且，在处有所以在处有3求下列函数的高阶导数 ，求解 由Leibniz公式，有5求下列函数的 n 阶导数： 因为，所以 因为，由Leibniz公式，得 解 因为 所以 解 其中，. 一般地可推得7研究函数在处的各阶导数.解 首先计算一阶导数：因为，所以当时，当时，. ，所以. 于是.其次计算二阶导数：当时，当时，. ，所以，从而.三阶导数：，所以不存在. 故, 当时, 不存在.8设函数在点三阶可导，且. 若存在反函数，试用，以及表示.解 ，所以9设 证明它满足方程 求解 由，于是有上式两端对求导，得 上式对求阶导数，得由，得；由，得；由，得；由，得. 从而有，10设 证明它满足方程（） 求解 用数学归纳法证明：由，于是有，即时，有假设时，有上式对求导数，得于是有 ，即当时，等式也成立. 在中的方程中令得. 再从，可得到，11证明 函数 在处阶可导且，其中为任意正整数.证明 用数学归纳法证明: , , 其中为次数不超过的多项式. 而对任何自然数, 有, 于是P.116 习题3求下列函数的高阶微分：（1）设，求解 因为所以 所以 （2）设，求解 因为所以 P.117 总练习题1设，证明： 证 证 用数学归纳法证明.2证明下列函数在处不可导： 证 ，所以在处不可导 证 左导数与右导数不相等，所以在处不可导.3 举出一个连续函数，它仅在已知点不可导；解 举出一个函数，它仅在点可导解 ，其中为Dirichlet函数.4证明： 可导的偶函数，其导函数为奇函数； 可导的奇函数，其导函数为偶函数； 可导的周期函数，其导函数为周期函数.证 设为可导的偶函数，即对任何有，两端分别对求导数，得，所以导函数为奇函数； 设为可导的奇函数，即对任何有，两端分别对求导数，得，所以导函数为偶函数； 设为可导的周期函数，即存在常数，使得对任何有，两端分别对求导数，得，所以导函数为以为周期的周期函数.5对下列命题，若认为是正确的，请给予证明；若认为是错误的，请举一反例予以否定： 设，若在点可导，则在点可导；解 此命题是错误的. 例如，设，其中是Dirichlet函数. 则处处可导，但处处不可导. 设，若在点可导，在点不可导，则在点一定不可导；证 反证法. 假设在点可导，由于在点可导，则在点可导，这与在点不可导矛盾. 设，若在点可导，则在点可导；解 此命题是错误的. 例如，设，则处处可导，但处处不可导. 设，若在点可导，在点不可导，则在点一定不可导.证 若，则在点一定不可导. 反证法. 假设在点可导，由于在点可导且，则在点可导，这与在点不可导矛盾若，