二次函数的对称性在解题中的运用

二次函数图象对称性在解题中的应用 基础知识点回顾 二次函数y ax bx c a b c为常数且a 0 此函数的对称轴为直线 用a b表示 若函数图象与x轴相交于点A 1 0 B 5 0 则对称轴可表示为直线 x 3 若函数图象与x轴相交于点A x1 0 B x2 0 则对称轴可表示为直线 若点 x1 n x2 n 在抛物线上 则抛物线的对称轴可表示为 温故知新探究总结 1 抛物线的顶点坐标为 0 4 与x轴的一个交点坐标为M 2 0 请写出抛物线与x轴的另一个交点坐标N 2 0 若抛物线上有一点A的坐标为 1 3 在抛物线上与A关于对称轴对称的点B的坐标是 1 3 如果有一点C的横坐标为x 则C点坐标怎么表示 C y x2 4 x x2 4 在抛物线上与C点关于对称轴对称的点D的坐标是D x x2 x 总结 在抛物线上 关于对称轴对称的两个点的特征 纵坐标相等 2 如图 抛物线顶点坐标为 3 4 它的图象与x轴的一个交点坐标为M 1 0 请写出抛物线与x轴的另一个交点坐标N 5 0 若抛物线上有一点A的横坐标为2 则A点坐标为 y x 3 2 4 2 3 在抛物线上与点A关于对称轴对称的点B的坐标是 4 3 如果有一点C在抛物线上 横坐标为x x 3 则C点坐标为C x x 3 2 4 在抛物线上 点D与点C关于对称轴对称 点D的坐标是 6 x x 3 2 4 明察秋毫快速反应 如图是二次函数y ax2 bx c a 0 的函数值y与自变量x的对应值 找出抛物线上关于对称轴对称的两点 写出抛物线的对称轴 抛物线与x轴的交点坐标是 3 7 5 7 x 1 2 0 4 0 抛物线上一点 m n 关于对称轴对称的点为 2 m n 几个重要结论 1 抛物线y ax2 bx c的对称轴是直线 3 抛物线上两个不同点P1 x1 y1 P2 x2 y2 若有y1 y2 则P1 P2两点是关于抛物线对称轴对称的点 且这时抛物线的对称轴是直线 2 若抛物线与轴的两个交点是A x1 0 B x2 0 则抛物线的对称轴是 4 若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是A x1 0 且其对称轴是x m 则另一个交点B的坐标可以用x1 m表示出来 注 应由A B两点处在对称轴的左右情况而定 在应用时要画出图象 x2 2m x1 x2 2m x1 5 抛物线上两个不同点P1 x1 y1 P2 x2 y2 若有y1 y2 则P1 P2两点是关于抛物线对称轴对称的点 0与x1 x2关于对称 对称轴 如图 巧用 对称性 化繁为简 抛物线y a x 1 2 2的一部分如图所示 该抛物线在y轴右侧部分与x轴交点的坐标是 1 0 一 求点的坐标 函数值 1 如图 抛物线的对称轴是x 1 与x轴交于A B两点 B的坐标为 0 则点A的坐标是 2 已知关于x的方程ax2 bx c 3的一个根为x1 2 且二次函数y ax2 bx c的对称轴直线是x 2 则抛物线的顶点坐标是 A 2 3 B 2 1 C 2 3 D 3 2 C 3 抛物线y ax2 2ax a2 2的一部分如图所示 那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是 A 0 5 0 B 1 0 C 2 0 D 3 0 B 4 已知A x1 2013 B x2 2013 是二次函数y ax2 bx 5 a 0 的图象上两点 则当x x1 x2时 二次函数的值是 A 5 B 5 C 2013D 5 A B B x1 x2 0 点O与点B关于点A对称 即 0与x1 x2关于对称 D 5 若二次函数y ax2 c 当x取x1 x2 x1 x2 时 函数值相等 则当x取x1 x2时 函数值为 A a cB a cC cD c D 0与x1 x2关于对称 6 抛物线y ax bx c经过点A 2 7 B 6 7 C 3 8 则该抛物线上纵坐标为 8的另一点坐标是 1 8 1 已知二次函数y ax bx c a 0 的顶点坐标为 1 3 2 及部分图象如图 由图象可知关于x的一元二次方程ax bx c 0的两根分别为x1 1 3 x2 二 求方程的根 3 3 2 已知抛物线y a x 1 2 h a 0 与x轴交于A x1 0 B 3 0 两点 则线段AB的长度为 A 1B 2C 3D 4 D 三 求代数式的值 函数值 1 抛物线y ax2 bx c a 0 的对称轴是直线x 1 且经过点P 3 0 则a b c的值为 A 0B 1C 1D 2 A 若将对称轴改为直线x 2 其余条件不变 则a b c 0 2 若y ax2 5与x轴两交点分别为 x1 0 x2 0 则当x x1 x2时 y值为 5 四 求函数解析式 1 已知抛物线y ax bx c的对称轴为直线x 2 且经过点 1 4 和点 5 0 则该抛物线与x轴相交的另一个交点坐标为 函数解析式为 1 0 2 已知二次函数的图像经过A 1 0 B 3 0 且函数有最小值 8 试求二次函数解析式 对称轴x 1 设解析式为y a x 1 x 3 或y a x 1 2 8 y 2x2 4x 6 五 比较函数值的大小 1 小颖在二次函数y 2x2 4x 5的图象上 依横坐标找到三点 1 y1 0 5 y2 3 5 y3 则你认为y1 y2 y3的大小关系应为 A y1 y2 y3B y2 y3 y1C y3 y1 y2D y3 y2 y1 离对称轴越近函数值越小 D 2 设A 2 y1 B 1 y2 C 2 y3 是抛物线y x 1 2 m上的三点 则y1 y2 y3的大小关系为 A y1 y2 y3B y1 y3 y2C y3 y2 y1D y3 y1 y2 离对称轴越近函数值越大 A 离对称轴越近函数值越小 1 如图函数y x2 x m m为常数 的图象如图 如果x a时 y 0 那么x a 1时 函数值 A y 0B 0 y mC y mD y m 1 a 1 0 m y m C a 六 判断命题的真伪 2 老师出示了小黑板上的题后 如图 小华说 过点 3 0 小彬说 过点 4 3 小明说 a 1 小颖说 抛物线被x轴截得的线段长为2 你认为四人的说法中 正确的有 A 1个B 2个C 3个D 4个 C 抛物线过 1 0 3 0 1 3 2 2 小华正确 抛物线过 0 3 4 3 0 4 2 2 小彬正确 a 1时 0 1 b 3 b 4 小明正确 被x轴截得的线段长为2 抛物线过 1 0 1 0 或过 1 0 3 0 小颖错误 巧用 对称性 化线为点 1 求抛物线y 2x2 4x 5关于x轴对称的抛物线 方法一 将一般形式化为顶点式y a x h 2 k y 2 x 1 2 7 抛物线y 2x2 4x 5关于x轴对称的抛物线的解析式为 y 2 x 1 2 7 开口向上变为开口向下 顶点 1 7 变为 1 7 点 x y 关于x轴的对称点为 x y 抛物线y 2x2 4x 5关于x轴对称的抛物线解析式为 y 2x2 4x 5 y ax2 bx c 1 求抛物线y 2x2 4x 5关于x轴对称的抛物线 方法二 在抛物线y ax2 bx c上任取一点 x y 抛物线y ax2 bx c关于x轴对称的抛物线的解析式为 y ax2 bx c 若原抛物线是顶点形式 选用方法一简便 若原抛物线是一般形式 选用方法二简便 2 求抛物线y 2x2 4x 5关于y轴对称的抛物线 在抛物线上任取一点 x y x y 关于y轴对称的点为 x y y 2x2 4x 5关于y轴对称的抛物线位 y 2 x 2 4 x 5 即 y 2x2 4x 5 在抛物线上任取一点 x y x y 关于原点对称的点为 x y 3 求抛物线y 2x2 4x 5关于原点成中心对称的抛物线 y 2x2 4x 5关于原点对称的抛物线为 y 2 x 2 4 x 5 即 y 2x2 4x 5 4 求抛物线y 2x2 4x 5绕着顶点旋转180 得到的抛物线 y 2 x 1 2 7 化为顶点式 顶点坐标 1 7 开口相反 顶点不变 y 2x2 4x 5绕着顶点旋转180 得到的抛物线为 y 2 x 1 2 7 将军饮马 问题 唐朝诗人李欣的诗 古从军行 开头两句说 白日登山望峰火 黄昏饮马傍交河 作点A关于河流的对称点A A B交河流于点P则AP BP A B最短 巧用 对称性 求距离和差最值 如图 抛物线y 0 5x2 bx 2与x轴交于A B两点