概率论第二部分.doc

概率论第一章 随机事件及其概率1第二章 随机变量及其概率分布6第三章 多维随机变量及其概率分布11第四章 随机变量的数字特征14第五章 大数定律与中心极限定理19第六章 统计量及其抽样分布21第七章 参数估计24第八章 假设检验27第四章 随机变量的数字特征1 单个随机变量的期望例1 设 ，则例2 设X的分布密度为，则2 单个随机变量函数的期望设X为随机变量，是普通函数，则是随机变量，且 *例3 设X的分布如例1，求的期望解：例4 设X的分布密度如例2，求的期望解：当（其中）时，即为X的方差例4 设则 ，（方差大者，取值分散）注：是重要常用公式例5 设随机变量X具有概率密度，求DX解：因是分段函数，故求时也要随之分段积分于是3函数的期望设是普通函数，则是随机变量，其数学期望EZ等于例6 设分布律为 ，则例 设的分布密度，则 当时，其中，则是X，Y的协方差，即 （重点）当时，其中 *为X，Y的相关系数期望的重要性质（1） （常数）（2）（3） 推广：（4）若X，Y相互独立，则方差的重要性质（1），其中c为常数（2）特别（3）若X，Y相互独立，则 （4）例 设X，Y相互独立，且，则协方差的运算性质：（1）（2），其中a，b为常数（3）（4）若X，Y相互独立，则，从而，即X与Y不相关注：一般地，若X，Y独立，则X，Y必不相关（即）；反之不真，即X，Y不相关推不出X，Y独立。重要特例是：若为正态分布，则X，Y独立等价于X，Y不相关（即）例 设的分布律为 ，求解：易知 故，, ， *例 设，则 *例 设为连续型，则X与Y不相关的充分必要条件是_（选择题）（A）X，Y独立 （B） （C）（D）解法1（排除法）：排除（A），因X，Y独立不相关（故非充要条件）；排除（B），这一等式成立不需任何条件；排除（D），由服从正态分布及知X，Y独立，从而不相关，但并非正态场合才有这一结论故选（C）解法2（直接证明）：当时，故X，Y不相关；反之亦然。 第五章 大数定律与中心极限定理1 贝努利大数定律贝努利大数定律：设，为A在n次观测中发生的频率，则对任给的正数有2 中心极限定理设相互独立，同分布，从而它们有相同的期望和相同的方差，其中为标准正态分布函数注：中心极限定理的含义是：大量随机变量的和近似正态分布，即当n很大时近似某正态分布，为了便于查表近似计算，将标准化（从而标准化后其近似分布）故上述随机变量的分布函数，即在应用中心极限定理，大多用上式的形式更进一步的特别场合为：若相互独立同分布时，上式化为这一式子在应用也较为常用例1 计算机进行加法计算时，设所取整误差是相互独立的随机变量，且都服从，求300个数相加的误差总和的绝对值小于10的概率。解：易知第i个加数的误差满足：，故故所第六章 统计量及其抽样分布1设总体则其样本相互独立，同分布，n为样本容量从而 例1 设总体X，则从而其样本的联合密度函数为2常见统计量常见统计量：设总体为X，为其样本，不含任何未知参数的样本的函数称为统计量（1）样本均值，这结论对任何总体都成立。进一步的，若总体X，则，从而（2）样本方差，（3）若总体X，则有与相互独立，且 *（4）若总体X与总体Y相互独立，与分别为其样本，X，Y，其中，则进一步的，若，则有其中3.关于分布的密度曲线及分位数（1）分布若，则，从而而F分布的密度曲线与上图相似。（2）分布若，则t分布的密度曲线关于y轴对称，故有例 设总体，是容量n的样本均值，求解：由总体，知，故 ，例 设总体X，为其样本，则证明：即 第七章 参数估计1矩法估计：矩估计的实质是用样本矩作为总体相应矩的估计量设X为总体，为其样本则的矩估计 的矩估计 例1 设总体，其中皆未知，为其样本，求的矩估计解：因为，故 ，故例2 设总体，未知，求的矩估计解：因为，故（矩法方程），由此解得，即为的矩估计例3 设总体，其中，未知为其样本，求P的矩估计解：由，故P的矩估计2极大似然估计设总体X，具有概率密度函数， 其中为未知参数，其变化范围为，为其样本，则似然函数为若存在使，则称为的极大似然估计一般求法：由题设，求出的表达式取对数： *求导并令其等于0，建立似然方程 *解之即得的极大似然估计例4 设是总体X的样本，总体概率密度为求 的矩估计和极大似然估计解：（1）由 解得为之矩估计（2）似然函数 * 解得的极大似然估计例5 设总体X，为其样本，求的极大似然估计解： 由于按常规方法建立的似然方程无解，故用极大似然估计的定义解之设欲使似然函数达最大，取即可注3估计量的评价标准（1）无偏性：若，则为的无偏估计（2）有效性：若、皆为之无偏估计，且D，则称较有效（3）相合性：若的估计量满足，则称为之相合估计4参数的区间估计设总体，为其样本则的置信度的区间估计为（1）已知时；（2）未知时；（见书中P.162表）例6 设总体，且，则的0.95置信区间为注请查看教材中正态总体参数的区间估计一览表第八章 假设检验1 假设检验的基本思想：小概率事件在一次抽样中是几乎不可能发生的例1 设总体，其中未知，为其样本试在显著性水平下检验假设；这里，即为小概率事件的概率，当真时，则 即事件即为小概率事件，当它发生时，即认为原假设不真，从而接受对立假设2 两类错误以例1为例，上述的取值完全由样本所决定，由于样本的随机性，假设检验可能犯以下两类错误：第一类错误：（拒真），也即检验的显著性水平第二类错误：（接受不真）（接受真）在样本容量n固定时，相互制约，当减小时，的值会增大，反之亦然。3正态总体参数的假设检验（1）首先要会判断所讨论问题是否为假设检验问题例2 从一批灯泡中随机抽取50个，分别测得其寿命，算得其平均值（小时），样本标准差（小时），问可否认为这批灯泡的平均寿命