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图论及应用作业图论作业第一章4.证明:将图1-28的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图作映射f : f(vi)ui (1 i 10)容易证明，对vivjE(a),有f(vivj)=uiujE(b) (1 i 10, 1j 10 )由图的同构定义知，图1-27的两个图是同构的。6. 证明:必要性 若G为非完全图，则$ vV(G),有d(v) n-1 d(v) n(n-1) 2mn(n-1) m n(n-1)/2=, 与已知矛盾！ 充分性 若G为完全图，则 2m= d(v) =n(n-1) m= 。9. 证明:由于G为k正则偶图，所以，k| V1 | =m = k| V2 | V1= V2 。12. 证明:2,在图G中任取一点u，则d(u)2.存在u1u与u相邻接。由于d(u) 2，则存在u2u与u1邻接，由于图是有限图，如此下去定会返回u，由圈的定义可知图G包含圈。17.证明：设u、v是G的任意两个顶点。若u和v在G中不邻接，则在 中他们邻接。若u和v在G中邻接，他们属于G的同一分支。在另一个分支中有一点w，在 中u和v均与w邻接，即uwv是一条通路，故 是连通图。第二章2.证明：由题意可知如果一棵树恰有两个1度的顶点，则其他顶点的度必为2（如果树其他顶点至少有一个大于2，则该树度为1的顶点树必然大于2），连通的无圈图称为树，一棵树恰有两个1度的顶点而且其他顶点的度数为2，显然这样的树均是路。16.对于（1）和（2）都可以用Kruskal算法。具体用法是：对（1）有两种方法：把Kruskal算法中的“小”字换为“大”字。重新规定图的权为： W(e)=1/w(e) 当w(e)0M（充分大） 当w(e)0这样就可直接用Kruskal算法。对于（2），只需要对G的每一分支施行Kruskal算法。第三章3.（1）（2）G是块，任取G的一点u，一边e，在e边插入一点v，使得e成为两条边，由此得到新图G1，显然G1的是阶数大于3的块，由定理，G中的u,v位于同一个圈上，于是G1中u与边e都位于同一个圈上。（2）（3）G无环，且任意一点和任意一条边都位于同一个圈上，任取G的点u，边e，若u在e上，则三个不同点位于同一个闭路，即位于同一条路，如u不在e上，由定理，e的两点在同一个闭路上，在e边插入一个点v，由此得到新图G1，显然G1的是阶数大于3的块，则两条边的三个不同点在同一条路上。（3）（1）G连通，若G不是块，则G中存在着割点u，划分为不同的子集块V1，V2，V1，V2无环，xv1，yv2，点u在每一条
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