高中数学《解析几何初步》圆的标准方程教学课件 苏教版必修2

圆的标准方程 问题1 具有什么性质的点的轨迹称为圆 平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 问题2 图中哪个点是定点 哪个点是动点 动点具有什么性质 圆心和半径都反映了圆的什么特点 圆心C是定点 圆周上的点M是动点 它们到圆心距离等于定长 MC r 圆心和半径分别确定了圆的位置和大小 问题3 求曲线的方程的一般步骤是什么 其中哪几个步骤必不可少 1 建立适当的坐标系 用有序实数对 x y 表示曲线上任意一点M的坐标 2 写出适合条件p M 3 用坐标翻译条件p M 列出方程f x y 0 4 化简方程f x y 0 5 证明化简后的方程为所求曲线的方程 其中步骤 1 3 4 必不可少 用求曲线方程的一般方法来建立圆的标准方程 解 设M x y 是圆上任意一点 据圆的定义有 MC r C 由距离公式 得 两边平方 得 圆的标准方程 特点 1 是关于x y的二元二次方程 无xy项 2 明确给出了圆心坐标和半径 3 确定圆的方程必须具备三个独立条件 即a b r 4 若圆心在坐标原点 则圆方程为x2 y2 r2 练习1 写出下列各圆的方程 1 圆心在圆点 半径是3 3 经过点P 5 1 圆心在点C 8 3 2 圆心在点C 3 4 半径是 点评 中 可先用两点距离公式求圆的半径 或设 用待定系数法求解 练习2 写出下列各圆的圆心坐标和半径 1 2 3 1 2 3 例1 求以C 1 3 为圆心 并且和直线3x 4y 7 0相切的圆的方程 解 因圆C和直线3x 4y 7 0相切 所以圆心到直线的距离等于半径r 因此 所求的圆的方程是 练习3 已知一个圆的圆心在原点 并与直线4x 3y 70 0相切 求圆的方程 例2已知圆O的方程为 判断下面的点在圆内 圆上 还是圆外 解 点在圆上 点在圆内 点在圆外 例3已知圆的方程是x2 y2 r2 求经过圆上一点M x0 y0 的切线的方程 分析 一 设切线斜率为k OM斜率为k1 则 所以切线方程为 x0 x y0y r2 当M在坐标轴上时 上面方程仍适用 例3 已知圆的方程是x2 y2 r2 求经过圆上一点M x0 y0 的切线的方程 分析 二 设P为切线上任意一点 则OM MP 所以 x0 y0 x x0 y y0 0 所以切线方程为 x0 x y0y r2 P x y 由勾股定理 OM 2 MP 2 OP 2 分析 三 在直角三角形OMP中 x0 x y0y r2 例3 已知圆的方程是x2 y2 r2 求经过圆上一点M x0 y0 的切线的方程 总结 过一点求圆的切线的方程 1 求经过圆上一点M x0 y0 的切线的方程 1 圆C的方程为 2 圆C的方程为 2 求经过圆外一点M x0 y0 的切线的方程 常用求法简介 练习4 写出过圆x2 y2 10上一点M的切线的方程 练习5 已知圆的方程是x2 y2 1 求 1 斜率等于1的切线的方程 2 在y轴上截距是的切线的方程 例4 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图 该圆拱跨度AB 20m 拱高OP 4m 在建造时每隔4m需用一个支柱支撑 求支柱A2P2的长度 精确到0 01m 解 如图建立坐标系 设圆的方程是x2 y b 2 r2 r 0 把P 0 4 B 10 0 代入圆的方程得方程组 解得 b 10 5r2 14 52 所以圆的方程是 x2 y 10 5 2 14 52 把点P2的横坐标x 2代入圆的方程 得 2 2 y 10 5 2 14 52 因为y 0 所以y 答 支柱A2P2的长度约为3 86m 例5已知隧道的截面是半径为4m的半圆 车辆只能在道路中心线一侧行驶 一辆宽为2 7m 高为3m的货车能不能驶入这个隧道 的内部 求实数a的取值范围 1 若点 1 1 在圆 x a 2 y a 2 4 练习 2 求满足下列条件的各圆C的方程 1 和直线4x 3y 5 0相切 圆心在直线x y 1 0上 半径为4 2 经过两点A 1 0 B 3 2 圆心在直线x 2y 0上 3 已知圆过点P 4 3 圆心在直线2x y 1 0上 且半径为5 求这个圆的方程 1 a 1 x 22 7 2 y 29 7 2 42 或 x 18 7 2 y 11 7 2 42 4 求圆心C在直线x 2y 4 0上 且过两定点A 1 1 B 1 1 的圆的方程 5 从圆x2 y2 10外一点P 4 2 向该圆引切线 求切线方程 x 3y 10或3x y 10 小结 1 圆心为C a b 半径为r的圆的标准方程为 x a 2 y b 2 r2当圆心在原点时a b 0 圆的标