高中数学第二章平面向量2.3从速度的倍数到数乘向量2.3.1数乘向量优化训练北师大版.docx

2.3 从速度的倍数到数乘向量2.3.1 数乘向量5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.下列等式中不正确的是( )A.+=0 B.-=C.0=0 D.（a）=a解析：选项A说明首尾相连的向量之和为0，还可推广到n个向量首尾相连.对零向量的运算有明确规定，另外运算律也要熟练掌握.00.答案：C2.化简：（1）5（3a-2b）+4（2b-3a）； （2）6（a-3b+c）-4（-a+b-c）；（3）（x-y）（a+b）-（x-y）（a-b）； （4）（a+2b）+（3a-2b）-（a-b）.解：（1）5（3a-2b）+4（2b-3a）=15a-10b+8b-12a=3a-2b；（2）6（a-3b+c）-4（-a+b-c）=6a-18b+6c+4a-4b+4c=10a-22b+10c；（3）（x-y）（a+b）-（x-y）（a-b）=xa+xb-ya-yb-xa+xb+ya-yb=2（x-y）b；（4）（a+2b）+（3a-2b）-（a-b）=（）a+（）b=a+b.3.已知两个非零向量a、b，试作=a+b，=a+2b，=a+3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？解：分别作向量、，过点A、C作直线AC，观察发现，不论向量a、b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A、B、C三点共线.事实上，因为=-=a+3b-（a+2b）=b，而=-=a+3b-（a+b）=2b，于是=2，所以，A、B、C三点共线.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知菱形的两邻边=a，=b，其对角线交点为D，则等于( )A.a+b B.a+b C.(a+b) D.a+b解析：由平行四边形法则及平行四边形的性质可得出答案.答案：C2.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括A、C点），则等于( )A.（+），（0，1） B.（+），（0，）C.（-），（0，1） D.（-），（0，）解析：由题意，知=+，又点P在AC上，故存在实数（0，1）使=.答案：A3.若3m+2n=a，m-3n=b，其中a、b是已知向量，求m、n.解：3m+2n=a， m-3n=b， 3,得3m-9n=3b. -,得11n=a-3b.n=. 将代入得m=b+3n=.4.在平行四边形ABCD中，=a，=b，求、.解法一：利用平行四边形的性质得=a，=b.=+=-，=a-b.又=+，=，=a+b.解法二：将、视为未知量，由向量的加法、减法得：+=，-=.两式相加得2=+，=+=a+b.两式相减得2=-，=-=a-b.5.用向量方法证明：三角形两边中点连线平行于第三边，且其长度等于第三边长度的一半.证明：如图，已知ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点.求证：DEBC，且DE=.D、E分别是边AB、AC的中点，=，=.=-=（-）=.又D不在BC上，DEBC，且DE=.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.已知正方形ABCD的边长为1，=a，=b，=c，则a+b+c的模等于( )A.0 B.3 C. D.解析：由四边形ABCD为正方形，可知+=，即a+b=c，所以a+b+c=2c.又|=，故a+b+c的模为.答案：C2.已知|=|=1且向量与不共线，则与BAC的平分线共线的向量是( )A. B.+ C.- D.解析：由|=|=1且与不共线，可知以AB、AC为边的平行四边形为菱形，由菱形的性质和向量加法的平行四边形法则可解此题.分析知选B.答案：B3.已知ABC中，点D在BC边上，且=2，=r+s，则r+s的值是( )A. B. C.-3 D.0解析：=2，=r+s.又+=0，-=0，即-r-s-=0.（1-r）-（s+1）=0，即答案：D4.已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P，若+=，则点P与ABC的关系为( )A.P在ABC的内部 B.P在ABC的外部C.P在AB边或其延长线上 D.P在AC边上且是AC的一个三等分点解析：由+=，得+=-，即2=-.=2.由向量的数乘的几何意义知选D.答案：D5.如图2-3-1，在ABC中，BD=DC，AE=3ED，若=a，=b，则等于( )图2-3-1A.b+a B.b-a C.b+a D.b-a解析：=-=-=（+）-=+=+（-）=-=b-a.答案：B6.已知a与b是不共线向量，实数x、y满足3xa+（10-y）b=2xb+（4y+7）a，则x+y=_.解析：a、b不共线且3xa+（10-y）b=2xb+（4y+7）a，3x=4y+7，10-y=2x.解得x=.故x+y=.答案：7.在平行四边形ABCD中，设对角线=a，=b，试用a、b表示、.解法一：设AC、BD交于点O，则=a，同理，=b.=+=-=a-b.同理，=a+b.解法二：设=x，=y，那么+=，-=，即a=x+y，b=y-x.x=（a-b），y=（a+b），即=a-b，=a+b.8.若O、A、B三点不共线，已知=m+n，m、nR，且m+n=1，那么点P的位置如何?请说明理由.解：由已知=m+n=m+（1-m）=+m（-），-=m（-），即=m.与共线，即点P在直线上.说明：由此题可猜想，P、A、B三点共线的充要条件是：存在实数、使=+，且+=1.9.如图2-3-2，D、E、F分别为ABC的边BC、CA、AB的中点