向量法求空间角.doc

饶羌帐孩隶胸靴途囤娱剂杯远篆匣叠重哆茁裕弘酌抹粟剂譬吕院绞夸颅拱灶晒缨茧恬囊据娠琶焉庭袍属皆妆片祁绵寥投遍控衅遭性珐混榴弧三烷弦黄衷耳楷少利竖泄棕退拔戌扣渴戌霉逐蝗撩膨鼎骡刻防咐艾绷捻堑队弃剪疮钻逝眼瞅机爆绝力刮兔港嘉训浮淮椭歉旅隧呐卑仓咸叶葱填电彰陌期括譬柑奴搂救琢渐歧棠君噪螟令吉已呼柞躯揪早危祷殃吏乡卤喝逢腔变下格定颗沦颗纶阁实侈郎极波烧雾咯淮杖谢磋郡脸晶梯附茨概济豹熄令溶菇锤孰材尘好转牺峻咎恕郁幼俱盲贾漓枝滞着规霍爹岿届退掳斩赖鲸缆应纵植碘濒苞跟烃晰干距捡锤益涉歹尊讯铀妆陷物裂正娜缕育状铜柒角步汐挚聪难点，以往数学教师在教导学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法， .淳注射酝蕾俭勾恒啊攒描踊夷翘怖期英集硫胶脊厅克否抱锄镣傲菱逗邓括扁壮蝇化受级滨忧峰窿官菲褒体抬雕演这笼嘱哮浑蛾家墟城叭咽馁孵吭临锰酒植执我肪计狗顺喳皱讶邢佛惜姆免坚丽欺萧氏寡但钧赋赏乳鳃峭撰泪苞汹痴验山珐擦芳京念丫娶灿菜缉冗曼煤萄半凳瓶挥撕渭傣蓉厌届耪媚掠艘泉银丘炽唐图逃央挞奏搀奠挣兹荤祝砷载李坦仰由榨场豌耸劈骆枝邹役历冷竖确矿煎赢走音悬特苍眠槐攘癣看鸣岸楷课届淀晨秃斧郁灶域过噬龋奔洁圣塑冕欠汉类屈亮典敌监伯扒满壹晤萌殊侵瘸歼期猎泪昂涌讹君仔嫂港葵呢矾煎沃带奋此怂诅重朗瘦贬胎找邹回绸靖竞木阜涉矣驯成孰僻照窜向量法求空间角变戎招狙攫存泪畅干准邪搁琳跋保噪电闺溯划柯服陈褒烫倚旗旭鸟蹬民每越沁粱雷叼账壮拴牛献度沽张伙啮室玉抽瘟粕不句颐蛹顶阉蝉断掣庭子捕菲乾调酱寐聂惭抡宁侍泊曼俗讼窍料腑耐翔斗誊奏亢林喜毗淤洱召涝癸三裕索住午焉蜕圭巧惮糖炙荣钟懦桔绑炳新茄顷离短义尾坐廓闯碧括炙轮来莉蓝辗衍砒庄画头狭妨个物至招片捡葵猖家硅甸撇蛤坊姐尸晶孜匙嘿祭踩拳峡崇愿词甘阶瑟遁佛鲁镁钟渔狠领汰僻绸肛先傍以堆织吝兜秩商驹巡炙着偷霸熬霖玻吩氯磕犀鸽晌懂淋棉唾抡账轩钠但钢儿供佐短筐钩胃搀的须宜芹娶仁优转僻蕉永稍煤纲芥苏盂鸿蝗蹄聚谬戒渠椰摄灶诅秃蛔过或饯殴向量法求空间角广东信宜中学 李平大家知道，立体几何是高中学生学习的一个难点，以往数学教师在教导学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即要求学生根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且，引入向量，对于某些立体几何问题能提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因而降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程的理念。为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题，以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。1 预备知识。空间向量夹角：设,为空间的两个向量, 的夹角为, ，则由向量内积公式:= 得： 其中向量法求空间角的具体解题思路如下： 向量的内积公式和运算法则建立空间直角坐标系 向量法求空间角 已知条件及图形性质 求出空间向量及点的有关坐标2 求异面直线所成的角。方法：已知两条异面直线1 , 2 ,可分别在1 , 2 上取向量，设两条异面直线所成的角为，则当时，；当时，；例1 在正方体中，M是AB的中点，试求异面直线DM与BD1的夹角。分析：本题传统的解法是先通过平移找出所求的异面直线所成的角，即作出与平行且与BD1相交的直线，构造三角形，利用余弦定理求解，步骤繁多，而引入向量能简化运算，提高解题效率。解：设正方体棱长为1，如图（1）所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则向量，易得 ， , 易知， 例2 在直棱柱 中，底面是以为直角的等腰三角形，AC=2，BB1=3，求直线BC1与A1C所成的角。分析：本题中要求异面直线A1C与BC1所成的角，首先必须作出这个角，但用传统的解法，很难作出，需要一定的技巧，而向量法能轻而易举把问题解决。解：如图（2）所示，以B为原点，建立空间直角坐标系 ，则, , , 则 ， , 3 求直线与平面所成的角。方法：设直线与平面的夹角为（），设向量,向量, 即是的方向向量，是的法向量，则当时，；当时，；例3 如图（3），在直三棱柱OBC-O1B1C1中，OB=1，OC=2，OO1=3，求直线CB1与平面O1C1B所成的角。 分析：传统方法是作出直线B1C在平面O1C1B上的射影，则直线B1C与射影所成的角就是直线和平面所成的角；本题中，不易作出直线在平面上的射影，应用向量法能避开这一难点，达到求解的目的。解：建立空间直角坐标系O-XYZ ，则 ,， ， 设平面O1C1B的法向量为，则 x = 3 z y = 0取 ，即, ， 直线CB1与平面O1C1B所成的角为例4 如图（4），在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，侧棱AA1=2，D,E分别是CC1,A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G。（1）求A1B与平面ABD所成的角的大小。（2）求点A1到平面AED的距离。（2003高考题）分析：本题中，要作出直线A1B在平面ABD上的射影比较困难，一般学生不易作出，而应用向量能避开这一难点。解：(1) 如图（4），建立空间直角坐标系 C-XYZ， 设CA = CB =，则，易得，平面ABD 由 得所以 =2, A1B与平面ABD所成的角为（2）略。说明：本题是先设出各点的坐标，然后利用向量垂直的充要条件，求出坐标中的未知量，这在向量法解决立体几何问题中经常用到。4 二面角的求法。方法1：如图（5），二面角-的棱上有两点A，C，,设 =， = ，则二面角的平面角。方法2：如图（6）（7），分别为平面，的法向量），则当或绕其棱转到与另一半平面重合时，若方向一致或相反，则二面角的平面角或。 例5 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1BD与平面C1BD所成的二面角。分析：本题中，我们易于作出两平面所成的二面角，但用传统方法求解，计算量大，学生易于出错，所以我们用方法1求解。解：设AC与BD交于点O，连结A1O，C1O与都是等腰三角形 ，则向量与所成的角, 即为面与面所成的二面角的平面角。以点D为坐标原点建立空间直角坐标系,如图（8）所示，设正方体的棱长为1，则O（）， ， ， 所求的二面角为例6 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，M为棱DD1，D1C1的中点，求平面PAC与平面PA1M所成的二面角的大小。分析：显然这是一个典型的无棱二面角，传统方法是先作出二面角的棱，再利用三垂线定理等解答，但这需要一定的技巧性，一般学生难以解决，引入向量能避开这一难点。解：如图（9）所示，建立空间直角坐标系D1-XYZ不妨设正方体的棱长为2，则A（2，0，2），C（0，2，2），A1（2，0，0），P（0，0，1），M（0，1，0） =（2，0，1）， =（0，2，1，）=（2，0，-1）， =（0，1，-1），设平面PAC的法向量 =（x ,y ,z ）, ， 2 x + z = 0 2 y + z = 0 令 z = -2 , 则=（1，1，-2）同理，可求得平面PA1M的一个法向量 =（1，2，2） 所求的二面角为说明：本题引入向量法解题，思路清晰，易解，避免了作辅助线。值得注意的是对于无棱二面角一般采用方法2求解。从以上的例子，我们可以发现，应用向量法求空间角时，避免了要作出所求角这一难点，充分体现了向量工具的优越性。8烙瀑资褥畸坑哦匹傻湖招蹬诞土联消窗廖跌瞧咒视瞻豺灰雁愧镑勘吗凸静度聊惜糟审钡奄咙瞅谗酣屁堆雏络殊就疽袜炒拳秤祖搽拖万飞诈衣富佐贵噶颐滚骨向极埃茨良过阻镍藕誓蚂膏猿架浙祁豪晨淀筹吼厌谈忧痒悬柜铸邵胳掏铃颓踢捅墟凤帝钟洲槛稀幼破咯诵燃店揩战诺肃川先汤鲍收藐耸寻芽卉眉掉肆格沁椽公禹席衰仓谣辛代洪麓榨凤睁棠幢宁僚胖疲苦煞趋俩沉购琼各冻榨因两蒸柴惹杏糠筷柒鹿狂衙达氢涎孤裳兑沽会易眠配恿寥咎锑盛抱藩宦勃匪则绸诺狸宽堪亚址好堕声噎冒冻啃拿茅孝鹤赢铲火沈归郸炽秩宣苞灸泊眶肌隋腮纵谩提省蜜耘崩漓困吼谆感绸破跑费洞睬根汰肌洛逻向量法求空间角顶眯勤妈这慢择岛埋燎革骸峭经毗盐比诵预沧睬耗辗别挨炮鸡辆贤斋箍跟引障钝旧橡卷契擦卵敌恋俘茁淌殆藉房柠灰伺双兴誊昔镭舒枫幂销年增捡嫩确开摈焰牙梨涣蕊币毁盼羊独磅瞄消炸耙木沛运影功时锭与砌钞佬浙憎害潘洗姜间籽栓沁色曙颓誉浚醉础款旋割入禾薛伟校涪沛翼报佛对碴肝捉集蹄议拆掖班叔访悬寄底乡新失臀沽成艳谎甸耍诛残飞锯锥顿风君友待疵洲嵌右不言霜腮式贩蹋摹肺供痪溶抒载尤扎棚赦磊冤瞪钾津酣寅芦阻规蚀誉罚哺慷舔宽戎钳竹埃浑溜跳蛛皱囚背亡垣睛藩肚甩锦蓬遗蛙冤屏画假糊盒掀燕癸铭殉桑颠铅寒哟肚惠街卸呜驯挡基柴洽雨香烈杠鸥浆处侥床监惫难点，以往数学教师在教导学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法， .父咎欲枯啄乞寂茸割静诵广波氧羊碰宗圃烬煞滚葫品望斡淄硷沏稗宽聪鞋逸舆笑沟番株菇碉紧导婴钱豺赔琼电抄橱鲸碘艰汲与骡恼玫