第1节-向量及其线性运算分解.ppt

52 1 第七章空间解析几何与向量代数 第一节向量及其线性运算 第二节数量积向量积 混合积 第三节曲面及其方程 第四节空间曲线及其方程 第五节平面及其方程 第六节空间直线及其方程 52 2 数量关系 第七章 第一部分向量代数 第二部分空间解析几何 在三维空间中 空间形式 点 线 面 基本方法 坐标法 向量法 坐标 方程 组 空间解析几何与向量代数 52 3 本章的主要内容 1 空间直角坐标系2 向量代数向量代数的基本概念 向量 空间一点的矢径 向量的模 单位向量 向量的方向余弦向量的基本运算 向量的加减法 向量的数乘 实数与向量相乘 向量的数量积 点乘 内积 向量的向量积 叉乘 外积 向量的基本性质3 空间平面平面方程 点法式 一般式 截距式 两平面间的关系 点到平面的距离 52 4 本章的主要内容 4 空间直线直线方程 标准式 参数式 一般式 两点式 两直线间的关系 直线与平面的关系5 空间曲面一般方程 柱面方程 旋转曲面方程 常见的二次曲面6 空间曲线一般方程 参数方程 空间曲线在坐标面上的投影曲线 52 5 难点 1 向量积与混合积 2 分析建立轨迹方程应满足的条件3 利用向量积 平面束等知识解题4 熟悉截痕法用于画出方程所表示的图形 52 6 四 利用坐标作向量的线性运算 第一节 一 向量的概念 二 向量的线性运算 三 空间直角坐标系 五 向量的模 方向角 投影 向量及其线性运算 第七章 52 7 教学目的 了解向量的概念 掌握向量的加减法运算及向量与数的乘法运算及性质 了解向量在轴上的投影 向量的分量及向量的坐标 向量的模及方向余弦的坐标表示式 了解空间直角坐标系的概念 掌握空间的点与三元有序数组之间的一一对应关系 52 8 基本要求 完成向量的加法及向量与数的乘法运算的有关练习 给定两非零向量能用几何方法迅速作出他们的差 了解坐标面上的点 坐标轴上的点 关于坐标面对称的点 关于坐标轴对称的点 关于原点对称的点的特征 会用向量的坐标进行向量的加 减法运算 会用向量的坐标计算向量的数乘 模 方向余弦 给定一个非零向量会求与其同方向的单位向量等 52 9 注意事项 熟悉概念 向量 向径 自由向量 向量相等 向量的模 单位向量 零向量 两向量平行 掌握向量的加法及向量与数的乘法运算 了解一非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量 空间直角坐标系 建立三维空间的最基本的几何元素 点与有序数组之间的联系 从而可以用代数方法来研究几何问题 对于向量的运算 加 减 数乘 模 方向余弦及将要学习的内积 向量积 就可以转换为向量的坐标之间的数的运算 52 10 一 向量概念 既有大小 又有方向的量叫做向量 向量 有向线段的长度表示向量的大小 有向线段的方向表示向量的方向 向量用一条有方向的线段 称为有向线段 表示 向量的表示法 52 11 一 向量概念 既有大小 又有方向的量叫做向量 向量 向量可用粗体字母 或加箭头的书写体字母表示 向量用一条有方向的线段 称为有向线段 表示 向量的表示法 与起点无关的向量 称为自由向量 简称向量 自由向量 52 12 如果向量a和b的大小相等 且方向相同 则说向量a和b是相等的 记为a b 相等的向量经过平移后可以完全重合 向量的相等 52 13 向量的模向量的大小叫做向量的模 单位向量模等于1的向量叫做单位向量 零向量 零向量的起点与终点重合 它的方向可以看作是任意的 如果向量a和b的大小相等 且方向相同 则说向量a和b是相等的 记为a b 向量的相等 52 14 向量的平行两个非零向量如果它们的方向相同或相反 就称这两个向量平行 向量a与b平行 记作a b a b c 零向量认为是与任何向量都平行 当两个平行向量的起点放在同一点时 它们的终点和公共的起点在一条直线上 因此 两向量平行又称两向量共线 共线向量与共面向量 52 15 向量的平行两个非零向量如果它们的方向相同或相反 就称这两个向量平行 向量a与b平行 记作a b 零向量认为是与任何向量都平行 共线向量与共面向量 当两个平行向量的起点放在同一点时 它们的终点和公共的起点在一条直线上 因此 两向量平行又称两向量共线 设有k k 3 个向量 当把它们的起点放在同一点时 如果k个终点和公共起点在一个平面上 就称这k个向量共面 52 16 二 向量的线性运算 设有两个向量a与b 平移向量 使b的起点与a的终点重合 则从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和 记作a b 即c a b 1 向量的加法 c a b 三角形法则 平行四边形法则 52 17 向量的加法的运算规律 1 交换律a b b a 2 结合律 a b c a b c 52 18 向量的减法向量b与a的差规定为b a b a 负向量 三角不等式 a b a b a b a b 等号在b与a同向或反向时成立 与向量a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量 记为 a 52 19 当 0时 a 0 即 a为零向量 向量a与实数 的乘积记作 a 规定 a是一个向量 它的模 a a 它的方向当 0时与a相同 当 0时与a相反 2 向量与数的乘法 当 1时 有 1 a a 当 1时 有1a a 52 20 1 结合律 a a a 2 分配律 a a a a b a b 向量与数的乘积的运算规律 向量的单位化 于是a a ea 当 0时 a 0 即 a为零向量 向量a与实数 的乘积记作 a 规定 a是一个向量 它的模 a a 它的方向当 0时与a相同 当 0时与a相反 2 向量与数的乘法 当 1时 有 1 a a 当 1时 有1a a 设a 0 则向量是与a同方向的单位向量 记为ea 52 21 于是 解 由于平行四边形的对角线互相平分 所以 52 22 例2化简 解 52 23 例3试证 任一个三角形的三条中线向量可以构成一个三角形 证 A B C D E F 52 24 设向量a 0 那么 向量b平行于a的充分必要条件是 存在唯一的实数 使b a 定理1 向量平行的充要条件 给定一个点O及一个单位向量i就确定了一条数轴Ox 并且轴上的点P与实数x有一一对应的关系 点P 实数x 实数x称为轴上点P的坐标 数轴与点的坐标 52 25 说明 三 空间直角坐标系 空间直角坐标系 y轴 z轴 原点 x轴 在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i j k 就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴 依次记为x轴 横轴 y轴 纵轴 z轴 竖轴 统称为坐标轴 它们构成一个空间直角坐标系 称为Oxyz坐标系 2 数轴的的正向通常符合右手规则 1 通常把x轴和y轴配置在水平面上 而z轴则是铅垂线 52 26 在空间直角坐标系中 任意两个坐标轴可以确定一个平面 这种平面称为坐标面 坐标面 三个坐标面分别称为xOy面 yOz面和zOx面 52 27 在空间直角坐标系中 任意两个坐标轴可以确定一个平面 这种平面称为坐标面 坐标面 三个坐标面分别称为xOy面 yOz面和zOx面 卦限坐标面把空间分成八个部分 每一部分叫做卦限 分别用字母I II III IV等表示 52 28 面 面 面 空间直角坐标系共有三个坐标面 八个卦限 52 29 各卦限中点的坐标的特点 52 30 向量的坐标分解式 以OM为对角线 三条坐标轴为棱作长方体 有 52 31 向量的坐标分解式 上式称为向量r的坐标分解式 xi yj zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量 点M 向量r与三个有序x y z之间有一一对应的关系 任给向量r 存在点M及xi yj zk 使 有序数x y z称为向量r的坐标 记作r x y z 有序数x y z也称为点M的坐标 记为M x y z 52 32 向量的坐标分解式 上式称为向量r的坐标分解式 xi yj zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量 任给向量r 存在点M及xi yj zk 使 有序数x y z称为向量r的坐标 记作r x y z 有序数x y z也称为点M的坐标 记为M x y z 向量称为点M关于原点O的向径 52 33 坐标面上和坐标轴上的点 其坐标各有一定的特征 例如 点M在yOz面上 则x 0 点M在zOx面上的点 y 0 点M在xOy面上的点 z 0 点M在x轴上 则y z 0 点M在y轴上 有z x 0 点M在z轴上的点 有x y 0 点M为原点 则x y z 0 坐标轴上及坐标面上点的特征 52 34 提示 a axi ayj azk b bxi byj bzk a b ax bx i ay by j az bz k a b ax bx i ay by j az bz k a ax i ay j az k 设a ax ay az b bx by bz 则 a ax ay az a b ax bx ay by az bz 四 利用坐标作向量的线性运算 52 35 解 如同解二元一次线性方程组 可得 x 2a 3b y 3a 5b 以a b的坐标表示式代入 即得 x 2 2 1 2 3 1 1 2 7 1 10 y 3 2 1 2 5 1 1 2 11 2 16 设a ax ay az b bx by bz 则 a ax ay az a b ax bx ay by az bz 52 36 利用坐标判断两个向量的平行 设a ax ay az 0 b bx by bz 因为b a b a 即b a bx by bz ax ay az 所以b a 设a ax ay az b bx by bz 则 a ax ay az a b ax bx ay by az bz 52 37 解 例5已知两点A x1 y1 z1 和B x2 y2 z2 以及实数 1 这就是点M的坐标 由于 52 38 五 向量的模 方向角 投影 1 向量的模与两点间的距离公式 按勾股定理可得 有 OP x OQ y OR z 于是得向量模的坐标表示式 52 39 1 向量的模与两点间的距离公式 设向量r x y z 作 则 设有点A x1 y1 z1 和点B x2 y2 z2 则 x2 y2 z2 x1 y1 z1 x2 x1 y2 y1 z2 z1 于是点A与点B间的距离为 52 40 例6求证以M1 4 3 1 M2 7 1 2 M3 5 2 3 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形 1 向量的模与两点间的距离公式 设向量r x y z 作 则 设有点A x1 y1 z1 和点B x2 y2 z2 则 所以 M2M3 M1M3 即DM1M2M3为等腰三角形 M1M3 2 6 5 4 2 2 3 2 3 1 2 6 5 7 2 2 1 2 3 2 2 M2M3 2 14 7 4 2 1 3 2 2 1 2 M1M2 2 解 因为 52 41 例7在z轴上求与点A 4 1 7 和B 3 5 2 等距离的点 1 向量的模与两点间的距离公式 设向量r x y z 作 则 设有点A x1 y1 z1 和点B x2 y2 z2 则 即 0 4 2 0 1 2 z 7 2 设所求的点为M 0 0 z 解 依题意有 MA 2 MB 2 3 0 2 5 0 2 2 z 2 52 42 解 设P点坐标为 所求点为 52 43 例9已知两点A 4 0 5 和B 7 1 3 求与方向相同的单位向量e 解 52 44 2 方向角与方向余弦 两个向量的夹角 当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时 两个向量之间的不超过 的夹角称为向量a与b的夹角 记作 a b 或 b a 如果向量a与b中有一个是零向量 规定它们的夹角可以在0与 之间任意取值 类似地 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角 52 45 向量的方向角和方向余弦 非零向量r与三条坐标轴正向的夹角 称为向量方向角 cos cos cos 称为向量r的方向余弦 设r x y z 则 显然 以向量r的方向余弦为坐标的向量就是与r同方向的单位向量er cos2 cos2 cos2 1 因此 52 46 解 例10 52 47 3 向量在轴上的投影 设点O及单位向量e确定u轴 再过点M作与u轴垂直的平面交u轴于点M 则向量 Prjur或 r u 52 48 3 向量在轴上的投影 52 49 向量a在直角坐标系Oxyz中的坐标ax ay