《概率统计教学资料》第3章随机变量的数字特征1节

2020 4 21 1 随机变量的数字特征 一 数学期望 方差二 原点矩与中心矩三 协方差与相关系数四 切比雪夫不等式与大数定律 基本内容 第三章 2020 4 21 2 引例1加权平均成绩 为该生各门课程的算术平均成绩 设某学生四年大学各门功课成绩分别为 而 为该生的加权平均成绩 第一节数学期望 2020 4 21 3 引例2 甲乙两名乒乓球爱好者球技相同 他们约定各出5元作为奖金进行比赛 每局中无平局 谁先赢四局则得奖金10元 当甲赢了3局 乙赢了2局时 因故要终止比赛 问这10元奖金如何分配才算合理公平 分析 设想如果比赛再继续下去 会出现什么结果 甲最终所得可能为10元 可能0元 这是随机变量X 且再比赛2局必能分出胜负 其结果不外乎4种情况 甲甲 甲乙 乙甲 乙乙 甲期望所得 0 1 4 10 3 4 7 5 此分法不仅考虑已经比赛结果 而且还包括了再比赛下去的一种 期望 数学期望 均值 2020 4 21 4 1 随机变量的数学期望 2020 4 21 5 1 离散随机变量的数学期望 定义 设离散随机变量X的分布律为 若级数 绝对收敛 注1 E X 是一个常数 它是一种加权平均 与一般的平均值不同 它从本质上体现了X取可能值的真正的平均值 注2 级数绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变 因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值 它不因可能值的排列次序而改变 则X的数学期望 或均值 存在 记为E X 即 2020 4 21 6 求数学期望E X 解 X的概率函数为 所以X的数学期望 例1 设X服从Poisson分布 2020 4 21 7 2020 4 21 8 在区间 a b 中任意插入n 1个分点 把 a b 分成n个小区间 各小区间长度 2020 4 21 9 2 连续随机变量的数学期望 定义 设连续随机变量X的概率密度为f x 则X的数学期望 或均值 存在 记为E X 即 绝对收敛 若积分 2020 4 21 10 求此化合物的PH的数学期望E X 例3 某种化学物的PH 记为X 是一个随机变量 它的概率密度是 解 2020 4 21 11 求数学期望E X 解 X的概率密度为 所以 例4 设 2020 4 21 12 3 随机变量函数的数学期望 1 问题的导入 X E X 数学期望 g X 数学期望 g是连续函数 g X 是随机变量 如 2X 1 X2等等 一 一维随机变量函数的数学期望 2020 4 21 13 方法1 定义法 g X 是随机变量 按照数学期望 关键 由X的分布求出g X 的分布 难点 一般g X 形式比较复杂的 很难求出其分布 2 随机变量函数数学期望的计算 的定义计算E g X 2020 4 21 14 定理设X是一个随机变量 Y g X 则 当X为离散型时 P X xk pk k 1 2 求E g X 时 只需知道X的分布即可 当X为连续型时 X的密度函数为f x 方法2 公式法 2020 4 21 15 例5 某种商品每周的需求量X U 10 30 而商场 每销售一单位商品可获利500元 若供大于求 则削价处理 每单位商品亏损100元 若供不应求 则可从外部调剂供应 每单位商品获利300元 要使商场获得最大收益 问进货多少 设应进货量为a 10至30间的某数 收益为Y 解 则X的概率密度函数为 故当a 23 33时 EY最大 供不应求 供大于求 2020 4 21 16 对于二维随机变量而言 其函数的数学期望计算方法可以类似得到 1 二维离散型情形 二 二维随机变量函数的数学期望 设 X Y 为二维离散型随机变量 Z g X Y 为二元函数 如果E Z 存在 其中 X Y 的联合概率分布为pij 2020 4 21 17 2 二维连续型情形 设 X Y 为二维连续型随机变量 Z g X Y 为二元连续函数 如果E Z 存在 则 其中 X Y 的联合概率密度为f x y 2020 4 21 18 求窗口服务时间的数学期望 例6 一快餐店 以Y1记顾客到达餐厅直至离开服务窗口的时间 以分计 以Y2记一顾客排队等待服务的时间 设Y1 Y2的联合概率密度为 解 E Y1 Y2 2020 4 21 19 补充 2020 4 21 20 二 数学期望的性质 如 证 推广 2020 4 21 21 证 仅就连续随机变量情形 2020 4 21 22 例7 设盒中有25张形式各异的礼券 有人在盒中取10次 每次取一张 做放回抽样 设抽出的10张礼券中包含X种不同式样 求X的数学期望E X 解 设 则有 常见的基本方法 可以将一个比较复杂的随机变量X拆成有限多个比较简单的随机变量Xi之和 再利用期望性质求得X的期望 2020 4 21 23 内容小结 一 掌握 数学 期望的定义 1 离散随机变量X的期望 或均值 2 连续随机变量X的数学期望 3 随机变量函数的数学期望 设g X 是随机变量X的实值函数 2020 4 21 24 离散随机变量函数g X 的数学期望 连续随机变量函数g X 的数学期望 二 熟悉数学期望的性质 2020 4 21 25 2020 4 21 26 三 熟悉一些常见分布的期望 1 若X B 1 p E X p 2 若X B n p E X np 3 若 4 若X U a b E X 5 若 2020 4 21 27 四 计算数学期望的方法 1 利用数学期望的定义 2 利用数学期望的性质 3 利用常见分布的期望 常见的基本方法 将一个比较复杂的随机变量X拆成有限多个比较简单的随机变量Xi之和 再利用期望性质求得X的期望 2020 4 21 28 作业 习题三 P94 1 4 6 9 11 12 2020 4 21 29 备用题 A 1 B 0 C 3 D 11 2 2 随机变量X服从参数为1的指数分布 则 A 2 B 1 C 4 3 D 3 2 1 设随机变量X和Y相互独立 且X B 10 0 3 且Y P 2 则Z 2X 3Y 1的数学期望为 1 选择题 2020 4 21 30 分析 1 X B 10 0 3 于是E X 10 0 3 3 2 X e 1 于是E X 1 且X的概率密度为 Y P 2 于是E Y 2 根据数学期望的性质 E Z 2E X 3E Y 1 1 选A 从而 2020 4 21 31 2 假设有十只同种电器元件 其中只有两只废品 装配仪器时 从这批元件中任取一只 如是废品 则扔掉重新任取一只 如仍然是废品 则扔掉再取 一只 试求在取到正品之前 已取出的废品只数的 解 设X表示在取到正品前已取出的废品数 则 X 0 1 2 分布和数学期望 1 X的概率分布 设Ak 第k次取得的是正品 k 1 2 3 2020 4 21 32 由乘法公式 有 2020 4 21 33 由此得离散随机变量X的概率分布为 2 根据定义 随机变量X的数学期望 E X 0 0 8 1 8 45 2 1 45 2 9 2020 4 21 34 试求 解 3 设X的概率密度函数为 奇函数 2020 4 21 35 4 设有N个人 每个人将自己的帽子扔进屋子中央 把帽子混合后 每个人再随机地从中选一顶 试求选中自己帽子的人数的数学期望 解 设X表示配对的人数 将X写成 X X1 X2 Xn 2020 4 21 36 2020 4 21 37 5 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光 X在 0 60 上服从均匀分布 其概率密度为 电梯于每个正点的第5分钟 第25分钟和第55分钟从底层起行 假设在早上的8点的第X分钟到达底层候梯处 且X在 0 60 上服从均匀分布求游客等候时间的数学期望 考研试题 解 2020 4 21 38 设Y是游客等候电梯的时间 单位 分 则 因此 2020 4 21 39