第1章信号与系统的基本概念-1.ppt

1 地位 信号与系统是电子信息科学与技术专业 电气工程及其自动化专业的一门重要的学科基础课 起到承上启下的作用 目的任务 主要是使学生掌握研究信号和线性系统理论的基本概念和基本分析方法 培养学生的全局观 系统观的科学思维方式 为后续课程学习打好基础 特点 系统性强 理论性强 应用性强 一 本课程地位 目的任务和特点 2 信号与系统 信号分析 研究信号的描述 运算 特性以及信号发生某些变化时其特性的相应变化 目的 揭示信号自身的特性 系统分析 分析给定系统在激励作用下产生的响应 分析过程 包括建立系统模型 用数学的方法求解由系统模型建立的系统方程 求得的系统响应 分析方法 时域 频域 复频域 二 拟解决的问题 3 1 着重掌握信号与系统分析的物理意义 将数学概念 物理概念结合 三 信号与系统课程学习方法 2 注意提出问题 分析问题和解决问题的方法 3 加强实践环节 通过上机训练加强对物理含义的理解 4 掌握一条主线 信号分解与系统的线性时不变性特性 4 四 内容组织安排 1 研究对象 2 分析方法 时域分析变换域分析 确定性信号线性时不变系统 3 数学模型 输入输出法 状态变量法 连续信号与系统离散信号与系统 5 1 本课程总共62学时 包括实验14学时 课堂教学48学时 2 本课程学习内容为第一章 第四章3 课堂纪律 提问 出勤 作业 抽 实验 4 关于考试 平时成绩30 期末成绩70 几点说明 6 第一章信号与系统的基本概念 1 0信号与系统1 1信号的描述和分类1 3信号的基本运算1 4阶跃信号和冲激信号1 5系统的描述1 6系统的特性和分类1 7信号与系统的分析方法 7 1 0信号与系统 思考 什么是信号 什么是系统 两者有何联系 一 信号的基本概念 1 消息 message 人们常把来自外界的各种报道称为消息 消息 反映知识状态的改变 2 信息 information 信息论中一个术语 通常把消息中有意义的内容称为信息 信息量 收到消息前对某事物的无知程度 收到消息后对某事物的无知程度 8 3 信号 signal 信号是信息的载体 是反映信息的物理量 1 0信号与系统 为有效传播和利用信息 常常把信息转换成便于处理的信号 信号无处不在 上下课打铃 声信号交通路口的红绿灯 光信号电视天线接收到的电视信号 电信号广告牌上接触到的文字 图像信息等 9 二 系统的概念 1 0信号与系统 定义 系统是指若干个相互间有联系的事物组合而成并且具有特定功能的整体 系统的作用 对输入信号进行加工和处理 将转换为所需要的输出信号 10 图1 0 2无线电广播系统的组成 一个实用系统由若干个子系统组成 每个子系统完成相对独立的一部分功能 通过所有子系统的共同作用完成系统的整体功能 11 1 1信号的描述和分类 1 1 1信号的描述 信号是消息的表现形式 是信息的物理体现 通常体现为随时间变化的某种物理量 信号按物理属性分 电信号和非电信号 它们可以相互转换 电信号的基本形式 随时间变化的电流或电压 描述信号的常用方法 1 表示为时间的函数 2 信号的图形表示 波形 信号 与 函数 两词常相互通用 12 1 1 2信号的分类 信号的分类方法很多 可以从不同角度对信号进行分类 按实际用途划分 电视信号 雷达信号 控制信号 通信信号 广播信号 按所具有的时间特性划分 1 确定信号与随机信号 2 连续信号与离散信号 3 周期信号与非周期信号 4 能量信号与功率信号 5 一维信号和多维信号 6 因果信号与反因果信号 7 实信号与复信号 8 左边信号与右边信号 13 1 确定信号与随机信号 确定信号 可用确定的时间函数表示的信号 对于某一时刻t 有确定的函数值 随机信号 取值具有不确定性的信号 如 电子系统中的起伏热噪声和雷电干扰等 图1 1 1噪声和干扰信号 14 2 连续信号与离散信号 根据信号自变量取值连续 离散的特点进行区分 连续时间信号 在连续的时间范围内 t 有定义的信号称为连续时间信号 简称连续信号 函数值为连续时常称为模拟信号 连续 指函数的定义域 时间是连续的 但可含间断点 至于值域可连续也可不连续 用t表示连续时间变量 值域不连续 值域连续 15 离散时间信号 仅在离散时刻点上有定义的信号称为离散时间信号 简称离散信号 表示为 16 3 周期信号与非周期信号 定义在 区间 每隔一定时间T 或整数N 按相同规律重复变化的信号 连续周期信号f t 满足 f t f t mT m 0 1 2 离散信号周期f k 满足 f k f k mN m 0 1 2 满足上式的最小T值 或整数N 称为该信号的周期 不具有周期性的信号为非周期信号 17 例1试判断下列信号是否为周期信号 若是 确定其周期 1 f1 t sin2t cos3t 2 f2 t cos2t sin t 两个周期信号x t y t 的周期分别为T1和T2 若其周期之比T1 T2仍为有理数 则它们的和信号依然是周期信号 其周期为T1和T2的最小公倍数 1 sin2t是周期信号 其角频率 1和周期T1为 sin3t是周期信号 其角频率 2和周期T2为 解 分析 18 由于T1 T2 3 2为有理数 故f1 t 为周期信号 其周期为T1 T2最小公倍数 2 cos2t和sin t的周期分别为T1 s T2 2s 由于T1 T2为无理数 故f2 t 为非周期信号 练习 试判断下列信号是否为周期信号 1 f1 t sin2t cos3t 3sin 4t 90o 19 4 能量信号与功率信号 将信号f t 施加于1 的电阻上 它所消耗的瞬时功率为 f t 2 在区间 的能量和平均功率定义为 1 信号的能量E 2 信号的功率P 若信号的能量有界 即0 E 则称其为能量有限信号 简称能量信号 此时P 0 若信号的功率有界 即0 P 则称其为功率有限信号 简称功率信号 此时E 20 离散信号f k 的能量和功率 若满足 的离散信号 称为能量信号 若满足 的离散信号 称为功率信号 一般规律 一般周期信号为功率信号 时限信号 仅在有限时间区间不为零的信号 为能量信号还有一些非功率 也非能量信号 21 5 一维信号与多维信号 一维信号 只由一个自变量描述的信号 如语音信号 多维信号 由多个自变量描述的信号 如图像信号 还有其他分类 因果信号与反因果信号实信号与复信号左边信号与右边信号等等 22 1 1 3典型的连续时间信号 信号将随时间而增长 信号将随时间而衰减 信号不随时间而变化 为直流信号 23 对时间的微 积分仍是同频率正弦 正弦信号是周期信号 其周期T与角频率w和频率f满足下列关系式 2 正弦信号 24 实部 虚部都为正 余 弦信号 指数因子实部 表征实部与虚部的正 余弦信号的振幅随时间变化的情况 表示信号随角频率变化的情况 25 Sa t 具有以下性质 与Sa t 函数类似的有sinc t 函数 此时t与Sa t 中差一 两符号通用 偶函数 26 1 3信号的基本运算 两信号的相加或相乘信号的时间变换信号的微分和积分 翻转平移尺度变换 展缩 27 一 两信号的相加相乘 例子 28 例子 同一瞬时两个信号对应值相乘 29 例 以纵坐标为轴翻转180o 把信号的过去与未来对调 1 翻转 将 称为对信号f 的翻转 t t 二 信号的时间变换 如 倒转磁带播放 30 例 若t0 或k0 0 信号f 右移 滞后 否则左移 超前 2 信号的平移 或移位 将称为对信号的平移 t 1 t 1 在雷达 声纳以及地震信号检测等问题中容易找到信号移位现象的实例 如在通信系统中 长距离传输电话信号中 可能听到回波 这是幅度衰减的话音延时信号 31 称为波形的压缩与扩展 或称尺度变换 3 尺度变换 a 1时 则波形沿横坐标压缩 若0 a 1 则展开 将 对于离散信号 由于f ak 仅在为ak为整数时才有意义 进行尺度变换时可能会使部分信号丢失 因此一般不作波形的尺度变换 32 解 例 已知f t 如图所示 画出f 3t 5 的波形 时移 标度变换 标度变换 时移 例题1 平移与展缩相结合举例 33 平移 翻转和展缩相结合举例 例题2 例已知f t 画出f 4 2t 思考有几种解法 翻转 得f 2t 4 右移4 得f t 4 压缩 得f 2t 4 34 先展缩 再平移 最后翻转 右移2 得f 2t 4 压缩 得f 2t 翻转 得f 2t 4 35 若已知f 4 2t 画出f t 展开 得f t 4 翻转 得f 2t 4 左移4 得f t 1 混合运算次序任意 一切运算对变量t2正向运算先平移 后翻转 展缩不易出错 逆运算反之 36 三 信号的导数和积分 1 导数 图1 3 9信号f1 t f2 t f3 t 的波形 在常规意义下 函数在间断点处的导数是不存在的 37 2 积分 产生另一个连续时间信号 其任意时刻t的信号值为f t 波形在 t 区间上所包含的净面积 a 信号f t b 信号的微分 c 信号的积分 38 39 四 信号的差分和迭分 差分运算 按照连续时间信号的导数定义 就离散信号而言 可用两个相邻序列值的差值代替 f t 用相应离散时间之差代替 t 并称这两个差值之比为离散信号的变化率 根据相邻离散时间选取方式的不同 离散信号变化率有如下两种表示形式 40 考虑到上面两式中 k 1 k k k 1 1 因此 相邻两个序列值的变化率也就是这两个序列值之差 故称该操作为差分运算 1 前向差分 2 后向差分 41 2 迭分运算 仿照连续时间信号积分运算的定义 在离散信号中 最小间隔 就是一个单位时间 即 1 可定义离散积分的运算为 42 信号与系统分析中 常遇到函数本身有不连续点 跳变点 或其导数与积分有不连续点的情况 这类函数称为奇异函数或奇异信号 通常将实际信号按某种条件理想化 即可运用理想模型进行分析 奇异信号分类 1 斜变信号 2 阶跃信号 最重要 3 冲激信号 最重要 4 冲激偶信号 1 4几种重要信号 43 1 斜变信号 斜变信号也称斜升信号 它是从某一时刻开始随时间正比例增长的信号 如果增长的变化率是1 就称为单位斜变信号 如果将起始点移至t0 则可写成 1 单位斜变信号 44 2 截平的斜变信号 在时间 以后斜变波形被切平 如图所示信号波形 45 3 三角形脉冲信号 三角形脉冲信号也可用斜变信号表示 46 二阶跃信号和冲激信号 右移t0 1 单位阶跃信号 47 单位阶跃函数的物理背景 在t 0 或t0 时刻对某一电路接入单位电源 直流电压源或直流电流源 并且无限持续下去 单位阶跃信号 延时的单位阶跃信号 1 单位阶跃信号 48 阶跃信号应用 1 可以方便地表示某些信号 f t 2 t 3 t 1 t 2 2 用阶跃函数表示信号的作用区间 3 积分 单位斜坡函数 49 当 0时 矩形脉冲的宽度趋于零 幅度趋于无限大而其面积仍等于1 我们将此信号定义为连续时间单位冲激信号 简称单位冲激信号或 函数 用 t 表示 即 2 单位冲激信号 50 图1 4 3单位冲激信号及移位信号 51 函数的另一种定义是 狄拉克 Dirac 函数值只在t 0时不为零 积分面积为1 t 0时 为无界函数 52 某些物理现象需要用一个时间极短 但取值极大的函数模型来描述 例如 力学中瞬间作用的冲击力 如打乒乓球 电学中的雷击电闪 数字通信中的抽样脉冲 等等 冲激函数可有不同的定义方式 由矩形脉冲演变为冲激函数 由三角形脉冲演变为冲激函数 还可利用指数函数 钟形函数 抽样函数 狄拉克 Dirac 函数等 2 单位冲激信号 53 单位冲激信号和阶跃信号之间的关系 54 将矩形脉冲p t 改写为 对上式两边取一阶导数 由于当 0时 p t t 故有 t 冲激偶信号 55 为了简便 仍用 函数符号表示冲激偶 并在符号旁标记 t 以示与 t 相区别 如图1 4 4所示 图1 4 4冲激偶信号 56 广义函数g t 可以理解为是对试验函数集 t 中的每个函数 t 按一定运算规则Ng分配 或指定 一个数值Ng t 的过程 三 广义函数和 函数性质 1 广义函数的基本概念 普通函数 如y f t 是对定义域中的每个自变量t 按一定的运算规则f指定一个数值y的过程 广义函数g t 的定义为 57 表1 1广义函数与普通函数的对应关系 注意 t 是普通函数 满足连续 有任意阶导数 且 t 及各阶导数在 t 时要比 t 的任意次幂更快的趋于零 58 广义函数的基本运算包括 59 3 尺度变换 60 2 函数的广义函数定义 按广义函数理论 函数定义为 当 0时 在 0 区间上 t 0 故有 61 t 和的广义函数定义是 表明与试验函数 t 作用后 t 是具有指定其积分值这样一种性质的函数 是具有指定导数值 这一性质的函数 62 性质1 函数与普通函数f t 相乘 若将普通函数f t 与广义函数 t 的乘积看成是新的广义函数 则按广义函数定义和 函数的筛选性质 有 3 函数的性质 63 根据广义函数相等的定义 得到 同理得到 重要结论 64 例1 4 1试化简下列各信号的表达式 65 性质2函数与普通函数f t 相乘 66 根据广义函数相等的定义 有 对上式两边在 区间取积分 同理 将换成 重复上述推导过程 67 性质3尺度变换 设常数a 0 按照广义函数尺度变换和微分运算的定义 可将表示为 68 根据广义函数相等的定义 可得到 当n 0和1时 分别有 1 4 32 69 若用t t0 a 取代t 70 性质4奇偶性 式 1 4 36 中 若取a 1 则可得 显然 当n为偶数时 有 当n为奇数时 有 71 例1 4 2计算下列各式 72 解 1 2 3 73 5 因为 所以 4 74 举例如图所示波形f t 求y t df t dt 解 75 五 阶跃序列和脉冲序列 单位阶跃序列 离散时间单位阶跃序列定义为 图1 4 5单位阶跃序列 76 2 单位脉冲序列 离散时间单位脉冲序列定义为 图1 4 6单位脉冲序列 77 性质 k 与 k 关系 78 1 5系统的描述一 系统及模型 1 系统的定义若干相互作用 相互联系的事物按一定规律组成具有特定功能的整体称为系统 2 系统模型 或描述 在一定条件下对实际系统基本特征的抽象描述 称为系统模型 系统模型也称系统描述 按描述方式不同 系统模型可以分为数学模型和图形结构模型 输入输出模型和状态空间模型 79 二 系统的输入输出描述 1 初始观察时刻 f y 含义1 以t k 为界将f 区分为历史输入f 和激励 当前输入 f 含义2 从 开始观察系统响应 80 2 连续系统输入输出描述 图示RLC电路 初始观察时刻t 0 以us t 作激励 uc t 作为响应 由KVL和VCR列方程 并整理得 1 解析描述 建立微分方程 二阶常系数线性微分方程 抽去具有的物理含义 微分方程写成 81 2 框图描述 上述方程从数学角度来说代表了某些运算关系 相乘 微分 相加运算 将这些基本运算用一些理想部件符号表示出来并相互联接表征上述方程的运算关系 这样画出的图称为模拟框图 简称框图 基本部件单元有 积分器 加法器 数乘器 积分器的抗干扰性比微分器好 82 系统模拟 实际系统 数学方程 模拟框图 实验室实现 模拟系统 指导实际系统设计 例1 已知y t ay t by t f t 画框图表示 解 将方程写为y t f t ay t by t 83 例2 已知y t 3y t 2y t 4f t f t 画框图 解 该方程含f t 的导数 可引入辅助函数画出框图 设辅助函数x t 满足x t 3x t 2x t f t 可推导出y t 4x t x t 它满足原方程 84 例3 已知框图 写出系统的微分方程 设辅助变量x t 如图 x t x t x t x t f t 2x t 3x t 即x t 2x t 3x t f t y t 4x t 3x t 根据前面 逆过程 得 y t 2y t 3y t 4f t 3f t 85 3 离散系统输入输出描述 1 解析描述 建立差分方程 例 某人每月定期在银行存入一定数量的款f k 月息为 元 月 求k个月后存折上的存款总数y k 解 设k个月后的款数为y k 这个月的存入款为f k 上个月的款数为y k 1 利息为 y k 1 则y k y k 1 y k 1 f k 即y k 1 y k 1 f k 若设开始存款月为k 0 则有y 0 f 0 上述方程就称为y k 与f k 之间所满足的差分方程 所谓差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程 输出序列项变量最高序号与最低序号的差数 称为差分方程的阶数 上述为一阶差分方程 86 由n阶差分方程描述的系统称为n阶离散系统 描述LTI离散系统的输入输出方程是线性常系数差分方程 2 框图描述 基本部件单元有 数乘器 加法器 迟延单元 移位器 87 例 已知框图 写出系统的差分方程 解 设辅助变量x k 如图 x k x k 1 x k 2 即x k 2x k 1 3x k 2 f k y k 4x k 1 5x k 2 消去x k 得y k 2y k 1 3y k 2 4f k 1 5f k 2 x k f k 2x k 1 3x k 2 方程 框图用变换域方法和梅森公式简单 后面讨论 88 三 系统的状态空间描述 系统的状态空间描述除与外部变量f 和y 有关外还涉及内部变量x 状态变量 描述方程由状态方程和输出方程组成 系统响应 完全响应零输入响应零状态响应 89 补充 电路的响应 90 R C电路的零状态响应 充电 91 R C电路的零输入响应 放电 92 可以从多种角度来观察 分析研究系统的特性 提出对系统进行分类的方法 一 连续系统与离散系统 若系统的输入信号是连续信号 系统的输出信号也是连续信号 则称该系统为连续时间系统 简称为连续系统 若系统的输入信号和输出信号均是离散信号 则称该系统为离散时间系统 简称为离散系统 1 6系统的特性及分类 93 二 动态系统与即时系统 若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关 而且与它过去的历史状况有关 则称为动态系统或记忆系统 含有记忆元件 电容 电感等 的系统是动态系统 否则称即时系统或无记忆系统 三 单输入单输出系统与多输入多输出系统 单输入输出系统 系统具有单个输入和输出 多输入输出系统 系统具有多个输入和输出 94 四 线性系统与非线性系统 满足线性性质的系统称为线性系统 1 线性性质 系统的激励f 所引起的响应y 可简记为y T f 线性性质包括两方面 齐次性和叠加性 若系统的激励f 增大a倍时 其响应y 也增大a倍 即T af aT f 则称该系统具有齐次性 若系统对于激励f1 与f2 共同作用时的响应等于各个激励单独作用时产生的响应之和 即T f1 f2 T f1 T f2 则称该系统具有叠加性 95 若系统既有齐次性又有叠加性 就称该系统具有线性性质 即T af1 bf2 aT f1 bT f2 2 动态系统是线性系统的条件 当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统 可分解性y yzi yzs T x 0 0 T 0 f 零输入线性T ax 0 0 aT x 0 0 T x1 0 x2 0 0 T x1 0 0 T x2 0 0 或T ax1 0 bx2 0 0 aT x1 0 0 bT x2 0 0 96 零状态线性T 0 af aT 0 f T 0 f1 t f2 t T 0 f1 T 0 f2 或T 0 af1 t bf2 t aT 0 f1 bT 0 f2 97 例1 判断下列系统是否为线性系统 1 y t 3x 0 2f t x 0 f t 1 2 y t 2x 0 f t 3 y t x2 0 2f t 解 1 yzs t 2f t 1 yzi t 3x 0 1 显然y t yzs t yzi t 不满足可分解性 故为非线性 2 yzs t f t yzi t 2x 0 由于y t yzs t yzi t 满足可分解性 但是T af t 0 af t ayzs t 不满足零状态线性 故为非线性系统 3 yzs t 2f t yzi t x2 0 满足可分解性 由于T 0 ax 0 ax 0 2 ayzi t 不满足零输入线性 故为非线性系统 98 例2 判断下列系统是否为线性系统 解 y t yzs t yzi t 满足可分解性 T af1 t bf2 t 0 aT f1 t 0 bT f2 t 0 满足零状态线性 T 0 ax1 0 bx2 0 e t ax1 0 bx2 0 ae tx1 0 be tx2 0 aT 0 x1 0 bT 0 x2 0 满足零输入线性 所以 该系统为线性系统 99 五 时不变系统与时变系统 1 时不变性质 若系统满足输入延迟多少时间 其零状态响应也延迟多少时间 即若T 0 f t yzs t 则有T 0 f t td yzs t td 系统的这种性质称为时不变性 或移位不变性 2 时不变 时变系统具有时不变性质的系统称为时不变系统 否则称为时变系统 100 例 判断下列系统是否为时不变系统 1 yf k f k f k 1 2 yf t tf t 3 yf t f t 解 1 令g k f k kd T 0 g k g k g k 1 f k kd f k kd 1 而yzs k kd f k kd f k kd 1 显然T 0 f k kd yzs k kd 故该系统是时不变的 2 令g t f t td T 0 g t tg t tf t td 而yzs t td t td f t td 显然T 0 f t td yzs t td 故该系统为时变系统 101 3 令g t f t td T 0 g t g t f t td 而yzs t td f t