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人教A版选修2 3第一章 二项展开式中的二项式系数指的是哪些 共有多少个 下面我们来研究二项式系数有些什么性质 我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时 二项式系数有什么特点 45 每行两端都是1Cn0 Cnn 1 从第二行起 每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和 展开式的二项式系数依次是 从函数角度看 可看成是以r为自变量的函数 其定义域是 当时 其图象是右图中的7个孤立点 1 对称性 与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式得到 图象的对称轴 2 增减性与最大值 由于 所以相对于的增减情况由决定 由 可知 当时 二项式系数是逐渐增大的 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的 且中间项取得最大值 2 增减性与最大值 3 各二项式系数的和 在二项式定理中 令 则 这就是说 的展开式的各二项式系数的和等于 1 一般地 展开式的二项式系数 有如下基本性质 2 4 对称性 第0行1 第1行11 第2行121 第3行1331 第4行1461 第5行151 第6行161561 第n 1行1 1 第n行1 1 第7行17212171 10 35 35 5 15 20 10 4 斜线和 1 2 5 第5行15101051 第6行1615201561 第7行172135352171 第1行11 第0行1 第2行121 第3行1331 第4行14641 1 3 8 13 21 34 如图 写出斜线上各行数字的和 有什么规律 第8行18285670562881 从第三个数起 任一数都等于前两个数的和 这就是著名的斐波那契数列 也称为兔子数列 斐波那契数列 斐波那契 1170 1250 意大利商人兼数学家 他的著作 算盘书 中 首先引入阿拉伯数字 将 十进制 介绍给欧洲人认识 对欧洲的数学发展有深远的影响 例1证明 在 a b n展开式中 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 在二项式定理中 令 则 已知求 1 2 3 4 解 题型 求展开式中的特定项 例2 试判断在的展开式中有无常数项 如果有 求出此常数项 如果没有 说明理由 解 设展开式中的第r 1项为常数项 则 由题意可知 故存在常数项且为第7项 常数项 常数项即x0项 练习 0 k 12 k Z 当k 0 6时 x的幂为正整数 含x的正整数次幂的项共有2项 例4 求 x 2 10 x2 1 展开式中含x10项的系数为 179 变式 求 1 x x2 1 x 10展开式中含x项的系数 求两个 多个 二项式乘积的展开式的特定项方法 1 先化简 化成一个二项式的展开式 2 分析两个 多个 二项式的通项的字母的指数 利用找伙伴的方式解决 例3 求展开式中的常数项 类型 求展开式中系数最大的项 方法 利用通项公式建立不等式组 变式练习 在 3x 2y 20的展开式中 求 1 二项式系数最大的项 2 系数绝对值最大的项
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