自动控制原理课件第四章根轨迹法ppt

2018/1/18,自动控制原理,1,第4章 根轨迹法,4.1 根轨迹法的概念4.2 根轨迹方程4.3 常规根轨迹及其绘制4.4 广义根轨迹及其绘制4.5 按根轨迹分析控制系统4.6 用MATLAB绘制根轨迹,2018/1/18,自动控制原理,2,根轨迹的概念,特征根：,-0.5,Re,特征方程：,闭环传递函数：,对于高阶系统，不能用特征方程求根的解析方法得到根轨迹。,4.1 根轨迹法的概念,2018/1/18,自动控制原理,3,根轨迹：,开环系统的某一参数从0变为 时，闭环系统特征方程的根在s平面上变化的轨迹,根轨迹法：,Evans提出（1948年）的一种由开环传递函数求闭环特征根的简便方法；是分析与设计线性定常控制系统的图解方法。,2018/1/18,自动控制原理,4,动态性能：,根轨迹与系统性能,开环传递函数在坐标原点有一个极点，系统为1型系统，根轨迹上的K值就是静态误差系数。但是由开环传递函数绘制根轨迹，K是根轨迹增益，根轨迹增益与开环增益之间有一个转换关系。,过阻尼 00.25单位阶跃响应为阻尼振荡过程,2018/1/18,自动控制原理,5,闭环零、极点与开环零、极点之间的关系,2018/1/18,自动控制原理,6,2018/1/18,自动控制原理,7,结论：（1）闭环系统的根轨迹增益 = 开环前向通道系统根轨迹增益。（2）闭环系统的零点由开环前向通道传递函数的零点和反馈通 道传递函数的极点所组成。（3）闭环极点与开环零点、开环极点、根轨迹增益均有关。,根轨迹法的任务：由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法确定闭环极点。,2018/1/18,自动控制原理,8,由闭环传递函数,根轨迹方程,特征方程,复平面上的点，特征方程的根，闭环极点,4.2 根轨迹方程,2018/1/18,自动控制原理,9,模值条件（幅值条件）：,根轨迹的幅值条件和相角条件,根轨迹方程实质上为一向量方程,相角条件（幅角条件）：（充分必要条件）,开环有限零点到s的矢量辐角,开环极点到s的矢量辐角，逆时针为正,2018/1/18,自动控制原理,10,模值条件与相角条件的应用,-0.825=0.466 n=2.34,s1=-0.825s2,3= -1.09j2.07,-1.09+j2.07,2.26,2.11,2.072,= 6.0068,92.49o- 66.27o- 78.8o- 127.53o= 180o,-1.5,-1,-2,0.5,92.49o,66.27o,78.8o,127.53o,2018/1/18,自动控制原理,11,模值方程与相角方程的应用,3.826,39.9,1.826,68.3,5.576,147.9,1.826,13.826,21.826,111.7,160.3,164.4,2018/1/18,自动控制原理,12,结论：,根轨迹上的点一定满足相角条件，且满 足相角条件的点一定在根轨迹上，即相 角条件是确定根轨迹的重要条件。,只有当需要确定根轨迹上各点的根轨迹 增益时，才需使用模值条件。,绘制根轨迹只需使用相角条件。,2018/1/18,自动控制原理,13,根轨迹的起点与终点；根轨迹的条数、连续性和对称性；实轴上的根轨迹；根轨迹的渐近线；根轨迹在实轴上的分离点；根轨迹的起始角和终止角；根轨迹与虚轴的交点；根轨迹的走向法则。,通常，我们把以开环根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹叫做普通根轨迹（或一般根轨迹）。绘制普通根轨迹的基本规则主要有8条：,4.3 常规根轨迹及其绘制,2018/1/18,自动控制原理,14,根轨迹,特征方程：,根轨迹方程：,由相角条件（ 条件）绘制出的根轨迹，称 根轨迹 。 变化参数为根轨迹增益 。,2018/1/18,自动控制原理,15,规则1：根轨迹的起点和终点,又从,2018/1/18,自动控制原理,16,下面分三种情况讨论 1当m=n时，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终点均有确定的值。,2当mn时，即开环零点数大于开环极点数时，除有n条根轨迹起始于开环极点(称为有限极点)外，还有m-n条根轨迹起始于无穷远点(称为无限极点)。这种情况在实际的物理系统中虽不会出现，但在参数根轨迹中，有可能出现在等效开环传递函数中。,根轨迹方程：,2018/1/18,自动控制原理,17,在实际系统通常是 ，则还有 条根轨迹终止于s平面的无穷远处，这意味着在无穷远处有 个无限远（无穷）零点。,2018/1/18,自动控制原理,18,结论：根轨迹起始于开环极点 ，终止于开环零点 ；如果开环极点数n大于开环零点数m，则有n-m条根轨迹终止于s平面的无穷远处(无限零点)，如果开环零点数m大于开环极点数n，则有m-n条根轨迹起始于s平面的无穷远处(无限极点)。,2018/1/18,自动控制原理,19,结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数(n条） 。根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。,规则2：根轨迹的分支数、连续性和对称性,系统开环根轨迹增益(实变量）与复变量s有一一对应的关系，当 由零到无穷大连续变化时，描述系统特征方程根的复变量s在平面上的变化也是连续的，因此，根轨迹是n条连续的曲线。,由于实际的物理系统的参数都是实数，若它的特征方程有复数根，一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对称于实轴的。,2018/1/18,自动控制原理,20,分析：实轴上的根轨迹必须满足绘制根轨迹的相角条件，即,结论：若实轴上某线段右侧的开环零、极点的个数之和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹。,规则3：实轴上的根轨迹,选择so作为试验点。开环极点到s0点的向量的相角为开环零点到s0点的向量的相角为,2018/1/18,自动控制原理,21,已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。,-1，-2 右侧实零、极点数=3。,-4，-6 右侧实零、极点数=7。,2018/1/18,自动控制原理,22,规则4：根轨迹的渐近线,当开环极点数n大于开环零点数m时，系统有n-m条根轨迹终止于S平面的无穷远处，这n-m条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线，因此，浙近线也有n-m条，且它们交于实轴上的一点。这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和交点来确定。,2018/1/18,自动控制原理,23,由辐值条件：,2018/1/18,自动控制原理,24,与实轴夹角,与实轴交点,结论：根轨迹的渐近线 n-m条,2018/1/18,自动控制原理,25,例： 设单位负反馈系统的前向传递函数为,（2）有4条根轨迹的分支，对称于实轴,（1）,解：,（3）实轴上的根轨迹：,2018/1/18,自动控制原理,26,两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即分开的点称为分离点（会合点）。,规则5：根轨迹的分离点,2018/1/18,自动控制原理,27,若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间（其中一个可以是无限极点），则在这两个极点之间至少存在一个分离点；若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间（其中一个可以是无限零点），则在这两个零点之间也至少有一个分离点。分离点也可能以共轭形式成对出现在复平面上，显然，复平面上的分离点表明系统特征方程的根中至少有两对相等的共轭复根存在。,实轴上根轨迹的分离点,复平面上的分离点,2018/1/18,自动控制原理,28,根轨迹的分离点，实质上就是系统特征方程的等实根(实轴上的分离点)或等共轭复根(复平面上的分离点)。,特征方程：,根轨迹方程：,2018/1/18,自动控制原理,29,分离点既为根轨迹的交点，它必为闭环特征方程的重根。故可由特征方程和对特征方程求导联解得出。由根轨迹方程：,所以闭环特征方程式为：,或,（1）,2018/1/18,自动控制原理,30,对上式求导可得：,（2）,（3）,2018/1/18,自动控制原理,31,由于,式（3）变为：,（4）,从上式中解出s,即为分离点d。,2018/1/18,自动控制原理,32,系统的特征方程可写成,分离点方程,对于一个n阶系统，可能得到n-1个根，只有那些在根轨迹上的解才是根轨迹的分离点。若在这些根中有共轭复根，如何判断是否在根轨迹上，是一个比较复杂的问题，由于只有当开环零、极点分布非常对称时，才会出现复平面上的分离点.因此，用观察法可大体上判断，然后将其代入特征方程中验算，即可确定。,2018/1/18,自动控制原理,33,分离角：,结论3：当有2条根轨迹分支进入并离开分离点时，分离角为：,分离点上的根轨迹的切线方向与实轴正方向的夹角,2018/1/18,自动控制原理,34,例 ： 绘制单位负反馈系统的根轨迹,（2）根轨迹分支数为3条，有三个无穷远的零点。,（3）实轴上根轨迹,（4）渐近线：,2018/1/18,自动控制原理,35,（2）根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。,（3）实轴上根轨迹,（4）渐近线：,（5）分离点（用试探法求解）,2018/1/18,自动控制原理,36,试探法求解分离点,特征方程：,2018/1/18,自动控制原理,37,例:设单位负反馈系统的传递函数为,试绘制系统的根轨迹。,解：(1)根轨迹分支数为2条，有一个无穷远的零点。,(2)实轴上根轨迹,(3)渐近线：,(4)分离点,(5)由相角条件可以证明复平面上的根轨迹是圆的一部分，圆心为（-2，j0)，半径为,2018/1/18,自动控制原理,38,规则6：根轨迹的起始角(出射角)与终止角(入射角),当开环传递函数中有复数极点或零点时，根轨迹是沿着什么方向离开开环复数极点或进入开环复数零点的呢？ 出射角 根轨迹离开开环复数极点处在切线方向与实轴正方向的夹角。 入射角 根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角。,-,2018/1/18,自动控制原理,39,对于根轨迹上无限靠近p1的点A，由相角条件可得 由于A点无限靠近 点，,2018/1/18,自动控制原理,40,例：,2018/1/18,自动控制原理,41,-2,2018/1/18,自动控制原理,42,2018/1/18,自动控制原理,43,2018/1/18,自动控制原理,44,2018/1/18,自动控制原理,45,规则7：根轨迹与虚轴的交点,根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根（实部为零）。这时，用 代入特征方程求得。也可用劳斯判据确定。,例 ： 绘制单位负反馈系统的根轨迹,2018/1/18,自动控制原理,46,2018/1/18,自动控制原理,47,例： 已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统完整的根轨迹图。,（3）实轴上根轨迹,（4）渐近线：,（2）根轨迹分支数为3条，有三个无穷远的零点。,（5）分离点,-2,-1,s,（6）与虚轴交点,2018/1/18,自动控制原理,48,（2）实轴上根轨迹,（3）渐近线：,例：,（4）分离点,（5）出射角,2018/1/18,自动控制原理,49,（6）与虚轴的交点 运用劳斯判据,2018/1/18,自动控制原理,50,闭环极点之和、闭环极点之积与根轨迹分支的走向,规则8：根轨迹走向法则,为闭环特征方程的根,2018/1/18,自动控制原理,51,若开环传递函数的积分环节个数,结论：（1）若 n-m2 ，闭环极点之和 = 开环极点之和 = 常数。表明：在某些根轨迹分支（闭环极点）向左移动，而另一些根轨迹分支（闭环极点）必须向右移动，才能维持闭环极点之和为常数。（2）对于1型以上（包括1型）的系统，闭环极点之积与开环增益值成正比。,2018/1/18,自动控制原理,52,（2）实轴上根轨迹,（3）渐近线：,例：,（4）分离点,（5）出射角,（6）与虚轴交点,2018/1/18,自动控制原理,53,绘制根轨迹的一般步骤,有了以上绘制根轨迹的基本法则，在已知系统的开环零、极点(开环传递函数)的情况下，利用这些基本法则，就可以迅速准确地确定出根轨迹的主要特征和大致图形。如果需要，再利用根轨迹方程的相角条件。利用试探法确定若干点，就可以绘制出准确的根轨迹。 绘制根轨迹的一般步骤为：,2018/1/18,自动控制原理,54,根据给定的开环传递函数，求出开环零、极点，并将它们标在复平面上； 确定根轨迹的分支数及趋于无穷远处根轨迹的条数； 确定实轴上的根轨迹； 确定根轨迹的分离点(会合点)，并计算分离角； 计算根轨迹的出射角和入射角； 确定根轨迹与虚轴的交点；,2018/1/18,自动控制原理,55,大体绘出根轨迹的概略形状； 利用对称性画出上、下复平面的根轨迹； 利用闭环特征根之和、之积的性质估计根轨迹的走向； 利用相角条件试探确定根轨迹上某些点； 某些系统在复平面上的根轨迹为圆或圆的一部分时，求出圆心和半径。 必要时，对根轨迹进行修正，以画出系统精确根轨迹。,2018/1/18,自动控制原理,56,例1 若已知系统的结构图为： 试绘制系统的概略根轨迹。解：系统开环传递函数为：,2018/1/18,自动控制原理,57,2018/1/18,自动控制原理,58,-0.2,-1,-2,2018/1/18,自动控制原理,59,例2 单位负反馈系统的开环传递函数为： 试绘制系统的根轨迹。解：由系统的开环传递函数得：,2018/1/18,自动控制原理,60,开环零点： ， 开环极点：将它们标注于复平面上；实轴上的根轨迹：渐近线： 条,2018/1/18,自动控制原理,61,时， 时， 时，起始角：根轨迹与虚轴的交点：,2018/1/18,自动控制原理,62,系统的闭环特征方程式为：将 代入上式，整理可得：联立求解得：,2018/1/18,自动控制原理,63,画出概略根轨迹如图所示：,2018/1/18,自动控制原理,64,自动控制系统的根轨迹,（3）根轨迹的分离点,二阶系统,设二阶系统的结构图如图所示。,（1）有二个开环极点（起点） ， 。有二个开环无限零点（终点）,（2）实轴上的根轨迹,（4）根轨迹的渐近线,2018/1/18,自动控制原理,65,开环具有零点的二阶系统,二阶系统增加一个零点时，系统结构图如图所示，它的开环传递函数为,由相角条件可以证明复平面上的根轨迹是圆的一部分，圆心为（-1，j0)，半径为,2018/1/18,自动控制原理,66,不难发现，由两个开环极点（实极点或复数极点）和一个开环实零点组成的二阶系统，只要实零点没有位于两个实极点之间，当开环根轨迹增益 由零变到无穷大时，复平面上的闭环根轨迹，是以实零点为圆心，以实零点到分离点的距离为半径的一个圆（当开环极点为两个实极点时）或圆的一部分（当开环极点为一对共轭复数极点时）。这个结论在数学上的严格证明可参照本例进行。,2018/1/18,自动控制原理,67,三阶系统,二阶系统附加一个极点的系统的结构图如图所示。它的开环传递函数为,分离点,渐近线,与虚轴交点,2018/1/18,自动控制原理,68,二阶系统中增加一个极点，一个零点后系统的结构图如图所示，它的开环传递函数为,开环具有零点的三阶系统,渐近线,2018/1/18,自动控制原理,69,具有复数极点的四阶系统,结构图如图所示。它的开环传递函数为,出射角,渐近线,与虚轴交点,2018/1/18,自动控制原理,70,2018/1/18,自动控制原理,71,2018/1/18,自动控制原理,72,广义根轨迹是指除了一般根轨迹之外的所有根轨迹。如参数根轨迹，具有正反馈内环的零度根轨迹等。参数根轨迹 以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹,引入等效开环传递函数的概念,等效开环传递函数,注意：在此的等效意义是在特征方程相同，或者是闭环极点相同的前提下成立；而此时闭环零点是不同的。,4.4 广义根轨迹及其绘制,2018/1/18,自动控制原理,73,例：求以参数 为变量， 为常数的根轨迹。,解：,一、求等效开环传递函数,等效开环传递函数,2018/1/18,自动控制原理,74,（1）,不难证明：复平面上的根轨迹为圆的一部分（圆心：原点，半径 ）,2018/1/18,自动控制原理,75,其中开环增益可自行选定。试绘制参数根轨迹，并分析时间常数 对系统性能的影响。,例：设单位反馈系统的开环传递函数为,解：闭环特征方程,2018/1/18,自动控制原理,76,等效开环极点,注：若分母多项式为高次时，无法解析求解等效开环极点，则运用根轨迹法求解。如本例，求解分母特征根的根轨迹方程为：,在本例中，K可自行选定，选定不同K值，然后将W1(s)的零、极点画在 s 平面上，在令绘制出 变化时的参数根轨迹。,等效开环传递函数,2018/1/18,自动控制原理,77,2018/1/18,自动控制原理,78,在一些复杂系统中，包含了正反馈内回路，有时为了分析内回路的特性，则有必要绘制相应的根轨迹，其相角条件为在一些非最小相位系统中相角条件为 具有这类相角条件的相轨迹称为：零度根轨迹,零度根轨迹,以具有正反馈内回路的的系统为例。具有正反馈内回路系统如图所示，外回路是采用负反馈加以稳定，为了分析整个系统的性能，通常首先要确定内回路的零、极点，这就相当于绘制具有正反馈系统的根轨迹。,2018/1/18,自动控制原理,79,零度根轨迹的绘制,特征方程：,根轨迹方程：,辐值条件：,辐角条件：,由相角条件（ 条件）绘制出的根轨迹，称 根轨迹 。 变化参数为根轨迹增益 。,2018/1/18,自动控制原理,80,与常规根轨迹的相角条件和模值条件相比：模值条件没有变化。零度根轨迹的绘制规则只要考虑相角条件所引起的某些规则的修改,辐值条件：,辐角条件：,规则3：实轴上的根轨迹若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边（开环实数零点数+开环实数极点数）为偶数。,2018/1/18,自动控制原理,81,规则6：根轨迹的出射角入射角出射角：,入射角：,与实轴夹角,规则4：渐近线的夹角,2018/1/18,自动控制原理,82,例：设具有正反馈回路系统的内回路传递函数分别为,试绘制该回路的根轨迹图。,（5）出射角,（4）分离点,2018/1/18,自动控制原理,83,（6）确定临界开环增益显然根轨迹过坐标原点，坐标原点对应的开环增益为,2018/1/18,自动控制原理,84,如果闭环系统的零点是已知的，于是可以根据闭环系统零、极的位置以及已知的输入信号，分析系统的暂态特性。在根轨迹上确定特征根 根据已知值，在根轨迹上确定特征根的位置时，可以采用试探法 ,采用这种方法往往要试探几次才有结果，比较麻烦。 其实，对于有的系统，可以先在实轴上选择试点，找出实根以后，再去确实复数根，这样简便得多。下面举例说明这种方法。,4.5 按根轨迹分析控制系统,2018/1/18,自动控制原理,85,2018/1/18,自动控制原理,86,根据已知的开环传递函数，可得闭环系统特征方程式,由图可知，在区间 上有根轨迹。,1.作出根轨迹,根据根轨迹走向法则 得,2.求实根,由幅值条件有：,用试探法得：,3.求复根,令,（也可用作图法:做垂线）,2018/1/18,自动控制原理,87,用根轨迹法分析系统的暂态特性,由根轨迹求出闭环系统极点和零点的位置后，就可以按第三章所介绍的方法来分析系统的暂态品质。,2018/1/18,自动控制原理,88,2018/1/18,自动控制原理,89,开环零点对系统根轨迹的影响,增加开环零点将引起系统根轨迹形状的变化，因而影响了闭环系统的稳定性及其瞬态响应性能，下面以三阶系统为例来说明。,设系统的开环传递函数为如果在系统中增加一个开环零点，系统的开环传递函数变为,2018/1/18,自动控制原理,90,下面来研究开环零点在下列三种情况下系统的根轨迹。,2018/1/18,自动控制原理,91,可见，增加开环零点将使系统的根轨迹向左弯曲，并在趋向于附加零点的方向发生变形。如果设计得当，控制系统的稳定性和瞬态响应性能指标均可得到显著改善。在随动系统中串联超前网络校正，在过程控制系统中引入比例微分调节，即属于此种情况。,结论：只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同时得到明显的改善。,从以上三种情况来看，一般第二种情况比较理想，这时系统具有一对共轭复数主导极点，其瞬态响应性能指标也比较满意。,2018/1/18,自动控制原理,92,开环极点对系统根轨迹的影响,设系统的开环传递函数其对应的系统根轨迹如图 a）所示。若系统增加开环极点，开环传递函数变为 其相应的根轨迹如图 b）所示。,2018/1/18,自动控制原理,93,2018/1/18,自动控制原理,94,偶极子对系统性能的影响,在系统的综合中，常在系统中附加一对非常接近坐标