连续体的有限元分析原理

连续体的有限元分析原理 演讲人 彭珊 连续体的离散过程及特征 桥梁结构 本身存在有自然的连接关系 自然离散 桥梁结构 连续体的离散过程及特征 连续体 本身内部不存在自然的连接关系 而是以连续介质的形式给出物质间的相互关联 所以 必须人为的在连续体内部和边界上划分节点 以分片 单元 连续的形式来逼近原来复杂的几何形状 逼近性离散 连续体 平面问题的单元构造 3节点三角形单元 单元的几何和节点描述 6个节点位移自由度 DOF 3节点三角形单元 平面问题的单元构造 单元位移场的表达 3节点三角形单元 平面问题的单元构造 3节点三角形单元 平面问题的单元构造 3节点三角形单元 平面问题的单元构造 3节点三角形单元 代入上述表达式 重写位移函数 并以节点位移的形式进行表示 有 平面问题的单元构造 3节点三角形单元 平面问题的单元构造 单元应变场的表达 3节点三角形单元 平面问题的单元构造 3节点三角形单元 平面问题的单元构造 3节点三角形单元 平面问题的单元构造 单元应力场的表达 3节点三角形单元 平面问题的单元构造 3节点三角形单元 平面问题的单元构造 单元的势能的表达 3节点三角形单元 平面问题的单元构造 3节点三角形单元 平面问题的单元构造 3节点三角形单元 平面问题的单元构造 单元的刚度方程 将单元的势能式对节点位移 取一阶极值 可得到单元的刚度方程 单元在承受非节点载荷时 如在边线上承受一个分布载荷 这时应根据外力功的计算公式来获得节点载荷的等效值 常见的平面问题3节点三角形单元的节点等效外载荷列阵如表1所示 3节点三角形单元 平面问题的单元构造 表1 3节点三角形单元 平面问题的单元构造 4节点矩形单元 单元的几何和节点描述 4节点矩形单元 8个节点位移自由度 平面问题的单元构造 单元位移场的表达 4节点矩形单元 平面问题的单元构造 4节点矩形单元 平面问题的单元构造 4节点矩形单元 平面问题的单元构造 单元应变场的表达 4节点矩形单元 平面问题的单元构造 单元应力场的表达 4节点矩形单元 平面问题的单元构造 单元势能的表达 是4节点矩形单元的刚度矩阵 各个子块矩阵为 4节点矩形单元 平面问题的单元构造 4节点矩形单元 平面问题的单元构造 4节点矩形单元 平面问题的单元构造 将单元的势能对节点位移取一阶极值 可得到单元的刚度方程 4节点矩形单元 平面问题的单元构造 三角形单元与矩形单元计算精度的比较 如图所示的平面矩形结构 其 假设有约束和外载 即 计算精度的比较 平面问题的单元构造 计算精度的比较 平面问题的单元构造 计算精度的比较 平面问题的单元构造 计算精度的比较 平面问题的单元构造 计算精度的比较 平面问题的单元构造 计算各个单元的位移场 应变场 应力场 计算精度的比较 平面问题的单元构造 计算精度的比较 位移场分布图 应变场分布图 应力场分布图 平面问题的单元构造 计算精度的比较 平面问题的单元构造 计算精度的比较 平面问题的单元构造 单元的刚度矩阵 计算精度的比较 平面问题的单元构造 计算精度的比较 平面问题的单元构造 计算精度的比较 平面问题的单元构造 计算精度的比较 位移场分布图 应变场分布图 应力场分布图 平面问题的单元构造 计算精度的比较 平面问题的单元构造 从以上计算可以看出 用三角形单元计算时 由于形函数是完全一次式 因而其应变场和应力场在单元内均为常数 而四边形单元其形函数带有二次式 计算得到的应变场和应力场都是坐标的一次函数 但不是完全的一次函数 对提高计算精度有一定作用 根据最小势能原理 势能越小 则整体计算精度越高 从上述计算表达式 比较