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二项式系数的性质 复习1 什么叫二项式定理 通项公式 2 什么叫二项式系数 项的系数 它们之间有什么不同 二项式系数的性质 a b 1 11 a b 2 121 a b 3 1331 a b 4 14641 a b 5 15101051 a b 6 1615201561 递推法 这样的二项式系数表 早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的 详解九章算法 一书里就已经出现了 在这本书里 记载着类似下面的表 这个表称为杨辉三角 在 详解九章算法 一书里 还说明了表里 一 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 杨辉指出这个方法出于 释锁 算书 且我国北宋数学家贾宪 约公元11世纪 已经用过它 这表明我国发现这个表不晚于11世纪 在欧洲 这个表被认为是法国数学家帕斯卡 BlaisePascal 1623年 1662年 首先发现的 他们把这个表叫做帕斯卡三角 这就是说 杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右 由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的 定义域 0 1 2 n 令 当n 6时 其图象是7个孤立点 1 对称性在二项展开式中 与首末两端 等距离 的两项的二项式系数相等 2 增减性与最大值 3 各二项式系数和 当时 二项式系数是逐渐增大的 由对称性知它的后半部是逐渐减小的 且在中间取得最大值 当n是偶数时 中间的一项取得最大时 当n是奇数时 中间的两项 相等 且同时取得最大值 例 证明 在 a b n展开式中 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 例一 选择填空 1 1 x 13的展开式中系数最小的项是 A 第六项 B 第七项 C 第八项 D 第九项 2 一串装饰彩灯由灯泡串联而成 每串有20个灯泡 只要有一个灯泡坏了 整串灯泡就不亮 则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为 A 20 B 219 C 220 D 220 1 C D 4或5 2 1094 1093 例二 已知的展开式中只有第10项系数最大 求第五项 解 依题意 为偶数 且 变式 若将 只有第10项 改为 第10项 呢 解 1 中间项有两项 2 T3 T7 T12 T13的系数分别为 例三 已知二项式 a b 15 1 求二项展开式中的中间项 2 比较T3 T7 T12 T13各项系数的大小 并说明理由 例四 已知a b N m n Z 且2m n 0 如果二项式 axm bxn 12的展开式中系数最大的项恰好是常数项 求a b的取值范围 解 令m 12 r nr 0 将n 2m代入 解得r 4故T5为常数项 且系数最大 作业见课本 小结 1 二项式系数的三个性质 2 数学思想 函数思想 a单调性 b图象 c最值 3 数学方法 赋值法 递推法 研究题 求二项式 x 2 7展开式中
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