三维问题有限元分析(包括轴对称问题)ppt课件

第六章三维问题有限元分析 讲授 陈得良TelQ 416501065Email deliang chen 1 四教学基本内容 第五章三维问题有限元分析第一节三维应力状态第二节4节点四面体单元第三节8节点六面体等参单元第四节20节点等参单元第五节ansys空间问题实例第六节空间轴对称问题有限元法第七节Ansys轴对称旋转问题实例 2 工程实际中的很多问题难于简化为平面问题 如受任意空间载荷作用的任意形状几何体 受对称于轴线载荷作用的回转体 这类问题经典弹性力学往往无能为力 在FEM中 空间问题只要求0阶连续 因此构造单元方便 空间问题简介 3 空间问题的主要困难 1 离散化不直观 网格自动生成 2 分割的单元数量多 未知量的数目剧增 对某些问题简化 轴对称问题 空间分析的优点精确 4 6 1三维应力状态 工程结构一般都是空间的弹性体 受力作用后 其内部各点将沿x y z坐标轴方向产生位移 是三维空间问题 其应力状态如图6 1所示 图6 1空间结构应力状态 各点沿x y z方向的位移以u v w表示 这些位移为各点坐标的函数 即 u u x y z v v x y z w w x y z 5 由弹性力学知 应变与位移间的几何关系是 6 1 三维弹性体的应变分量 用矩阵表示为 6 2 6 弹性体受力作用 内部任意一点的应力状态也是三维的 用列向量表示为 在线弹性范围内 应力与应变间的物理关系矩阵表达式为 对于各向同性弹性体 在三维应力状态下 弹性矩阵的形式为 6 3 6 4 7 1 空间问题常用单元 四面体单元 长方体单元 直边六面体单元 曲边六面体单元 轴对称单元 4结点四面体单元 是空间问题最简单的单元 也是常应变 常应力单元 可以类似平面问题三结点三角形单元进行分析 8结点长方体单元 可以类似平面四结点矩形单元进行分析 8结点直边六面体单元 可以类似平面四结点任意四边形等参元分析 20结点曲边六面体单元 等参单元 可以类似平面八结点曲边四边形等参元进行分析 轴对称单元 一平面单元绕一对称轴旋转形成的空间问题 只需在rz平面划分网格 就像平面问题xy平面中的网格一样 这样这类空间问题可以得到简化 环向位移等于零 2 结点位移3个分量 3 基本方程比平面问题多 3个平衡方程 6个几何方程 6个物理方程 8 6 2四节点四面体单元 图6 2表示任一简单四面体单元 其中四个结点编号设为i j m n 或1 2 3 4 单元变形时 各结点沿x y z方向上的位移 以列向量表示为 图6 2四面体单元 8 单元变形时 单元内各点也有沿x y z方向的位移u v w 一般应为坐标x y z的函数 对于这种简单的四面体单元 其内部位移可假设为坐标的线性函数 为满足变形协调条件 取为 6 5 式 6 5 含有12个待定系数a 可由单元的12项结点位移决定 将4个结点的坐标值代入式 6 5 的u式中 i j m n共4个结点 分别有 6 6 1单元形函数 9 其中 式中 V为四面体的体积 且有 6 7 由式 6 6 求出 再代回式 6 5 中 整理后得 10 为使四面体的体积V不为负值 在右手坐标系中 使右手旋转按着由i j m的转向转动时 且法向n方向前进 用求位移u的同样方法 可求得 将位移的3个线性方程形成的线性方程组用矩阵表示为 6 8 式中 6 9 11 2单元刚度矩阵 将式 6 8 代入几何方程式 6 2 经过微分运算 可得单元内应变为 6 10 式中 6 11 简单四面体单元内 各点的应变都是一样的 这是一种常应变单元 是三维单元中精度最低的单元 这一点与平面问题的简单三角形单元相似 由于单元内位移都假定为线性变化的 因而由位移一阶导数组成的应变也为常量 12 同样 用虚功原理建立结点力和结点位移间的关系式 从而得出简单四面体单元的刚度矩阵 6 12 6 13 按结点分块表示 此单元刚度矩阵可表示为 6 14 13 r i j m n S i j m n 6 15 式中 弹性体三维 空间 问题的原始平衡方程组 即 其中 其中任一子矩阵为 14 3整体结构载荷列向量 整体结构的结点载荷列向量 6 16 式中 单元上集中力等效结点载荷列向量 单元上表面力等效结点载荷列向量 单元上体积力等效结点载荷列向量 单元结点载荷列向量 等效结点力公式为 式中 15 6 38节点六面体等参单元 8 x5 y5 z5 7 如同二维等参单元一样 三维等参单元的有关公式的建立也是采用局部自然坐标 曲面坐标 可参考的母体单元则为一正六面体 图6 3则表示了任意六面体单元与母体单元 局部的三维自然坐标与整体的直角坐标系的几何关系 母体单元 任意六面体单元 对面不全平行 图6 38结点三维等参单元 16 用形函数表示的位移插值形式的位移模式 可以直接利用拉格朗日插值公式 得到单元位移函数为 根据等参单元的定义 自然坐标与整体直角坐标之间的关系可以写为 其中形函数为 例 其中为节点坐标值 角点 17 由节点位移求单元应变时 他要求形函数在整体坐标下的导数 但形函数是建立在局部坐标下的 这就需要将局部坐标中的表达式转换到整体坐标系中 如同平面等参单元一样 需要通过雅克比矩阵来实现 由偏导法则 同理可得 写成矩阵 18 求单元刚度矩阵 尚需对积分的单元体积进行积分变换 反之 有了上式很容易得到单元的应变应力矩阵 19 6 420结点等参元 为适应三维结构的曲面边界 可以采用曲面六面体单元 正方体基本单元内任一点与实际曲面单元内的点一一对应 结点也一一对应 这里 实际单元边界线中间的结点9 10 20 都 映射 成为正方体的棱边中点 8结点单元是线性单元 其位移模式是三维线性的 在8结点单元的基础上每边增加一个中点作为节点就构成了20节点单元 此时六面体单元每条边上有3个节点 他们既可以是直线的 也可以是曲线的 因此每个面也可以是平面的 也可以是曲面的 1形状函数 20 a 直角坐标系与实际单元 b 自然坐标系与基本单元 图6 320结点三维等参单元 位移函数和几何坐标的变换式应取为相同的参数 其坐标变换关系可表示为 6 17 则单元的位移函数可写成 21 6 18 在自然坐标系 局部坐标系 中 各结点的形状函数可写成如下形式 对于8个顶角结点 i 1 2 8 式中xi yi zi 结点i的坐标 ui vi wi 结点i沿x y z方向的位移 Ni 对应于i结点的形状函数 22 对于的边上点 i 17 18 19 20 6 19 对于的边上点 i 9 11 13 15 对于的边上点 i 10 12 14 16 23 2单元刚度矩阵 三维变形状态下 一点的应变与位移的几何关系为 6 20 24 6 22 为便于以下计算 弹性矩阵 D 可分块写为 6 23 令 则 为60 60的方阵 可按结点写为子块形式 25 式中第i行j列的子矩阵为 6 24 将 6 20 6 22 分块式代入 6 23 其被积函数可写为 6 25 式中 与式 5 9 相似 按坐标变换式 6 17 应有 26 同样可有 6 26 三维六面体的雅可比矩阵为 6 27 同理可采用三维高斯求积公式计算单元刚度矩阵 即 27 式中 L M N为沿 方向的积分点数目 而积分点坐标及权重可由高斯积分表查得 对于20节点的三维单元 通常可取积分点数目m 3 即3 3 3 查表可得对应的积分点坐标和权重为 28 参照方法 可以很方便的得到另外两个方向的积分点坐标值和权重 29 6 5ANSYS空间问题示例 1问题描述 如图6 4所示 一个圆柱实体 柱高0 2m 圆柱横截面直径为0 1m 约束方式 底面全约束 承受载荷 A点承受Z方向集中载荷Fz 5000N和Y方向集中载荷Fy 5000N B点承受X方向集中载荷Fx 5000N C点承受Z方向集中载荷Fz 5000N D点承受X方向集中载荷Fx 5000N 弹性模量为EX 210GP 泊松比 0 3 2ANSYS求解操作过程 30 1 选择单元类型运行Preprocessor ElementType Add Edit Delete 弹出ElementTypes对话框 如图6 5所示 然后单击Add 弹出LibraryofElementTypes窗口 如图6 6所示 选择SOLID45单元 单击OK 图6 5单元类型对话框 图6 6单元类型库对话框 31 2 设置材料属性运行Preprocessor MaterialProps MaterialModels 弹出如图6 7所示对话框 双击Isotropic 弹出LinearIsotropicPropertiesforMaterialNumber1对话框 如图6 8所示 在EX选项栏中设置数值2 1e11 在PRXY选项栏中设置数值0 3 设置完毕单击OK按钮 图6 7选择材料属性对话框 图6 8设置材料属性对话框 32 3 建立模型运行Preprocessor Modeling Create Areas Rectangle By2Corners 弹出如图6 9所示对话框 在WPX选项栏中填写0 在WPY选项栏中填写0 在Width选项栏中填写0 05 在Height选项栏中填写0 2 点击OK 生成如图6 10所示图形 图6 9两点建立矩形对话框 图6 10生成的长方形面 33 将长方形旋转成柱体 运行Preprocessor Modeling Operate Extrude Areas AboutAxis 弹出如图6 11所示拾取框 选择图7中长方形后弹出单击OK 再选择长方形左上角和左下角结点后 单击OK 弹出如图6 12所示对话框 在ARC选项栏中填入旋转角度360度 设置完毕单击OK按钮 生成如图6 13所示圆柱体 图6 11拾取对称轴对话框 图6 12设置绕轴旋转参数对话框 图6 13圆柱模型 34 运行Meshing SizeCntrls ManualSize Global Size弹出如图6 14所示对话框 设置SIZE选项栏中的数据为0 01 运行Meshing Mesh Volumes Free自由划分网格后得到如图6 15所示图形 图6 14设置网格尺寸对话框 图6 15圆柱有限元模型 5 施加约束运行Solution DefineLoads Apply Displacement OnAreas 拾取圆柱的底面 施加全约束 35 6 施加载荷显示图形的关键点 运行PlotCtrls Numbering弹出如图6 16所示对话框 激活KPNumbers后面的选框 使它变成on形式 选择菜单Solution DefineLoads Apply Structure Force MomentOnKeypoints 载荷分别如下 8点承受Z方向集中载荷Fz 5000N和Y方向集中载荷Fy 5000N 10点承受X方向集中载荷Fx 5000N 3点承受Z方向集中载荷Fz 5000N 6点承受X方向集中载荷Fx 5000N 施加载荷 图形如图6 17所示 图6 16编号显示设置对话框 36 图6 17圆柱实体示意图 7 求解选择Solution Solve CurrentLS 开始计算 计算结束会弹出计算完毕对话框 单击Close 关闭对话框计算完毕 8 后处理运行GeneralPostproc PlotResults ContourPlot NodalSolu 弹出如图6 18所示对话框 运行DOFSolution Displacementvectorsum和Stress vonMisesstress 分别显示圆柱体的位移和应力云图 37 图6 18云图显示对话框 结果显示如图6 19和图6 20所示 38 图6 19位移云图图6 20应力云图 39 6 6空间轴对称问题的有限元法 对空间轴对称问题 常采用圆柱坐标系 r表示径向坐标 z表示轴向坐标 任一对称面为rz面 在有限元分析时 可采用轴对称的环形单元进行 环形单元可以是任何平面单元 某一平面图形绕平面上某一轴旋转形成的回转体称为轴对称物体 此平面称为子午面 在动力机械 特别是叶轮机械中 有很多零件都具有轴对称特性 比如轮盘 旋转轴 承力环等 对于直齿圆柱齿轮 由于齿的存在 严格地说它并非轴对称物体 如果忽略齿的部分 将齿用外载荷表示 则所得到的齿根以内的旋转体部分为轴对称物体 轴对称物体的变形及应力分布不一定是轴对称的 只有当其约束和载荷都对称于旋转轴时 轴对称物体的变形和应力分布才是轴对称的 轴对称物体 轴对称约束 轴对称载荷 轴对称系统对轴对称系统的应力分析 轴对称物体 40 1 几何形状关于轴线对称 2 作用于其上的载荷关于轴线对称 3 约束条件关于轴线对称 因过z轴的任一子午面都是对称面 其上任一点p只在该平面上发生位移 即弹性体内任一点的位移 应力与应变只与坐标r z有关 与无关 从而 轴对称问题可转化为二维问题 但因与平面问题有区别 常称为二维半问题 柱坐标系 41 注意 应变虽然与无关 但是周向应变 周向应力 由径向位移引起 因为径向位移会导致周长的改变 1 基本方程 位移分量 应力分量 应变分量 42 虚功方程 应变分量 轴对称问题的弹性矩阵 43 2 轴对称问题的离散化 对于轴对称问题 利用其轴对称特性 在对其进行网格划分时可知取任意通过Z轴的截面进行 类似平面问题的网格形式 本节以三角形单元为例 1 位移模式 轴对称问题的环向位移恒等于零 径向r位移与轴向z位移不等于零 对于图示情形 依照平面问题的三角形单元分析 取位移模式为 代入结点位移后 可解出a1 a6 再代入上式 得 x r y z 44 其中形函数 单元中位移 根据弹性力学理论 空间轴对称问题的几何方程为 2 单元中应变 45 将u w表达式代入上式 整理后 46 式中 其中 B 矩阵中含有变量r z 因此它不是常数矩阵 即轴对称问题的三角形环形单元不是常应变单元 47 3 单元中应力 根据弹性力学理论 空间轴对称问题的应力 应变关系为 弹性矩阵 48 单元中任意一点的应力 4 单元刚度矩阵 由于被积函数与 无关 故在三角形截面的环单元的积分可简化为在三角形截面上的积分 故有 49 单元刚度矩阵的积分参照图示分区 按下式采用数值积分的方法进行 50 当单元较小时 可把各个单元中的r z近似看作常数 并且分别等于各单元形心的坐标 即 这样 就可把各个单元近似地当做常应变单元 51 单元刚度矩阵 k 的分块形式 其中的近似子矩阵为 52 5 等效结点荷载 类似平面问题 对于作用于三角形环单元上的体积力 表面力的等效结点力为 体力 53 面力 1 均布表面力设单元ij边上作用均布表面力 其集度为 l 当ri rj时 静力等效原则 54 2 三角形分布表面力沿单元ij边作用了三角形分布的表面力 表面力在i点集度为 当ri rj时 静力等效原则 2 3集中在i点 1 3集中在j点 55 56 圆筒直径0 4m 高度0 6m 壁厚0 005m 材料Q235 弹性模量E 2 1e11Pa 泊松比 0 3 约束 圆筒的下部在轴线方向固定 其它方向自由 载荷 顶部环线上承受轴向线压力P 200000N m 图6 4圆筒示意图 图6 5单元类型对话框 1问题描述 6 7ANSYS轴对称旋转单元计算示例 57 1 选择单元类型运行Preprocessor ElementType Add Edit Delete 弹出ElementTypes对话框单击Add 弹出LibraryofElementTypes对话框 如图7 6所示 选择SHELL51单元 2ANSYS求解操作过程 图7 6单元类型库对话框 图7 7选择材料属性对话框 58 2 设置材料属性运行Preprocessor MaterialProps MaterialModels 弹出DefineMaterialModelBehavior对话框 如图7 7所示 双击Isotropic选项 弹出LinearIsotropicPropertiesforMaterialNumber1对话框 如图7 8所示 图7 8设置材料属性对话框 59 3 定义单元实常数选择MainMenu Preprocessor RealConstants Add Edit Delete 弹出如图7 9所示对话框 单击Add按钮弹出ElementTypeforRealConstants对话框 如图7 10所示 选择Type1SHELL51 单击OK 弹出RealConstantSetNumber1 forSHELL51对话框 如图7 11所示 在TK I 项输入0 005 单击OK 图7 9实常数对话框图7 10选择要设置实常数的单元类型 60 图7 11设置SHELL51实常数对话框 4 建立模型首先生成关键点 运行主菜单Preprocessor Modeling Create Keypoints InActiveCS 弹出如图7 12所示对话框 创建关键点1 0 2 0 0 2 0 2 0 6 0 生成圆筒母线 运行MainMenu Preprocessor Modeling Create Lines Lines StraightLine 弹出拾取关键点对话框 拾取关键点1 2 单击OK 61 图7 12创建关键点对话框 5 设置单元属性运行MainMenu Preprocessor Meshing MeshTool 弹出MeshTool对话框 在ElementAttributes下拉列表中选择Lines 然后单击其后的Set按钮弹出拾取线对话框 单击PickAll 弹出分配线单元属性对话框 将MAT TEAL TYPE依次设置为1 1 1 单击OK 6 划分网格 62 单击MeshTool中Lines后的Set按钮 弹出拾取线对话框 单击PickAll弹出控制线单元尺寸对话框 将NDIV设置为10 单击OK 在MeshTool对话框中的Mesh下拉列表中选择Lines单击Mesh 弹出拾取线对话框 单击PickAll 划分网格完毕 运行PlotCtrls Style Si