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6.2 洛必达法则一、型 约定用“0”表示无穷小，用“”表示无穷大.已知两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能有各种不同的情况.因此，求或形式的极限都要根据函数的不同类型选用相应的方法，洛必达法则是求或形式的极限的简便方法. 或都称为待定型。约定用“1”表示以1为极限的一类函数，待定型还有五种： 0，1，0 ，-这五种待定型都可以化为或的待定型，例如: 0= = 或 0=.1=e=e.0=e= e.=e= e.洛必达法则1 若函数f(x)与满足下列条件：1) 在a的某去心领域可导，且；2) 与；3) .则. 证法 证明洛必达法则要找到两个函数之比与这两个函数的倒数之比之间的联系.柯西中值定理正是实现这种联系的纽带.为了使函数f(x)与在a满足柯西中值定理的条件，将函数f(x)与在a作连续开拓.这不影响定理的证明，因为讨论函数在a的极限与函数f(x)与在a的函数值无关.证明 将函数f(x)与在a作连续延拓，即设 .在以x与a为端点的区间上函数与满足满足柯西中值定理的条件，则在x与a之间至少存在一点c，使.已知=0，有与，.从而，=.因为c在x与a之间，所以当时，有，有条件3），有=.洛必达法则2 若函数f(x)与满足下列条件：1),在(-)与()可导，且；2）与；3）则. 证法 应用换元法 设，就将换成.于是，函数与在y=0的领域内满足洛必达法则1.由洛必达法则1可证洛必达法则2.证明 设.从而，=，其中=0与=0.根据洛必达法则1，有=即. 应用洛必达法则，而极限仍是的待定型，这是只要导函数与仍满足洛必达法则的条件，特别是极限存在，则有=一般情况，若， 都是的待定型，而导数与满足洛必达法则的条件，特别是极限存在，则有=.例1 求极限 ()解 由洛必达法则1，有=ln a-ln b=ln.例2 求极限.()解 =1.例3 求极限 ()解 =()=例4 求极限()解 =() =()=二、型 洛必达法则3 若函数f(x)与满足下列条件：1)在a的某去心领域可导，且；2) ,；3).则.证明 只证明情况.同法可证情况.由条件3)，有 . (1)取定.,函数f(x)与在区间满足柯西中值定理的条件，根据柯西中值定理，有 或 ，. 用乘上式的等号的两端，有或+.对上式再除以，有=+. (2)由条件2),有(是常数)=0 与 =0.从而，对上述的，同时有 与.由于c: ,有，由(1)式，有.于是，由(2)式，有|(1+)+-1,有定义，且y0，在该区域有定义，函数 在定义域()()是连续的. 因为=e，所以x=0是可去不连续点. 又, ，可知y=1,x=-1, 分别是曲线的渐近线. 求函数的一阶导数 , ,即，-1x0,0x0时，有不等式 此不等式当-1x0时也成立.从而因此，此函数在定义域内严格减少 再求二阶导数 等式右端第一项是正的，再考察函数,且，故当，0.因此，时，0,即0故函数是下凸的，
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